2022年基本初等函数经典总结 .docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一：教学目标第十二讲 基本初等函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、把握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质.2、懂得基本初等函数的性质.3、把握基本初等函数的应用,特殊是指数函数与对数函数二：教学重难点教学重点：基本初等函数基本性质的懂得及应用. 教学难点：基本初等函数基本性质的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三：学问出现1. 指数与指数函数rsr srsrsrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 指数运算法就： （1） a aa.（ 2）aa.（ 3）a

2、ba b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1mmnm奇可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） a na.（5） an（ 6） na na , n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n a m| a |, n 偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 指数函数：形如ya x a0且a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指数函数0a1图象表达式ya x定义域R值域0,过定点0,1单调性单调递减单调递增2. 对数函数1） 对数的运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

3、_1、互化： abNblog a N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、恒等：3、换底：alog a Nlog a bNlog c b log c a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 1log a b1log b a推论 2log a blog b clog a c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 3nlog am bn logb m0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

4、 - - 欢迎下载精品_精品资料_am4、 loga MNlog a Mlog a N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Mlog aNlog a Mlog a N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n5、 log a Mnlog a M2） 对数函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对数函数0a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表达式ylog a x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域0,值域R过定点1 ,0单调性单调递

5、减单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 幂函数一般的,形如yxa （ aR ）的函数叫做幂函数,其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 是常数1) 性质：(1) 全部的幂函数在 0,+ 都有定义, 并且图象都通过点 1, 1;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_- - - - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页精品pdf资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 假如 ,就幂函数图象通过（0, 0）,并且在区间 0,+ 上是增函数.(3) 假

6、如 ,就幂函数在区间 0,+ 上是减函数,在第一象限内,当x 从右边趋向于原点时,图象在y 轴右方无限的靠近y 轴,当 x 趋于 +时,图象在 x 轴上方无限靠近x 轴.四：典型例题3x21x考点一：指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 1已知 a2a5 a2 a5,就 x 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2分析：利用指数函数的单调性求解,留意底数的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解： a2a5a14 41 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2函数 ya

7、2a5 x 在 , 上是增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3 x1x ,解得 x1 x 的取值范畴是1, 44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xx评注： 利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判定底数与 1 的大小,对于含有参数的要留意对参数进行争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2函数 ya2a1a0且a1 在区间 1,1上有最大值 14,就 a 的值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x分

8、析：令tax 可将问题转化成二次函数的最值问题,需留意换元后t 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令ta ,就 t2 x0 ,函数 yax2a1 可化为 y2t12 ,其对称轴为 t1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时, x1,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 ax a ,即 1 t a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a当 ta 时,aymaxa1214 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

9、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 a3 或 a5 （舍去）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a1 时, x1,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a a x 1 ,即aa t 1 ,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ t1a 时,ymax211214 ,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 a1 或 a1 （舍去）, a 的值是 3 或 1 353评注：

10、利用指数函数的单调性求最值时留意一些方法的运用,比如：换元法, 整体代入等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 3求函数 y16 x 2的定义域和值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由题意可得16x 0 ,即6 x 2 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2 0 ,故x 2 函数f x 的定义域是 ,2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 t6 x 2 ,就 y1t ,可编辑资料

11、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 x 2 , x2 0 06 x2 1 ,即 0t 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0 1t1 ,即 0 y1 函数的值域是0,1 评注：利用指数函数的单调性求值域时,要留意定义域对它的影响可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 求函数 yx 2 3 x132的单调区间 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2分析这是复合函数求单调区间的问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可设 yu1,u x3-3x+2 ,其中 yu1为减函数3可编辑资料

12、- - - 欢迎下载精品_精品资料_2 u x -3x+2 的减区间就是原函数的增区间 即减减增 22u x -3x+2 的增区间就是原函数的减区间 即减、增减 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 yu1,u x33-3x+2,y关于 u 递减,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x- , 时, u 为减函数,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y 关于 x 为增函数.当x3 ,+ 时, u 为增函数, y 关于 x 为减函数 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点二：对数函数例 5求以下函数的定义域（ 1） y=log 2

13、 （x2 -4x-5 ）;（ 2） y=logx+1 （ 16-4x）（ 3） y=解： （ 1）令 x2-4x-5 0,得（ x-5 ）（ x+1 ） 0, 故定义域为x x -1,或 x 5（ 2）令得故所求定义域为x -1 x0,或 0x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）令,得故所求定义域为 x x -1-,或 -1- x -3,或 x2说明 求与对数函数有关的定义域问题,第一要考虑,真数大于零底数大于零不等于1,如处在分母的位置,仍要考虑不能使分母为零 例 6比较大小：（ 1） log0 71 3 和 log 0 71 8（ 2）（ lg n）1 7 和（ l

