2022年函数的周期性与对称性.docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函数的周期性与对称性1、函数的周期性如 a 是非零常数,如对于函数 y fx 定义域内的任一变量 x 点有以下条件之一成立,就函数 yfx 是周期函数,且 2|a| 是它的一个周期；fx a fx a fx a fx fx a 1/fx fx a 1/fx 2、函数的对称性与周期性性质 5 如函数 yfx 同时关于直线xa 与 xb 轴对称, 就函数 fx必为周期函数,且 T2|a b| 性质 6、如函数 yfx 同时关于点（ a,0）与点（ b,0）中心对称,就函数 fx 必为周期函数,且 T2|a b| 性质 7、如函

2、数 yfx 既关于点（ a,0）中心对称,又关于直线 xb 轴对称,就函数fx 必为周期函数,且 T4|a b| 3. 函数 y f x 图象本身的对称性（自身对称）如 f x a f x b ,就 f x 具有周期性；如 f a x f b x ,就 f x 具有对称性：“ 内同表示周期性,内反表示对称性” ；1、f a x f b x y f x 图象关于直线 x a x b x a b 对称2 2推论 1：f a x f a x y f x 的图象关于直线 x a 对称推论 2、f x f 2 a x y f x 的图象关于直线 x a 对称推论 3、f x f 2 a x y f x

3、的图象关于直线 x a 对称2、f a x f b x 2 c y f x 的图象关于点 a b , c 对称2推论 1、f a x f a x 2 b y f x 的图象关于点 a , b 对称推论 2、f x f 2 a x 2 b y f x 的图象关于点 a , b 对称推论 3、f x f 2 a x 2 b y f x 的图象关于点 a , b 对称例题分析：_精品资料_ 1设f x 是,上的奇函数,fx2 fx,当0x1时,fxx,就第 1 页,共 13 页f47.5 等于f ）（A）0.5 （ B）.0 5（C）1.5 （D）.156的值为（2、（山东）已知定义在R 上的奇函数

4、fx满意f x2f x ,就A 1 B0 C 1 D2 f10._ 3设fx是定义在 R上的奇函数,f12,f x1f x6,求4函数fx对于任意实数x 满意条件f x21,如f15,就ff5f x - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 5已知fx精品资料欢迎下载x1对称；是定义在 R上的奇函数,且它的图像关于直线（1）求f0的值；（2）证明fx是周期函数；的解析式,并画出满意条件的函数fx（3）如R时,函数fxf x x0x1,求 x至少一个周期的图象；6.设 fx是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有 fx2 fx当 x0,2时, fx2xx

5、 2.1求证： fx是周期函数； 2当 x 2,4时,求 fx的解析式巩固练习：1函数 fx是周期为 4 的偶函数,当 x0,2时, fxx1,就不等式 xfx0 在1,3上的解集为 A1,3 B1,1 C1,01,3 D1,00,1 2设函数 fx是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 xR 恒有 fx1fx1,已知当 x0,1时, fx12 1x,就： 2 是函数 fx的周期；函数 fx在1,2上递减,在 2,3上递增；函数 fx的最大值是 1,最小值是 0；当 x3,4时, fx1 2 x3. 其中全部正确命题的序号是 _13设定义在 R 上的奇函数 yfx,满意对任意 tR,都有 ftf

6、1t,且 x 0,2时,fx x 2,就 f3f 3 2的值等于 A1 2 B13C14 D154如偶函数 y fx为 R 上的周期为 6 的周期函数,且满意 fxx1xa3x3,就 f 6等于 _5、（ 1）fx4xaxaxa关于点（1,12）对称：fx f 1x_; 2（2）fx 12x1 关于（0,）对称：fx fx_x21（3）如fxxnf2ax,设fx 0有n个不同的实数根,就x 1x 2_. 6设 fx是, 上的奇函数, fx2 fx,当 0x1 时, fx x. 1求 f3的值； 2 当 4x 4 时,求 fx的图像与 x 轴所围成图形的面积_精品资料_ - - - - - -

7、-第 2 页,共 13 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 7设fx是定义在,精品资料欢迎下载fx是偶函数, 在区间,23上,上以 2 为周期的周期函数, 且2f x 2 x 3 4 . 求 x ,1 2 时,f x 的解析式 . 8. 设函数 f x 对任意实数 x 满意 f 2 x f 2 x ,f 7 x f 7 x 且 f 0 ,0判定函数 f x 图象在区间 30 , 30 上与 x 轴至少有多少个交点 . 9. 已知函数 y f x 是定义在 R上的周期函数, 周期 T 5,函数 y f x 1 x 1 是奇函数 . 又知 y f x 在 0,1 上是一次函数,

