2022年指数函数和对数函数复习--补课 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点第六讲 指数函数和对数函数指数函数和对数函数都是基本初等函数,是高中必需把握的, 在高考中, 主要是考查基础学问；要求把握扩充后指数的运算,对数的运算,指数函数和对数函数的图像和性质；一、指数的性质（一） 整数指数幂1整数指数幂概念：anaaanNZZaa01a0amnm nZn 个aanN1a0,nmn（2）aanam nm n2整数指数幂的运算性质：（1）aman（3）abnanbnn其中amanamanam n,ana b1nnbnanbn b3 a 的 n 次方根的概念一般地,假如一个数的n 次方等于 an,1nN,

2、那么这个数叫做a 的 n 次方根,0；n a ；（例如 ：即： 如xna,就 x 叫做 a 的 n 次方根,n,1nN例如： 27 的 3 次方根3273,27 的 3 次方根3273,5 32 的 5 次方根 32 2,32 的 5 次方根说明：如 n 是奇数,就 a 的 n 次方根记作 n a ； 如5 a32 20 就 n a 0,如 a o 就 n an a , a 的负的 n 次方根,记作：如 n 是偶数,且a0就 a 的正的 n 次方根记作8 的平方根8a22 16 的 4 次方根 4 16 2）就 n a 没意义,即负数没有偶次方根；如n是偶数,且00n0n,1nNn00；式子n

3、 a 叫根式, n 叫根指数, a 叫被开方数；n ana 4 a 的 n 次方根的性质一般地,如 n 是奇数,就nana；aa0如 n 是偶数,就nanaaa05例题分析：例运算：74074052252225解：740740（二） 分数指数幂1分数指数幂：510 aa210a0312 aa412a0a5a3即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 幂的运算性质amnamn名师总结优秀学问点对分数指数幂也适用,例如：如a0,就a23a2 3 32 a,a54

4、a5 4 45 a, 3a2a245 a4343a m规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是anna ma0,m nN,n1；1,n（2）正数的负分数指数幂的意义是am1n1ma0,m nNnmaan即：2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用,1a a rsarsa0, , r sQ2arsarsa0, , r sQ3abra b r ra0,b0,rQ说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2） 0 的正分数指数幂等于 3例题分析：0,0 的负分数指数幂没意义；【例 1】用分数指数幂的形式表示以下各式ao：1338；m18n38=2 m n3

5、m2a2a ,a332 a ,a a . 解：a2a =a2a1a21522a ；211a33a2=a3a3a3；11a a =a a12a32322a 【例 2】运算以下各式的值（式中字母都是正数）211115（1）2 a b 26 a b33 a b6；（2）m n882111151解（ 1）2 a b26 a b33 a b 6（2）m n8=483 n211115=263a326b236=4ab04a ；例 3运算以下各式：名师归纳总结 （1）355125452（2）2 aa2a031（2）2 aa2=a22a56a5a33112解：（1）312545 =5 3525 =5354525

6、461a3=5555 55 5 ；a a 23第 2 页,共 20 页125 =12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 3】已知xx13名师总结x1优秀学问点x3x3.1,求以下各式的值： （1）2x2；（2）2211111121211x12 解：（1）x2x22x222x x2x2x1x12325,110,x2x25,11又由x1x113得x0,x2x2所以x2x25.133111（2）（法一）x2x2（x23x23x2x2x2x x222 5 ,x3x3211x2x2xx11531333333（法二）x2x22x22x222x2x2而x3x3x

7、x1x2x2118xx1xx1233323330,x2x2220,33又由xx130得x0,x2x233所以x2x2202 5. 二、指数函数1指数函数定义：一般地,函数yx a （a0且a1）叫做指数函数,其中x 是自变量, a 叫底数,函数定义域是R 2指数函数yx a 在底数a1及 0a1 这两种情形下的图象和性质：a10a1图象（1）定义域： R名师归纳总结 性（2）值域： 0,第 3 页,共 20 页质（3）过定点 0,1 ,即x0时y1（4）在 R上是增函数（ 4）在 R上是减函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【例

8、1】求以下函数的定义域、值域：（1）y8211（2）y11 2x（3）y3x（4）yax1 1a0,a1xxa解：（1）2x10x1原函数的定义域是x xR x1,22令t211就t0,tR0,xy8 tR t0得y0,y1,所以,原函数的值域是y y0,y1（2）11 2x0x0原函数的定义域是令t11 2xx0就 0t1,yt 在 0,1 是增函数 0y1,所以,原函数的值域是0,1 （3）原函数的定义域是R ,令 tx就t0,yt 3在,0 是增函数, 0y1,所以,原函数的值域是0,1 （4）原函数的定义域是R ,由yax1 1a0,a1得axy1,axy1ax0y10,1y1,y1所

9、以,原函数的值域是1,1 说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简洁函数的值域；名师归纳总结 【例 2】当a1时,证明函数yax1是奇函数；第 4 页,共 20 页ax1证明：由ax10得,x0,f x 故函数定义域 x x0关于原点对称；fxax1ax1 ax1axxxxxa1a1 a1afxf 所以,函数yax1是奇函数；ax1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点三、对数的性质名师归纳总结 - - - - - - -1对数定义：一般地,假如a （a0 且a1）的 b 次幂等于 N, 就是abN,那么数b 叫做 a 为底 N的对数

