2022年对数函数知识点总结.docx

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1、精品_精品资料_对数函数（一）对数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1对数的概念：一般的,假如a xN a0, a1 ,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记作： xlog a N（ a 底数, N 真数,log aN 对数式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 1留意底数的限制 a0 ,且 a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a xNlog a Nx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3留意对数的书写格式两个重要对数：1常用对数：以10 为底的对数lg N .可编辑资料

2、- - - 欢迎下载精品_精品资料_2自然对数：以无理数（二）对数的运算性质e2.71828为底的对数的对数ln N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 a0 ,且 a1 , M0 , N0 ,那么：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1log a M N log a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M2log a Nlog a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3log a Mn log a MnR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

3、品资料_留意：换底公式log c b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a b（ alog c a0 ,且 a1. c0 ,且 c1. b0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用换底公式推导下面的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） logbnn logb .（ 2） logb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_amma（二）对数函数alog b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、对数函数的概念：函数ylog axa0 ,且 a1) 叫做对数函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数,其中

4、x 是自变量,函数的定义域是（0, +）留意： 1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_辨别.如：y2 log 2 x , ylog 5 x5都不是对数函数,而只能称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其为对数型函数2对数函数对底数的限制：2、对数函数的性质： a0 ,且 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10a0 得 x0 ,函数 ylog ax2 的定义域是x x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由 4x0 得 x4 ,函数

5、 ylog a 4x 的定义域是x x4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3 ） 由 9-x 20得 -3x3 , 函 数 yl o ga 9x2 的 定 义 域 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3x3 例 2 求函数 yx12 和函数 y 52x112 x20 的反函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）15xy2x2 1 fxlog 1 x2x-2 .15可编辑资料 - - - 欢

6、迎下载精品_精品资料_（ 2）12y - 2 f -1 xlog x- 2122x5 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 比较以下各组数中两个值的大小：（ 1） log 2 3.4 , log 2 8.5 .（ 2） log 0.3 1.8 , log 0.3 2.7 .（3） log a 5.1 , log a 5.9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）对数函数 ylog 2x 在 0, 上是增函数,于是log 2 3.4log2 8.5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2

7、）对数函数 ylog 0.3x 在 0, 上是减函数,于是log 0.3 1.8log0.3 2.7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）当 a1 时,对数函数 ylog ax 在 0, 上是增函数, 于是 log a 5.1loga 5.9 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 oa1时,对数函数yloga x在 0, 上是减函数,于是 log a 5.1loga 5.9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

8、品资料_例 5 比较以下比较以下各组数中两个值的大小：（1） log 6 7 , log 7 6 .（ 2） log 3, log20.8 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30.9（ ） 1.1, log 1.1 0.9 , log 0.7 0.8 .（ 4） log 5 3 , log 6 3 , log 7 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）log6 7log 6 61 ,log 7 6log 7 71 ,log6 7log 7 6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

9、- - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）log 3log3 10 ,log 2 0.8log 2 10 ,log 3log 20.8 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）10.1 9,1.l1og1.10.91 log1.1 10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0log 0.7 1log 0.7 0.8log 0.7 0.71,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1.10.9log 0.7 0.8log 1.1 0.9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载精品_精品资料_（ 4）0log 3 5log 3 6log3 7 , log 5 3log 6 3log 7 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a例 7 求以下函数的值域：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） ylog 2 x3 .（ 2）ylog 2 3x2 .（ 3）ylog x24 x7（ a0 且 a1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解：（ 1）令 tx3 ,就 ylog 2 t , t0 , yR ,即函数值域为 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

11、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）令 t3x ,就 0t3 , ylog 2 3 , 即函数值域为,log 2 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3 ）令t x24 x7x2 233 ,当 a1 时, ylog a3 , 即值域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a 3, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 0a1时, ylog a 3 , 即值域为 ,loga 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8

12、判定函数f xlog 2x1x 的奇偶性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：x21x 恒成立,故f x的定义域为 , ,f xlog 2x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log 21x21xlog 2x21xx21 2x2log2x212xf x ,所以,f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为奇函数.例 9 求函数 y12log x233x2 的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

13、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令u x23x2x3213在, 上递增,在 3, 上递减,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 x23 x20 , x2 或 x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 ux23x2 在 2, 上递增, 在 ,1 上递减,又 y2 log 1 u 为减函数,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,函数 y2log x23x1232) 在 2, 上递增,在 ,1 上递减.可编辑资料 - - -

14、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10 如函数 ylog x2axa 在区间 ,13 上是增函数, a 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令ugxx2axa ,函数 ylog 2 u 为减函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ug xx2axa 在 区 间 , 13上递 减 , 且 满 足 u0 , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a132,解得

15、 223a2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g 130所以, a 的取值范畴为 223, 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x2【例1】 1 求函数 y =log 1 2x21 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 求函数 y =11log a xaa 0,且 a1 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 已知函数fx 的定义域是0 , 1 ,求函数y = flog1 3x 的定义3可编辑资料 - - - 欢迎

16、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23x log 1 2x3x221 03x2 12x1x1 02x112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 1由 0 2x13x22x1 0x 或x23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1 0x 12x 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 x 112x 2 或x 3x 122 x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 所求定义域为x| 2 x13可编辑资料 - -