8、在 1,4 上是二次函数,且在 x 2 时函数取得最小值 5. （1）证明：f 1 f 4 0；（ 2）求 y f x , x 1,4 的解析式；（3）求 y f x 在 4,9 上的解析式 .10.已知 f x x x 1 1 ,（1）判定 f x 的奇偶性；（2）证明：f x 02 1 211 、 定 义 在 1,1 上 的 函 数 y f x 是 减 函 数 , 且 是 奇 函 数 , 如2f a a 1 f 4 a 5 0,求实数 a 的范畴；x12（重庆文）已知定义域为 R的函数 f x x 21 b 是奇函数；2 a（）求a b 的值；（）如对任意的tR ,不等式f t22 f2t

9、2k0恒成立,求 k 的取值范畴；复习题：_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 13 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1x 上；各项都为正数的1已知数列 a n,其前n 项和为S ,点 , n S n在抛物线y3x222等比数列 b n满意b b31,b51. 1632C na b ,求数列 C n的前 n 项和nT（）求数列 na,b n的通项公式；（）记2在 ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是a 、b 、 c ,且b22 c2 a8SABC（其C 23中SABC为ABC 的面积）（）求sin2B2Ccos2A ；（）

10、如b2, ABC 的面积为 3,求 a 3某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X 依次为 1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下：X1 2 3 4 5 频率a0 2 0 45 bc（ 1）如所抽取的20 件日用品中,等级系数为4 的恰有 3 件,等级系数为5 的恰有 2 件,求 a , b , c 的值；（）在（ 1）的条件下,将等级系数为4 的 3 件日用品记为1x,x ,3x ,等级系数为5的 2 件日用品记为1y ,2y ,现从1x,x ,x ,1y ,2y 这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同）

11、,写出全部可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率P 4. 如图,在三棱锥 P ABC 中, PA 底面 ABC , ACH 为 PC 的中点,PA AC 2,BC 1 . （）求证：AH 平面 PBC ；（）求经过点 PABC 的球的表面积；BC,H A 5.已知抛物线x28y8与 y 轴交点为 M ,动点P Q 在抛物线B 上滑动,且MP MQ0（1）求 PQ 中点 R的轨迹方程 W ；（2）点A B C D在W 上,A D 关于 y 轴对称, 过点 D 作切线 l ,且 BC 与 l 平行,点 D 到AB AC 的距离为d1,d ,且d 1d22 |AD ,证明：ABC 为直

12、角三角形6. 设函数f x lnx. （1）求f x 的极大值；n2n1 nN*2 x（2）求证：12 lnnn1 n22 1n2（3）当方程f x a 02 et 的值；aR有唯独解时, 方程g x txf 2 ax2txt0也有x2唯独解,求正实数函数的周期性与对称性_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 13 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1、函数的周期性如 a 是非零常数,如对于函数 y fx 定义域内的任一变量 x 点有以下条件之一成立,就函数 yfx 是周期函数,且 2|a| 是它的一个周期；fx a fx a fx a

13、fx fx a 1/fx fx a 1/fx 2、函数的对称性与周期性性质 5 如函数 yfx 同时关于直线xa 与 xb 轴对称, 就函数 fx必为周期函数,且 T2|a b| 性质 6、如函数 yfx 同时关于点（ a,0）与点（ b,0）中心对称,就函数 fx 必为周期函数,且 T2|a b| 性质 7、如函数 yfx 既关于点（ a,0）中心对称,又关于直线 xb 轴对称,就函数fx 必为周期函数,且 T4|a b| 3. 函数 y f x 图象本身的对称性（自身对称）如 f x a f x b ,就 f x 具有周期性；如 f a x f b x ,就 f x 具有对称性：“ 内同表

14、示周期性,内反表示对称性” ；1、f a x f b x y f x 图象关于直线 x a x b x a b 对称2 2推论 1：f a x f a x y f x 的图象关于直线 x a 对称推论 2、f x f 2 a x y f x 的图象关于直线 x a 对称推论 3、f x f 2 a x y f x 的图象关于直线 x a 对称2、f a x f b x 2 c y f x 的图象关于点 a b, c 对称2推论 1、f a x f a x 2 b y f x 的图象关于点 a , b 对称推论 2、f x f 2 a x 2 b y f x 的图象关于点 a , b 对称推论

15、3、f x f 2 a x 2 b y f x 的图象关于点 a , b 对称例题分析：_精品资料_ 1设f x 是,上的奇函数,fx2 fx,当0x1时,fxx,就第 5 页,共 13 页）f47.5 等于 （A）0.5 （ B）.0 5（C）1.5 （D）.15f6的值为（2、（山东）已知定义在R 上的奇函数fx满意f x2f x ,就_ A 1 B0 C 1 D2 f10.3设fx是定义在 R上的奇函数,f12,f x1f x6,求4函数fx对于任意实数x 满意条件f x21,如f15,就ff5f x - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 5已知

