2022年基本不等式知识点和基本题型.docx

《2022年基本不等式知识点和基本题型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年基本不等式知识点和基本题型.docx（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、学问点总结1、基本不等式原始形式基本不等式专题辅导22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如a, bR ,就 a 2b 22ab（ 2）如a,bR ,就 abab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、基本不等式一般形式（均值不等式）如3、基本不等式的两个重要变形a, bR* ,就 ab2ab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如a, bR* ,就 ab2ab（ 2）如a,b

2、R* ,就 abab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值.当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊说明：以上不等式中,当且仅当a b 时取“ =”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、求最值的条件： “一正,二定,三相等”5、常用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 x0 ,就 x12 当且仅当xx1 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 x0 ,就 x12 当且仅当xx1 时取“ =”）可编辑资料 - -

3、 - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）如 ab0 ,就 abb 2 当且仅当 aa22b 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）如（ 5）如a, ba, bR ,就 abR* ab 2ab 221aba2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,就ab1122ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊说明：以上不等式中,当且仅当6、柯西不等式ab 时取“ =”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如a, b,c,dR ,就a2b2 c2d 2 acbd2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如a ,a

4、 , a ,b , b ,bR ,就有： a 2a 2a 2 b 2b 2b 2 a ba ba b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221231231231 1231 12 23 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）设a , a, a 与b ,b, b是两组实数,就有aa222a bbb 2 a ba ba b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12二、题型分析n12n12n12n1 12 2n n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型一：利用基本不等式证明不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、设a,

5、b 均为正数,证明不等式:ab 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、已知aba, b, c 为两两不相等的实数,求证：a 2b 2c 2abbcca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、已知abc1 ,求证： a2b 2c213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、已知a, b,cR ,且abc1 ,求证： 1a 1b1c8abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 a,b,cR,且abc1,求证：1111118abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、选 修 4 5：不等式选讲1 a 2b 2c2可编辑资料 -

6、 - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a,b, c 均为正数 , 且 abc1 , 证明: abbcca;1 .3bca7、选 修 4 5：不等式选讲：已知 ab0 ,求证 : 2a 3b 32ab 2a 2 b题型二：利用不等式求函数值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备1、求以下函数的值域可编辑资料 - - - 欢

7、迎下载精品_精品资料_（ 1） y3x212 x2（ 2） yx 4x（3） yx1 x0 x（ 4） yx1 x0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、已知 x2 ,求函数 y2 x442 x4的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1：已知 x变式 2：已知 x2 ,求函数y2 ,求函数y42 x2x2 x42x的最小值.4的最大值.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 1、已知 x5,求函数 y

8、44x214x5的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、已知 x5,求函数y44 x214x5的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、当时,求yx82 x 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1：当时,求 y4 x82 x 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2：设 0x3,求函数y24 x32 x的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

9、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如 0x2 ,求 yx63x的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 ：如 0x4 ,求 yx82x的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、求函数y2x152x 1x25 的最大值.（提示：平方,利用基本不等式）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： 求函数 y4 x3114x 34x11 的最大值. 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

10、资料_题型五：巧用“1”的代换求最值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、已知法一： 法二：a, b0, a2b1 ,求 t11 的最小值.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1：已知a,b0, a2b2 ,求 t11 的最小值.a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2：已知变式 3：已知x, yx, y280,1 ,求 xy 的最小值.xy0 ,且 119 ,求 xy 的最小值. xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 4：已知x, y0 ,且 19xy4 ,求 x

11、y 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 5：（ 1）如x, y0 且 2xy1 ,求 11xy的最小值.（ 2）如a, b, x, yR且 a xb 1,求 xyy 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

