2022年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -大连理工大 攻读硕士讨论生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题 每道题 4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 设f x 是有理数域上的不行约多项式,为f x 在复数域内的一个根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就的重数为12. n 阶行列式21111311n11k 1 k n. .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设、均为 n 维列向量 :

2、2 , 就 AE11A可逆 ,E.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设向量组1 ,2 ,r 线性无关 ,123r213r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r12r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就1 ,2 ,r ,r1 线性相关 .r 112r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 设 A 是 n 阶矩阵 , 秩 Ar , 非齐次线性方程组Ax有解 , 就 Ax的解向量组的秩为 nr1 .6. 设 a 、 b 均为实数 , 二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

3、f x , x , xaxbx 2 axbx 2axbx 2axbx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n1223n 1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 、 b 满意条件 an1n1bn0 时,f 为正定二次型.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 设 V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间, 其中100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A00,其中13i ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就V 的一组基是00222E, A, A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 设 V是

4、 数 域 P 上 的 一 维 线 性 空 间 , 写 出 V上 的 所 有 线 性 变 换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取 定 V的 一 个 非 零 向 量, 就VL的 全 部 线 性 变 换 形 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -fa : xax , 其中 a 是 P 中

5、任一取定的数.9. 正交矩阵的实特点值为1 .10. 设 G 为群 , H 、 N 分别是 G 的子群 ,H 、 N 的阶分别是m 、 n , 且 m 、 n 互素 ,令HN , 就元素的阶为1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、 10分设f x , g x 是数域 P 上的多项式 , 证明 : 在数域 P 上, 如f 3 x | g 3 x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f x | g x .参考解答：如f x, g x 中有一个是零多项式或零次多项式, 就结论明显成立. 下设可编辑资料 - - -

6、欢迎下载精品_精品资料_f x0 ,g x0 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xap r1 x p r2 xp rs x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12s是 g x 的标准分解式, 其中p1 x,p2 x, ps x 是互不相同的最高次项系数为1 的不行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_约多项式 ,r1, r2 , rs 都是正整数 . 任取f x 的一个不行约因式q x , 由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

7、- - - 欢迎下载精品_精品资料_q x |f x ,f x |f 3 x ,f 3 x | g 3 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3利用多项式整除的传递性, 得 qx | g x . 由于步可知 ,q x是不行约多项式, 故 q x | g x , 进一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q xcpi x ,对某个 1is 及 cP .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是我们可以设f xbp t1 x p12t 2 xsp t s x ,可编辑资料

8、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其 中 t1, t2, ts是 非 负 整 数 . 从f 3 x | g3 x知 , 存 在 多 项 式h xP x, 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33g xf x | h x , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12a3 p 3r1 x p 3r2 xp 3rs xb3 p 3 t1 x p 3 t2 xp 3ts xhx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s12s由此推出 3ri3ti, 即 rit

9、i , i1,2, s . 因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xbp t x p txp t xa p rtx p rtxp rtx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12s12s1122ssb12s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_artrtrt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xp 11 x p 22 xp ss x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b12s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第

10、 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由多项式整除的定义知,f x | g x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、 15 分设 A 为 n 级矩阵 , 且秩 A秩A2 , 证明 : 对任意自然数k , 有秩Ak =秩 A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考解答：对k 作数

11、学归纳法. 当 k1,2 时结论明显成立. 假设 k1 时结论成立, 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rank ArankAk 1 . 令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iV XPn| Ai X0 ,i1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么明显有V1V2V3. 从 rank ArankAk 1 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dim

12、 V1 = nrank AnrankAk 1dim Vk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 V1 =Vk 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任 取 XV, 即Ak X0 , 亦 即Ak 1 A X 0, 那 么A XVV. 于 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0k000k11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0XA0A2 X0 . 进一步有k 1Ak 3 A2 X 0 , 这说明XVk 1 , 从而 VkVk 1 . 因此 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00VkVk1 . 于是可编辑资料 - - -

13、欢迎下载精品_精品资料_rank Andim V = ndim Vndim VrankAk .1k 1k四、 15分证明 : 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是, 它的秩等于2 和符号差等于0, 或者秩等于1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参 考 解 答 ： 充 分 性 .如f x1 , x2 , xn 的 秩 为1,就 可 经 非 退 化 线 性 替 换 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x , x , x ky2 ,其中 ya xa xa x , 故12n111 122nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

14、料_f x , x , x k a xa xa x 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n1 122nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f x1, x2 , xn 的秩为 2,符号差为 0,就可经非退化线性替换使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x , x, x y2y2 yy yy ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n121212其中 y1 , y2 均为 x1, x2 , xn 的一次多项式,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1a1 x1y2b1 x1a2 x2 b2 x2an xn bn x

15、n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 f x1, x2 , xn 可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -必要性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设实二次型f x1 , x2 , xn 可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