17、 - 欢迎下载精品_精品资料_解 2 1 log ax a 0, log ax a 1当 a 1 时, 0 x a a,函数的定义域为 a, 0 当 0 a 1 时, x a a,函数的定义域为 0 , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 3 fx 的定义域为0 ,1 ,函数y = flog 1 3x 有意义,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_必需满意10log 1 3x 1,即 log 11 log 1 3 x log 1 3 ,1 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_333388可编辑资料 -

18、- - 欢迎下载精品_精品资料_x1, 2x 故函数310xy = flog1 3 x 的定义域为32 , 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例2】已知函数 y = 110x,试求它的反函数,以及反函数的定义域和值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 已知函数的定义域为R, y =x y 1,由 y =x 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 y10 x= y, 10 x110110=y 00 y 1,即为函数的值域1y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

19、 - 欢迎下载精品_精品资料_由10xyy=得x = lg1y1y,即反函数f 1 x = lgx1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反函数的定义域为0 , 1 ,值域为 y R【例 3】作出以下函数的图像,并指出其单调区间1y=lgx2y=log2|x 1|3y =|log 1 x1|, 4ylog 21x 2解 1y=lg x 的图像与 y=lgx的图像关于y 轴对称,如图 28 3 所示, 单调减区间是 , 0 解 2先作出函数 y=log 2|x| 的图像,再把它的图像向左平移1 个单位就得y log 2|x 1| 的图像如图 28 4 所示单调递减区间是 , 1 单调

20、递增区间是 1, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 3 把y = log 1 x的图像向右平移21个单位得到y = log 1 x 1 的图像,保留其在x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴及 x 轴上方部分不变,把x 轴下方的图像以 x 轴为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称轴翻折到x轴上方,就得到y =|log 1 x 1|的图像如图22 8 5所示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调减区间是 1, 2 单调增区间是 2 , 解 4函数 y=log 2 x 的图像与函数 y=log 2x 的图像关于 y 轴对称,故可先作

21、y=log 2 x 的图像,再把y log 2 x 的图像向右平移1 个单位得到y=log 21 x 的图像如图 2 8 6 所示 单调递减区间是 , 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】图 28 7 分别是四个对数函数,y=log ax y=log bx y=log cx y=log dx的图像,那么a、b、c、 d 的大小关系是 A d c b aB a b c dC b a d cD b c a d解选 C,依据同类函数图像的比较,任取一个x 1 的值,易得 ba 1d c【例 5】已知 log a3 log b3,试确定 a 和 b 的大小关系解法一令 y 1

22、=log ax , y 2=log bx, log ax log b3,即取 x 3 时, y 1 y2, 所以它们的图像,可能有如下三种情形：1 当 log a3 log b3 0 时,由图像 28 8,取 x=3 ,可得 b a12 当 0 log a3 log b3 时,由图像 28 9,得 0 a b 13 当 log a3 0 log b3 时,由图像 28 10,得 a 1 b 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例6】如a2 b a 1,就 loga 、logb 、 log a、 log b的大小顺 序 是 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b

23、b aba 解 a2 b a1, 0a1b1, loga 0, logb b , a a bb a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,0log a1,log b1由a2 ba1得ab1logblog a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_baaabb ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,故得： log a b log b a log balog ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例8】已知函数fx = log a x 1x 2 a 0,且 a 1,判定其奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一已知函数的定义

24、域为R,就 x Raf x = log1+ x 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 2= log ax1x 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1= log a1xxx 2x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= log a1xx 11x 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2=log a 1xxf x fx是奇函数解法二已知函数的定义域为Ra由fx fx = log 1+ x 2 xlog1+ x 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= loga =log a1=01+ x 2x1+ x 2x可编辑资

25、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx= fx,即 fx为奇函数单元测试一、挑选题（每道题5 分,共 50 分） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 对数式log a2 5ab 中,实数 a的取值范畴是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. ,5B 2,5C 2,D 2,33,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32. 假如 lgx=lga+3lgb 5lgc ,那么（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. x=a+3b cB x3ab 5cC xab 3c5D x=a+b

26、 c3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设函数 y=lgx25x 的定义域为 M,函数 y=lgx 5+lgx 的定义域为 N,就A. MN=RB M=NC MND MN（）4如 a 0, b 0, ab 1, log 1 a =ln2 ,就 log ab与 log 1 a 的关系是22（）A log ab log 1 aB log ab= log 1 a22C logab log 1aD logab log 1a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如函数log2kx2+4kx+3的定义域为 R,就 k的取值范畴是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精

27、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 0, 3 4B 0, 34C 0, 3 4D ,03 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 以下函数图象正确选项（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知函数gxf x1f x,其中 log 2fx=2x, xR,就 gx（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 是奇函数又是减函数B是偶函数又是增函数C是奇函数又是增函数D是偶函数又是减函数9. 假如 y=log 2a 1x在0 , + 内是减函数,就 a的取值范畴是（

28、）A a 1B a 2C a2D 1a210. 以下关系式中,成立的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. log 3 401log 1 1053B. log 1 10301log 3 45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. log 3 401log 1 1035D. log1 10301log 3 45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题： （每道题 6 分,共 24 分） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 函数 ylog 1 22x 2 的定义域是,值域是.可

29、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x12方程 log 22 x+1log 22 x+1+2=2 的解为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 将函数y2 的图象向左平移一个单位,得到图象C1,再将 C1 向上平移一个单位得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象 C2,作出 C2 关于直线 y=x 对称的图象 C3,就 C3的解析式为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 函数 y= log 12x 24x12的单调递增区间是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 共 76 分 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15（ 12分）已知函数f x