16、fx精品资料欢迎下载x1对称；是定义在 R上的奇函数,且它的图像关于直线（1）求f0的值；（2）证明fx是周期函数；的解析式,并画出满意条件的函数fx（3）如R时,函数fxf x x0x1,求 x至少一个周期的图象；6.设 fx是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有 fx2 fx当 x0,2时, fx2xx 2.1求证： fx是周期函数； 2当 x 2,4时,求 fx的解析式解： 1证明： fx2 fx, fx4 fx2fxfx是周期为 4 的周期函数2x2,4, x4, 2, 4x0,2,f4x24x4x 2 x 2 6x8. 又 f4xfx fx, fx x 26x8,即 fxx 2

17、6x8,x2,4巩固练习：1函数 fx是周期为 4 的偶函数,当 x0,2时, fxx1,就不等式 xfx0 在1,3上的解集为 A1,3 B1,1 C1,01,3 D1,00,1 解析： 选 C fx的图像如图当 x1,0时,由 xfx0 得 x1,0；当 x0,1时,由 xfx0 得 x1,3故 x1,01,32设函数 fx是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 xR 恒有 fx1fx1,已知当 x0,1时, fx12 1x,就： 2 是函数 fx的周期；函数 fx在1,2上递减,在 2,3上递增；函数 fx的最大值是 1,最小值是 0；当 x3,4时, fx1 2 x3. 其中全部正确命题

18、的序号是 _解析： 由已知条件：fx2fx,就 yfx是以 2 为周期的周期函数,正确；_精品资料_ 当 1 x0 时 0x1,fx fx1 21x,第 6 页,共 13 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函数 yfx的图像如下列图：当 3x4 时, 1x 40,fxfx412 x3,因此正确,不正确答案： 3设定义在 R 上的奇函数 yfx,满意对任意 tR,都有 ftf1t,且 x 0,1 2时,fx x 2,就 f3f 3 2的值等于 1 1 1 1A2 B3C4 D5解析： 选 C 由 ftf1t得 f1tft ft,所

19、以 f2 t f1tft,所以 fx的周期为 2. 又 f1 f11f00,所以 f3f3 2f1f 1 20 1 2 1 4. 4如偶函数 y fx为 R 上的周期为 6 的周期函数,且满意 fxx1xa3x3,就 f 6等于 _解析： yfx为偶函数,且 fxx1x a3x3,fxx 2 1axa,1a 0. a1.fxx1x1 3x3f6f6 6f0 1. 5、（ 1）fxaxaxa关于点（1,12）对称：fxf 1x1; nna. 2（2）fx x4xx112x1 关于（0,）对称：fxfx2x2（3）如ff2ax,设fx 0有n个不同的实数根,就x 1x 2x nx 1 2 ax 1

20、x 22 ax2xn2 a当n2k221 时,必有x12 ax1,x 1a6设 fx是, 上的奇函数, fx2 fx,当 0x1 时, fx x. 1求 f3的值； 2 当 4x 4 时,求 fx的图像与 x 轴所围成图形的面积解： 1由 fx2 fx得, fx4fx22 fx2fx,所以 fx是以 4 为周期的周期函数,所以f3 f34 f1 1. _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 13 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2由 fx是奇函数与 fx2 fx,得 fx12 fx1fx 1,即 f1xf1 x故知函数yfx的图像关于直

21、线x1 对称又 0x 1 时, fx x,且 fx的图像关于原点成中心对称,就1x0 时, fx x,就 fx的图像如下列图当 4x4 时,设 fx的图像与x 轴围成的图形面积为S,就 S4S OAB41 2 1 24. _精品资料_ 7设fx是定义在,上以 2 为周期的周期函数, 且fx是偶函数, 在区间,23上,第 8 页,共 13 页fx2x3 24.求x,12时,fx的解析式 . 解：当x3,2,即x23,fxfx2x3 242 x3 24又fx是以 2 为周期的周期函数,于是当x,12,即3x42时,有fx fx4 fx 2x4 3242 x1 24 1x2 .fx2x1 24 1x

22、2.8. 设函数f x 对任意实数 x 满意f2xf2x,f7xf7x且f0,0判定函数f x 图象在区间30,30上与 x 轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数fx图象关于直线x2和x7对称,又由函数的性质得fx是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间0 , 10上,f0,0f4f22f22 f0 0 且fx不能恒为零,故fx图象与 x 轴至少有 2 个交点 . 而区间30, 30有 6 个周期,故在闭区间30, 30上fx图象与 x 轴至少有 13 个交点 . 9. 已知函数yf x 是定义在 R上的周期函数, 周期T5,函数yf x 1x1是奇函数 . 又知yf x 在 0,1 上