16、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1 , x2 , xn a1x1a2 x2an xn b1x1b2x2bn xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如两个一次多项式的系数成比例, 即 bikai i1,2, n, 不妨设a10 , 令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1a1x1y2x2a2 x2an xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ynxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f x , x , x ky 2 ,

17、即二次型f x , x , x 的秩为 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n112naa如两个一次多项式系数不成比例, 不妨设12 , 令b1b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1a1x1y2b1x1y3x3a2 x2 b2 x2an xn bn xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ynxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f x1, x2 , xn y1 y2 . 再令y1z1z2y2z1z2y3z3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f x , x ,

18、x yny yz2z2 , 故二次型znf x , x , x 的秩为 2, 符号差为零 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n121212n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、 15分设1 ,n 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一组基 , W 是 V 的非平凡子可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1空间 ,1,r 是 W 的一组基 , 证明 : 在1 ,n 中可以找到nr 个向量i , 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_in r1 ,r ,i1 ,为 V 的一组基 .in r

19、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1参考解答： 由于 W 是 V 的非平凡子空间, 故 WV . 于是 rn . 对 nr 作数学归纳法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一 ,1,2 ,n 不能都在 W 中 . 否就 , WV , 显现冲突 . 设i 是1 ,2 ,n 中不属于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳

20、 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_W 的一个向量 , 那么1,2 ,r ,i1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线性无关 . 令W1L1 ,2 ,r ,i1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 dim W1r1 . 由归纳假设 , 在1 ,2,n 中可以找到nr1) 个向量i ,i ,i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23n r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_使1 ,2 ,r

21、 ,i ,i ,i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是V 的一组基 .六、 10分 设 3 阶矩阵 A 满意有可能形式 .12A23 A2En r0 , 写出 A 的如当 Jordan标准型的所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考解答：由于A23 A2 E0 , 故f xx23x2 是 A 的一个零化多项式. 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m x 是 A 的最小多项式 , 就m x |f x . 由于f x x1x2) 没有重根 , 故 mx 没有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

22、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重根 . 因此 A 可以对角化 . 从A23 A2E0 知 , A 的特点根为1 或 2. 于是 A 的 Jordan 标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准型的可能形式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111,1112,2,2.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七、 10 分 设 V 是一个 n 维欧氏空间 ,1 ,n 是V 的一个标准正交基, A 是 V 的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个 线 性 变 换 ,Aaij n n是A关 于 这 个 基 的 矩 阵 , 证 明 :a

23、ji Ai ,j ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i , j1,2, n . 其中 , 表示内积 参考解答：由所给条件知 A1 , A2 , An =1 ,2 ,n A.于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ai =1 ,2 ,n a1i a2ia1i1a2i2anin .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ani留意1 ,2 ,n 为 V 的一组标准正交基, 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - -

24、 - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - Ai ,j 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1i a1i a ji a ji1a2i1,j j ,j 2a2i anin ,2,j j ani n ,j 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_八、 25 分设 A 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个线性变换,f x 是 A 的最小多可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项式 , 在P x 中,f xf1 xf2 x ,f1 x 、f 2 x 均为首项系数为1 的多项式 , 且f1 x 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f2 x 互素 , 令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V1V | f1 A0 ,V2V | f2 A0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明 :1 5分V1 和 V2 都是 A 的不变子空间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

26、_2 10分VV1V2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13 10分 A |V 的最小多项式是f1 x , A |V 的最小多项式是f2 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2参考解答： 1留意f1 A,f2 A 都是 A 的多项式 , 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A f1 A=f1 A A,A f2 A=f2 A A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

27、下载精品_精品资料_任取V1 , 就f1 A=0. 由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f1 A A=f1 A A= Af1 A=Af1 A=A0=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 AV1 . 由不变子空间的定义知,V1 是 A 的不变子空间. 类似的可证 , V2 也是 A 的不变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_子空间 .(2) 由于f1 x 与f2 x 互素 , 存在u x, v xP x 使得

28、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 xA代入上式 , 得u xf1 xv xf2 x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任取V , 就u Af1 A+ v Af2 A=为恒等变换 .*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u Af1 A+ v Af2 A.*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 fx是 A 的最小多项式, 故 f A=f1 Af2

29、A= 0 . 于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f2 A u Af1 A=u Af1 Af 2 A= u Af A= u A 0 = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类似的 ,f

30、1 Av Af2 A=0.因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u Af1 AV2 , v Af 2 AV1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是从 *知 VV1V2 . 留意V1 ,V2 都是 V 的子空间 , 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_VV1V2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设V1V2 , 就f1 A= 0 ,f2 A= 0 . 由 * 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ u Af1 A+ v Af2 A= 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故V1V20. 因此 VV1V2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 由于对任V1 , 有f1 A0 , 故f1 A 作为V1 上的线性变换是零变换, 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f1 A |V0 , 亦即 f1 x 是 A|V 的零化多项式. 设 g1