10、,记作logaNb,a 叫做对数的底数,N 叫做真数；即abN , log a Nb ；aNb指数式abN底数幂指数对数式logaNb对数的底数真数对数说明： 1在指数式中幂N 0,在对数式中,真数N 0（负数与零没有对数）2对任意a0且a1, 都有a01 log 10,同样： logaa13假如把abN 中的 b 写成 log a N , 就有alog a NN （对数恒等式） 2对数式与指数式的互换例如：4 216 ,log 162 ；2 10100,log101002；12 ,log 21；1020.01,log 100.012 ；4 22【例 1】将以下指数式写成对数式：（1）5425

11、；（2）261；（ 3） 3a27；（4）1m5.37643解：（1）log 6254 ；（2）log216； （ 3）log 27a ；（4）log 5.37m 6433介绍两种常见的对数：常用对数：以10 作底log 10N 简写成 lg N ；自然对数：以e作底为无理数,e = 2.71828 , log e N 简写成 ln N 【例 2】（1）运算：log 27,log3 4 5625解：设 xlog 27就 9x327,2 3x, 3 3, x, 3 2；5令 xlog3 4 5625,4 5x62554 3x4 5x（2）求x 的值：log3x3；log2x 212 3 x2x1

12、14解：x23341；1x22x0x0,x24273 x2x12x22x210但必需：2x211,x0舍去 ,从而x23x22x10（3）求底数：log 333,log 2758355解：x53335x33；第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - x72287, x2名师总结优秀学问点8874对数的运算性质：假如a 0 , a 1, M 0 , N 0,那么（1） log aMNlogaMlogaN ；（2） logaMlogaM- logaN；N（3） logaMnnlogaM nR 【例 3】运算：（1）lg1421g7lg7lg18；（ 2）lg243；

13、（3）lg27lg83lg103lg9lg1 2.解：（1）解法一：lg142lg7lg7lg183lg272lg 7lg3lg 7lg322lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20 ；解法二：lg142lg7lg7lg183lg14lg 732lg 7lg18=lg147lg10 ；72183（2）lg243lg355lg35；lg9lg322lg32（3）lg27lg83lg10=3 lg3 13 lg 23lg1013 lg3 22lg 2 1322lg1 2.lg2 3 2102lg 2 12lg35换底公式：logaNlogmN a 0 , a 1 ；m0,m1 log

14、ma证明：设 log a Nx ,就axN ,两边取以 m 为底的对数得：logmaxlogmN ,xlogmalogmN ,从而得：xlogmN,logaNlogmNlogmalogma说明：两个较为常用的推论：名师归纳总结 （1） logablogba1b；（ 2） logambnnlogab（ a 、b0且均不为 1）第 6 页,共 20 页mlogaloga；lgblga证明：（1）b1lgalgb- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）logambnlgbnnlgbn名师总结优秀学问点logablgammlgam【例 4】运算：（1）1 lo

15、g 50.23；（2）log 3 log 2 4 9log2432 解：（1）原式= 535515；log 50.21 5 log 313（2） 原式= 1log231log325log22153224442【例 5】已知log189a , 18b5,求log3645 （用 a, b 表示）解：log189a ,log18181log182a,2log1821a ,又 18b5,log185b ,log3645log1845log189log185ablog18361log1822a【例 6】设3x4y6zt1,求证：111zx2y证明：3x4y6zt1,xlgt,ylgt,zlgt,lg3l

16、g4lg611lg6lg3lg2lg41zxlgtlgtlgt2lgt2y四、对数函数1对数函数的定义：函数ylogax a0 且 a1叫做对数函数；2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数ylogaxa0且a1 的定义域为0 ,值域为,（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于同样：也分ayx的对称图形,即可获得；ylog2x（图 1）与ylog1x（图 2）为例；1与0 a1 两种情形归纳,以21 1 yx 2yxxy 12x1 1 yyx1xylog 2log2名师归纳总结 （图 1）（图 2）第 7 页,共 20 页- - - -

17、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（3）对数函数性质列表：xay1logax0a11x1图象1,01,0ylogax性（1）定义域： 0,y0 上是减函数（2）值域： R质（3）过点 1,0 ,即当x1 时,（4）在 0,（4）在（ 0,+）上是增函数【例 1】求以下函数的定义域：（1）ylogax2；（2）yloga4x；（3）yloga9x2分析：此题主要利用对数函数ylogax的定义域 0, 求解；解：（1）由2 x 0 得x0,函数ylogax2的定义域是x x0；（2）由4x0得x4,函数yloga4x的定义域是x x4；（3）由 9-