14、gn） 2（ n 1）（ 3） log23 和 log53（ 4） log35 和 log64解： （ 1）对数函数 y=log 0 7x 在（ 0, +）内是减函数由于13 1 8,所以log0 71 3 log0 71 8（ 2）把 lgn 看作指数函数的底,此题归为比较两个指数函数的函数值的大小,故需对底数 lgn 争论如 1 lgn 0,即 1 n 10 时, y=（ lgn） x 在 R 上是减函数,所以（ lgn ） 1 2（ lgn） 2. 如 lgn 1,即 n 10 时, y= （ lgn）2 在 R 上是增函数,所以（ lgn） 1 7（ lgn） 2（ 3）函数 y=lo

15、g 2x 和 y=log 5x 当 x 1 时,y=log 2x 的图像在 y=log 5x 图像上方 这里 x=3 , 所以 log2 3 log53（ 4） log35 和 log64 的底数和真数都不相同,须找出中间量“搭桥 ”,再利用对数函数的单调性即可求解由于 log 35 log33=1=log 66 log64,所以 log35 log 64评析 要留意正确利用对数函数的性质,特殊是第（3）小题,可直接利用例2 中的说明得到结论例 7已知 f （x） =2+log 3x, x 1, 9,求 y= f（ x） 2+f （ x 2）的最大值,及 y取最大值时, x 的值分析 要求函数

16、 y= f（ x） 2+f （ x 2）的最大值,要做两件事,一是要求其表达式. 二是要求出它的定义域,然后求值域解： f（ x）=2+log 3x, y=f （x） 2+f （ x 2） =（2+log 3x） 2+2+log 3x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=（ 2+log 3x） 2+2+2log 3 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3=log 2x+6log 3x+6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=（ log 3x+3 ） 2-3函数 f （x）的定义域为1,9,要使函数 y= f

17、（ x） 2+f （ x 2）有定义,就须1x29,1x9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1x3 0log3x1 6y=（ log 3x+3 ） 2-3 13当 x=3 时,函数 y= f（ x） 2+f （ x2）取最大值13说明 本例正确求解的关键是：函数y= f（ x） 2+f （ x 2）定义域的正确确定假如我们误认为 1, 9是它的定义域就将求得错误的最大值22其实我们仍能求出函数y= f（ x） 2+f （ x2）的值域为 6, 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 8求函数 y=log 0 5（ -x+2x+8 ）的单调区间可编辑资料 - -

18、 - 欢迎下载精品_精品资料_分析 由于对函数的底是一个小于1 的正数,故原函数与函数u=-x 2+2x+8 （ -2 x 4） 的单调性相反解 -x2+2x+8 0,-2 x4,原函数的定义域为（ -2, 4）又 函数 u=-x 2+2x+8=- （ x-1 ）2+9 在（ -2,1上为增函数,在 1, 4）上为减函数,函数 y=log 0 5（ -x 2+2x+8 ）在（ -2, 1上为减函数,在 1, 4）上为增函数 评析 判定函数的单调性必需先求出函数的定义域,单调区间应是定义域的子集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点三：幂函数 例 9 比较大小：11（1）1.52

19、,1.7 233（ 2） 1.2 ,1.25 （ 3）5.251,5.261,5.262（ 4）0.53,3 0.5 ,log0.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）yx 2 在 0, 上是增函数, 1.51.7 , 1.521.7 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）yx3 在 R上是增函数,1.21.25,1.23 1.253可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（3） yx在 0,

20、 上是减函数, 5.255.26 ,5.25 15.26 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y5.26x 是增函数,12 , 5.26 15.26 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,5.25 15.26 15.26 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）00.53130.5,1 , log 3 0.50 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 log 0.50.533例 1

21、0已知幂函数求 m 的值30.5yxm2 2m3（ mZ ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点, 且关于原点对称,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 幂函数yxm2 2m（ mZ ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m22m30 , 1m3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m mZ , 22m3Z ,又函数图象关于原点对称,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

22、资料_ m22m3 是奇数, m0 或 m2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21例 11、求函数 y x 5 2x 5 4（ x 32）值域1解析： 设 t x 5 , x 32, t 2,就 y t2 2t 4（ t 1）23 当 t 1 时, ymin 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2函数 y x 51 2x 5 4（ x 32）的值域为 3,）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 这是复合函数求值域的问题,应用换元法五：课后练习1 、 如a 1在 同 一 坐 标 系 中 , 函 数 y

23、=ax 和 y=logxa的 图 像 可 能 是 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 求值 40.0625 +106-（） - 343 3 =8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 以下函数在,0 上为减函数的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 yx 32 yx3 yx2 yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知 x=11x,y=,求23xyxy-的值yxy

24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如 a 2 a2,就 a 的取值范畴是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A a1B a 0C 1 a0D 1 a0解析： 运用指数函数的性质,选C答案： C6. 以下式子中正确选项（）y xyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xAlog a=log a-log alog aBylog a=logxya-log a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xlog aCyx=log a yDlog ax -logxaay = logy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a可编辑资料 - - - 欢迎下载