2022年华中科技大学复变函数与积分变换试题.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -一、填空（每题3 分,共 24 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1113 i 103 i的实部是 ,虚部是 ,辐角主值是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2满意 | z2 | z2 |5 的点集所形成的平面图形为 ,该图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是否为区域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 f z 在 z0 处可展成 Taylor 级数与f z 在z0 处解析是否等价？ .可

2、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 1i 1i的值为 ._可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_主值为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e z|z| 2sin zdz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5积分|z| 1 zdz的值为 , z 22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6函数f z11ez 3zi在 z0 处 Taylor 绽开式的收敛半径是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

3、迎下载精品_精品资料_7设F f1 tF1 , F f 2 tF2 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F f 1 t f 2 t ,其中f 1 tf2 t 定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f zsin z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8函数z的有限孤立奇点 z0 , z0 是何种类型的奇点？ .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人二、（6 分）设f zx3y 32 x2

4、 y 2 i ,问f z 在何处可导？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_何处解析？并在可导处求出导数值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -得分评卷人三、（8 分）设 ve px sin y, 求 p 的值使 v 为调和函数,并求出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析函数f zuiv .可编辑资料 - - - 欢

5、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人四、（10 分）将函数为 Laurent 级数.f z22 z23z3z1 在有限孤立奇点处绽开可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人五、运算以下各题（每道题6

6、 分,共 24 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32f z3171 d z,求 f1i .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求出f zz 1ze在全部孤立奇点处的留数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 x 2x2a 2 2 dx a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21dx0241sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 19 页 - - - -

7、 - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人六、（6 分）求上半单位圆域的象. z : | z |1, Im z0 在映射 wz2 下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人七、（8 分）求一映射,将半带形域单位圆域 .x, y220映射为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - -

8、 - - - - -第 4 页,共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人八、（6 分）设f z 在| z |1 内解析,在闭圆| z |1 上连续,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 01 ,证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 z| z| 11 zf z dzz2f0

9、2i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人九、（8 分）用 Laplace 变换求解常微分方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y3yy 0y3 y0y1,1,y02.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案一、填空（每题3 分,共 24 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1113 i 103 i1的实部是23,虚部是22,辐角主值是3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2满意 | z2 |5| z2 |5 的点集所

10、形成的平面图形为,以2 为焦点,长半轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 2 的椭圆,该图形是否为区域否.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 f z 在 z0 处可展成 Taylor 级数与f z 在z0 处解析是否等价？是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 1i 1i的值为2e 42 kcos4ln2i sin4ln2 ,k0,1,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_主值为2e 4 cos4ln2 i sin4ln2 .可编辑资料

11、- - - 欢迎下载精品_精品资料_sin zzdz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5积分e|z| 1 zdz的值为 2 i ,| z| 22 z20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6函数f z11ez 3zi在 z0 处 T

12、aylor 绽开式的收敛半径是1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7设F f1 tF1 , F f 2 tF2 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F f 1 t f 2 t F f1 tF f 2 t其中f 1 tf 2 t定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f1 f2 td.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f zsin z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8函数z的有限弧立奇点 z00 , z0 是何种类型的奇点？可去.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

13、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人二、（6 分）设f zx3y 32 x2 y 2 i ,问f z 在何处可导？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_何处解析？并在可导处求出导数值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3解： u x, yxy 3 ,v x, y2x2 y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u3 x 2 ,uxy3 y 2 ,v x4 xy 2 ,v y4 x2 y（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均连续,要满意 CR 条件,必需要可编辑

14、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x 24x 2 y,4xy23y2 成立3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即仅当 xy0 和 xy4 时才成立,所以函数f z 到处不解析.（2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 0f 3u x3 i 0, 0 iuv 0,0 0,xiv27 1i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44x3 3 , 4 43 3x 4 , 416（2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人三、（8 分）设 ve px sin y, 求 p 的值使 v 为调和函数,并求出可编辑资料 - - -