12、品_精品资料_变式 6：已知正项等比数列a满意： aa2a,如存在两项a , a , 使得a a4a ,求 14 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n765mnmn1mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型六：分别换元法求最值（明白）22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、求函数yx7x10 x1 的值域.变式： 求函数 yx8 x1 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x1x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、求函数y的最大值.（提示：换元法）变式： 求函数 y的最大值.可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品_精品资料_2 x54 x9题型七：基本不等式的综合应用ab1、已知 log 2 alog 2 b1 ,求 39 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、（ 2022 天津）已知a ,b0 ,求 1a12ab 的最小值. b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1：（ 2022 四川）假如ab0 ,求关于a, b 的表达式 a 21ab1a a的最小值.b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式2：（ 2022 湖北武汉诊断）已知,当a0, a1 时,函数ylog a x11的图像恒过定点A ,如点 A 在直线可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品_精品资料_mxyn0 上,求4 m2 n 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、已知x, y0 , x2 y2 xy8 ,求x2 y 最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1： 已知a,b0 ,满意 abab3 ,求 ab 范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2：（ 2022 山东） 已知x, y0 ,112x2y1 ,求 xy 最大值.（提示：通分或三角换元）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 3：（ 2022 浙江） 已知x, y0 , x2y2xy1,求 xy 最大值.可编辑资料

15、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、（ 20XX 年山东 （理）设正实数x, y, z 满意 x23xy4 y2z0 , 就当xy 取得最大值时 , 2 zx12的最大值为 （ 1）yz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（提示：代入换元, 利用基本不等式以及函数求最值）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： 设 x, y, z 是正数,满意x2 y3z0 ,求y的最小值.2xz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型八：利用基本不等式求参数范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、（ 2022 沈阳检测）已知x, y0 ,且 xy

16、1xa 9 恒成立,求正实数a 的最小值.y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、已知 xyz0 且1xy1nyzx恒成立,假如nzN,求 n 的最大值.（参考： 4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（提示：分别参数,换元法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举

17、荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： 已知a, b0 满就 14ab2 ,如 abc 恒成立,求c 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式ab22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a , b , c, dR , 当且仅当c.即 addbc时等号成立 如 a,b, c, dR ,就 ab cdacbd 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、二维形式的柯西不等式的变式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) a 2b 2c 2d 2acbd, a

18、, b , c , dR , 当且仅当 acb .即 ad dbc时等号成立 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) a 2b2c 2d 2acbd2a , b , c, daR , 当且仅当cab.即 addbbc时等号成立 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 ab cd acbd , a , b , c , d0 , 当且仅当c.即 addbc时等号成立 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、二维形式的柯西不等式的向量形式, 当且仅当0, 或存在实数k ,使 ak时,等号成立 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、三维柯西不等式如

19、 a ,a , a , b ,b , bR ,就有： a 2a 2a 2 b 2b 2b 2 a ba ba b 21231231231 1231 12 23 3a , bR , 当且仅当 a1a2a3 时等号成立 bbbii1235、一般 n 维柯西不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a ,a, a与b ,b, b是两组实数,就有: a 2a 22 b 2b 2b 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n12n12an 12n a1b1a2b2anbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a , bR , 当且仅当 a1a2an 时等号成立

20、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii12nbbb题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、设x, y, zR ,如 x2y2z24 ,就 x2 y2z 的最小值为时, x,y, z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_析： x2 y此时 xy2z 2zx2y2z2 1262 22,22 x49362 , y, x4 , z2 y2 z 最小值为64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22212212222 23333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、设x, y, zR , 2 xy2

21、z6 ,求 xyz 的最小值 m ,并求此时x, y, z 之值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ans ： m4; x, y, z 4 ,32 ,4 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、设x, y, zR , 2 x3 yz3 ,求 x2 y1 2z2 之最小值为,此时 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（析： 2 x3yz32x3 y1z0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、（ 20XX 年湖南卷（理） ） 已知a,b, c, a2b3c6, 就 a2224b9c 的最小值是Ans :12 可编辑资料 - - - 欢迎

22、下载精品_精品资料_5、（ 20XX 年湖北卷（理） ） 设 x, y, zR , 且满意 : x 2y2z21, x2 y3z14 , 求 xyz 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、求2sin3 cossincoscos的最大值与最小值. （ Ans ：最大值为 22 ,最小值为22 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_析：构造法：令a2sin,3 cos ,cos , b1, sin , cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载