23、是一次函数,在1,4 上是二次函数,且在x2时函数取得最小值5. （1）证明：f1f40；（ 2）求yf x ,x1,4的解析式；- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （3）求y精品资料欢迎下载f x 在 4,9 上的解析式 .解 ： f x 是 以 5 为 周 期 的 周 期 函 数 , 且 在 1,1 上 是 奇 函 数 ,f 1 f 1 f 5 1 f 4,f 1 f 4 0 . 2当 x 1,4 时,由题意可设 f x a x 2 5 a 0,由 f 1 f 4 0 得 a 1 2 25 a 4 2 25 0,a 2,2f x 2 x 2 51

24、 x 4 .y f 1 x 1 是奇函数,f 0 0,又知 y f x 在 0,1 上是一次函数,可设 f x kx 0 x 12而 f 1 21 2 5 3,k 3,当 0 x 1 时,f 3 x ,从而 1 x 0 时,f x f x 3 x ,故 1 x 1 时,f x 3 x . 当 4 x 6 时,有 1 x 5 1,f x f x 5 3 x 5 3 x 15 . 当 6 x 9 时, 1 x 5 4,f x f x 5 2 x 5 2 25 2 x 7 253 x 15, 4 x 6f x 2 . 2 x 7 5, 6 x 910.已知 f x x x 1 1 ,（1）判定 f

25、x 的奇偶性；（2）证明：f x 02 1 211 、 定 义 在 1,1 上 的 函 数 y f x 是 减 函 数 , 且 是 奇 函 数 , 如2f a a 1 f 4 a 5 0,求实数 a 的范畴；x12（重庆文）已知定义域为 R的函数 f x x 21 b 是奇函数；2 a（）求 a b 的值；（）如对任意的 t R ,不等式 f t 22 f 2 t 2k 0 恒成立,求 k 的取值范畴；_精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 13 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 101 偶函数 2精品资料欢迎下载、1,3233奇函数 111偶函数 12复

26、习题：_精品资料_ 2已知数列a n,其前n 项和为S ,点 , n S n在抛物线y3x21x 上；各项都为正数的C 22等比数列 b n满意b b31,b51. 1632（）求数列 na,b n的通项公式；（）记C na b ,求数列 C n的前n项和nT2在 ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是a 、b 、 c ,且b22 c2 a8SABC（其23中SABC为ABC 的面积）（）求 sin 2 B Ccos2 A ；（）如 b 2, ABC 的面积为 3,求 a 23某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取20

27、 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下：X1 2 3 4 5 频率a0 2 0 45 bc（ 1）如所抽取的20 件日用品中,等级系数为4 的恰有 3 件,等级系数为5 的恰有 2 件,求 a , b , c 的值；（）在（ 1）的条件下,将等级系数为4 的 3 件日用品记为1x,x ,3x ,等级系数为5的 2 件日用品记为1y ,2y ,现从1x,x ,x ,1y ,2y 这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同）,写出全部可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率P 4. 如图,在三棱锥 P ABC 中, PA 底面 ABC , ACH 为 PC

28、 的中点,PA AC 2,BC 1 . （）求证：AH 平面 PBC ；（）求经过点 PABC 的球的表面积；BC,H 5.已知抛物线x28y8与 y 轴交点为 M ,动点P Q 在抛物线A 上滑动,且MP MQ0B （1）求 PQ 中点 R的轨迹方程 W ；（2）点A B C D在W 上,A D 关于 y 轴对称, 过点 D 作切线 l ,且 BC 与 l 平行,点 D 到AB AC 的距离为d1,d ,且d 1d22 |AD ,证明：ABC 为直角三角形6. 设函数f x lnx. （1）求f x 的极大值；n2n1 nN*2 x（2）求证：12 lnnn1 n22 1n2第 10 页,共

29、 13 页（3）当方程f x a 02 et 的值；aR有唯独解时, 方程g x txf 2 ax2txt0也有x2唯独解,求正实数- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 复习题答案： 1、解：（）QS n精品资料欢迎下载1时,a 1S 123n21n,当n22当n2 时,S n13n2 11n13n25n12222a nS nS n13 n1_精品资料_ 数列a n是首项为 2,公差为 3 的等差数列,an3n1第 11 页,共 13 页又各项都为正数的等比数列b n满意bb 1 31,b 51432b2b q1,b q41,解得b 11,q1,nb 12n43222由题得nc3n1 1 2nT n2151 22.3 n41n13n11 2n221T n2 125 13.3n41 2n3n11 2n1222-得1T n13 121 23L1n3n1 1 2n122213111 21n13n11n1531 2n3n11 2n1412223 n 5T n 5 n 22、解析：（）由已知得 2 bc cos A 8 1 bc sin A 即 3 cos2 3 2A12 分