15、欢迎下载精品_精品资料_解析函数f zuiv .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：因v xpepxsin y, vxxp2 epxsin y, vyepxcos y, vyyepxsin y ,要使vx, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为调和函数,就有vvxxvyy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 p2 epxsin ye px sin y0 （ 4 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 p1 时, v为调和函数,要使f z 解析,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u xvy , u yvx可编辑资

16、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u x, yu x dxepxcos ydx1 e pxpcos y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ue1pxypsin y ype px siny（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 y所以pp e px sin y, y 1pe pxpcos yc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 ux, ypepx cos yc ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 1

17、9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f zex cos yi sin ycxe zc,p1z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ecos yi sin ycec,p1 （2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人四、（10 分）将函数为 Laurent 级数.f z22 z23z3z1 在有限孤立奇点处绽开可编辑资料 - - - 欢迎

18、下载精品_精品资料_解： f z 的有限孤立奇点为z012 及 z11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f z22 z 20 z3 z3z11111 2 z11z （2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）当f z2 2 时112 z11222 z12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）当12z1 21 z1222 2 n zn 01 n2（2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f z12 z1 2 z112112 z12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112 z212z1 n 02n z1 n2（2 分）可编

19、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0z113）当21111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f z12 zz1z112 z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1z11z4）当 21 n 2 n zn 011 n（2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可

20、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f z1z1zz11112z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11z12 z1 n 01) n 2n z1) n（2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人五、运算以下各题（每道题6 分,共 24 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2f z31371 d z,求 f1i .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：因3271在复平面上到处解析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

21、_由柯西积分公式知,在z3 内,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f z d3z2i z2 i3 z27 z1（3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f z2 i 6 z7 （2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而点1i 在 z3 内,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1i 2 i61i 72613i （ 1 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求出f zz 1ze在全部孤立奇点处的留数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：函数f zz 1ze有孤立奇点 0 与,而且在 0z内有如下

22、Laurent 展可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_开式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z 11ezeze z1z1 z22.1 z33.11z112. z2113. z3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1zc 1Rese1112.2. 3.1z ,011 13. 4.z1（ 3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故z 1Re sez ,k 0 k. k11 （2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 0 k.kx21 （1 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 x 2a 2 2 dx a0z

23、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f z解： z2a 2 2,它共有两个二阶极点,且z2a 2 在实轴上无奇点,在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上半平面仅有二阶极点ai ,所以（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2x 2a 2 2 dx2 i R

24、esf z, ai （1 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 i lim z2 2 i lim2zai可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zai21zaidxzai zai 32a （3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 0 1sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由三角函数公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I20 11 12dxtcos 2 x2 xdt0 3cos t（ 1 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 dt2 3cost12203dt cos t（2 分）可编辑资

25、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 zeit ,就 dtdz , cos t izz212 z,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I12Z 131dzz21 iz2 ziz 1 z216z1dz（ 1 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_被积函数f z1z26 z1 在 z1内只有一阶极点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z038 ,由公式11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Re s f z, z0 lim2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zz0 z故由留数定

26、理16 z142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ii 2i4222 （ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人六、（6 分）求上半单位圆域的象. z : | z |1, Im z0 在映射 wz2 下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 zre i,就 r1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z2r 2e2iei,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 21, 022（3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 wz2 将上半单位圆域映射为|

27、 w |1且沿 0 到 1 的半径有割痕 .v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-11xwz2-11u-i（ 3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人解：七、（8 分）

28、求一映射,将半带形域单位圆域 .x, y220映射为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z :yz1:y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ze z122z2:y 2iz1izx2x 12z3 :y 3i（ 2 分）（ 1 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21x2-iz3iz 2-11x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zz314z31y4z2z54x 4（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uiwz5i z31 2iiz ie1 2i（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z5i-1i1v故 w-iz3 z3 z311 2i1ieiz ie izie iz11 2i1（ 1 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得分评卷人八、（6 分）设f z 在| z |1 内解析,在闭圆| z |1 上连续,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_