18、x20得-3x3,函数yloga9x2的定义域是x3x3【例 2】比较以下比较以下各组数中两个值的大小：（1）0.9 1.1,log1.10.9 ,log0.70.8 ；（2）log 3 ,log 3 ,log 3 解： （1）0.9 1.10 1.11,1,log1.10.9log1.110 ,0log0.71log0.70.8log0.70.71.10.9log0.70.8log1.10.9 （2）0log 5log 6log 7 ,log 3log 3log 3【例 3】求以下函数的值域：名师归纳总结 （ 1）ylog x3；（2）ylog 3x2 ,第 8 页,共 20 页解：（1）令

19、tx3,就ylog2t ,t0, yR ,即函数值域为R （2）令t32 x ,就 0t3,ylog 3, 即函数值域为,log 3 【例 4】判定函数f x log x21x 的奇偶性；解：2 x1x 恒成立,故f x 的定义域为 ,fxlog x21x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - log2x211x名师总结优秀学问点log2x2 x1x2f x ,212xlog2x 21x所以,f x 为奇函数；3x2的单调区间；【例 5】求函数y2log x23解：令ux2x23x2x321在3 2,上递增,在,3上递减,1u 为减函数,242又23x20

20、,x2或x1,又y2logx故u3 x2在 2, 上递增,在 ,1 上递减,3所以,函数y2log x23 x2在 2, 上递增,在 ,1 上递减；3名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点课堂练习题（1）1、填空：（3）xmx3 m1；（4）y3y54； 23（5）ab 2ab3；（6） 2 22、（ 1）如ama23 a ,就 m；（2）如ana26 a ,就 n（3）如 3 ma , 3nb ,用m n a b 表示 3,2 3m3n（2）（3）am223；（4）x433；（5）ab；（ 6）2

21、 （7）； 5 3；（ 8）xy224（9） 2x3；（10）3 ab232、判定以下式子是否正确,如不对,请订正：1am2aa2m；（2）am2m a2；（3）amnam n（4）amanamn. 课后巩固提高名师归纳总结 1、以下运算正确选项（）3D.2 x y3axy52第 10 页,共 20 页A.x3x3x6B.x4x3xC.x5510 xD.3 a2、81 27 可以记为（）A.3 9B.36C.73D.12 33、5 a 可以等于（）A.a2a 3B.a a4C.a2a4、运算b2b32的结果是（）A.8 bB.11 bC.8 bD.11 b5、在等式a2a310 a中,括号内的

22、代数式应当是（- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.a4B.a5C.a6名师总结7优秀学问点D.a6、如 n是正整数,当a1时,a2n2n1等于（）,就 x= . . A.1 B.1 C.0 D.1 或 1 7、运算x2xn11 xn3的结果为 ,D.x6n6A.x3n3B.x6n3C.x 12n8、a63,a4322ab2 3 9、已知am2an3,就am n；已知4x2 x310、运算：（1）x24；（2）x2 y3；（ 3）a242a3；11、以下各式中,正确选项（）A.m4m48 mB.m55 m2 m25C.m3m3m9D.y6y62y121

23、2、以下各式中错误选项 A.xy32xy6B. 2 2a 4=16a8C.1m2n31m6n3D.ab33a3b6327a413、已知 n 是大于 1 的自然数 , 就cn1cn1等于 A.cn21B.2 ncC.c2nD.c2n14、以下运算中与a4a4结果相同的是 A.a2a8B.a24C.4 a4D.a2415、用简便方法运算12200015.199911999 2 171191111 127m39163 16, 求 m 的值 .16、已知 3 9m名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 17、如2216n2 2

24、 9,解关于 x 的方程nx名师总结2.优秀学问点418、如2m5,2n6,求2m 2n的值 2 指数扩充及其运算性质1、将 b 写成分数指数幂的形式：（1）b34；（2）b25；（3）m b42n. 2、将分数指数幂写成根式的形式：（1）1（2）271；（3）3（4）28 ；34 ；125 . 3、将根式写成分数指数幂的形式：（1）3x2；（2） 31；（3）4 ab 3； （ 4）32 m2 n. x4、运算：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 123名师总结优秀学问点1（1）100 ；（2）643；（3）92

25、；（4）814 . . 3 ,10,1021055、已知 104 ,求 10, 10,6、已知a1a13,求aa1,a2a2. 22 3 指数函数1、已知1nm0,就指数函数c1.ymx,2.ynx的图像为d（）,ybx,yx,的关系是（2、如图是指数yaxydx函数的图像就a,b,c,名师归纳总结 A.ab1cdbB.ba1dcD2a3a2b第 13 页,共 20 页C. 1abcdD.ab1dc3、已知a第 2 题 b 0a,就2 ,2,3a的大小关系是（）A 2a2b3aB2b3a2aC2b2aa 3（）4、如1a0,S2a,P2a,Q02.a,就以下选项成立的是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.SPQB.PQS名师总结优秀学问点D.SQPC.QPS5、设y 10.9 4,y 20.48 8,y 311.5y 3,就（）2A.y3y 1y 2B.y2y 12y3C.y 1y 3y2D.y 1y26、如32x103x,那么x91的值为（）A.1 0 .B.2 C.5 D.1 或 5 7、已知a80.9,b0.9.08,c08.08就a b c 的大小关系为 .8、解方程2 3x