中考数学第一轮总复习精品教案十解直角三角形﹎.pdf

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1、学习好资料欢迎下载 第 1 页 共 9 页 解直角三角形 教学目标： 1 立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、 基本方法和基本技能 . 2 让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力 3 通过学生自己归纳总结本部分内容， 使他们在动手操作方面， 探索研究方面， 语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展 教学重点与难点 重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力， 难点： 把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识 教学时间： 5 课时 【课时分布 】 解直角三 角形部分在第一轮复习时大约需要3 课时，其中包括单元测

2、试， 下表为课时安排 课时数内容 1 直角三角形边角关系、锐角三角函数、 简单的解直角三角形 2 解直角三角形的应用 解直角三角形单元测试及评析 教学过程： 【知识回顾 】 1知识脉络 解 直 角 三 角 形 解直 角三 角形 直角 三角 形的 边角 已知一边一锐 角解直角三角 已知两边解直 角三角形 已知斜边一锐 角解直角三角 已知一直角边一 锐角解直角三角 已知两直角边 学习好资料欢迎下载 第 2 页 共 9 页 2基础知识 直角三角形的特征 直角三角形两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形中 30所对的直角边等于斜边的一半； 勾股定理：直角三角形中，两直角边的

3、平方和等于斜边的平方，即： 在 Rt ABC 中，若C90，则a2+b2=c2； A B C D 学习好资料欢迎下载 第 3 页 共 9 页 勾股定理的逆定理： 如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则 这个三角形是直角三角形，即：在 ABC 中，若 a 2 +b 2 =c 2，则 C90； 射影定理： AC 2=AD AB,BC2=BD AB,CD2=DA DB 锐角三角函数的定义： 如图，在 Rt ABC 中， C90， A， B， C 所对的边分别为a,b,c, 则 sinA= a c ,cosA= b c ,tanA = a b , 特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值

4、随的变化情况） 1 解直角三角形（ Rt ABC, C90） 三边之间的关系： a2+b2=c2 两锐角之间的关系： A B90 sincostan 3 0 1 2 3 2 3 3 4 5 2 2 2 2 1 6 0 3 2 1 2 3 A B Ca c b 学习好资料欢迎下载 第 4 页 共 9 页 边角之间的关系： sinA= Aa c 的对边 斜边 ,cosA= Ab c 的邻边 斜边 tanA= Aa Ab 的对边 的邻边 , 解直角三角形中常见类型： 已知一边一锐角 已知两边 解直角三角形的应用 2能力要求 例 1 在 Rt ABC 中， ACB90， AC6，BC8，CD AB 于

5、点 D，求 BCD 的三个三角函数值 【分析】求BCD 的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于BCD 是在 Rt BCD 中的一个内角，根据定义，仅一边BC 是已知的，此时有两条路可走，一 是设法求出 BD 和 CD，二是把BCD 转化成A，显然走第二条路较方便，因为 在 Rt ABC 中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案 【解】 在 Rt ABC 中， ACB90BCD ACD90， CD AB， ACD A90，BCD A 在 Rt ABC 中，由勾股定理得， AB 22 ACBC 10， sin BCD=sinA= BC AB = 4 5 ,cos BCD=cosA= AC

6、AB = 3 5 , tan BCD=tanA= BC AC = 4 3 【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，教师应强调转化 的思想，即本题中角的转换 （或可利用射影定理，求出BD、DC，从而利用三 D BC A 学习好资料欢迎下载 第 5 页 共 9 页 角函数定义直接求出） 例 2 如图，在电线杆上的C 处引拉线 CE、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面 成 60角，在离电线杆 6 米的 B 处安置测角仪， 在 A 处测得电线杆上C 处的仰角为 30，已知测 角仪离 AB 为 1.5 米，求拉线 CE 的长（结果保 留根号） 【分析】求 CE 的长，此时就要借助于另一个直

7、角三角形，故过点 A 作 AG CD， 垂足为 G，在 Rt ACG 中，可求出 CG，从而求得 CD，在 Rt CED 中，即可求 出 CE 的长 【解】 过点 A 作 AG CD，垂足为点 G， 在 Rt ACG 中， CAG30， BD6， tan30 = CG AG ， CG=6 3 3 =23 CD=23 +1.5, 在Rt CED中 ， sin60 = CD EC ， EC= CD sin60 = 2 3+1.5 3 2 =4+3 答：拉线 CE 的长为 4+3 米 【说明】在直角三角形的实际应用中， 利用两个直角三角形的公共边或边长之间 的关系，往往是解决这类问题的关键老师在复习

8、过程中应加以引导和总结 例 3 如图，某县为了加固长 90 米，高 5 米，坝顶宽为 4 米的迎水坡和背水坡， 它们是坡度均为 1 0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1 米， 求坡角的度数；完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？ 30 A BEDF C G 60 学习好资料欢迎下载 第 6 页 共 9 页 【分析】大坝需要的土方 橫断面面积坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM 的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA 与 AB 的坡度均为 1 0.5 【解】 i=tanB,即 tanB= 1 0.5 =2， B=63.43 过点 M、N 分别作 ME AD，NF AD，

9、垂足分别为 E、F 由题意可知： MENF5， ME AE 1 0.5 ， AEDF2.5， AD=4， MN=EF=1. 5， S梯形 ADNM 1 2 (1.5+4) 12.75 需要土方为 2.75 90=247.5 ( m3) 【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度 垂直高度 水平距离 坡 角的正切值，虽然 2007 年中考时计算器不能带进考场， 但学生应会使用计算器， 所以建议老师还是要复习一下计算器的使用方法 例 4 某风景区的湖 心岛有一凉亭 A,其正东方向有一棵大树B，小明想测量 A、 B 之间的距离，他从湖边的C 处测得 A 在北偏西 45方向上，测得B 在北

10、偏东 32方向上，且量得 B、C 间距离为 100 米，根据上述测量结果，请你帮小明计 算 A、B 之间的距离（结果精确到1 米，参考数据： sin320.5299, cos32 0.8480, tan s320.6249, cot321.600） 【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB 的长，只要去解 Rt ADC 和 Rt BDC 即可 A BC D M N EF C A B 北 D 学习好资料欢迎下载 第 7 页 共 9 页 【解】过点 C 作 CD AB，垂足为 D 由题知：=45，=32 在 Rt BDC 中，sin32 = BD BC ， BD100sin3252.99 cos

11、 32 = CD BC ， CD=100 cos 3284.80 在 Rt ADC 中， ACD=45，AD=DC=84.80 AB=AD+BD 138 米 答：AB 间距离约为 138 米 【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生画图是本题的难点，找到两个直 角三角形的公共边是解题的关键，教师在复习中应及时进行归纳、总结由两个 直角三角形构成的各种情形 例 5 在某海滨城市 O 附近海面有一股台风， 据监测，当前台风中心位于该城市 的东偏南 70方向200 千米的海面 P 处，并以 20 千米/ 时的速度向西偏北25 的 PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60 千米，

12、且圆 的半径以 10 千米/ 时速度不断扩张 (1)当台风中心移动 4 小时时， 受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米； 又台风中心移动 t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米 (2)当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？ 请说明理由 (参考数据21.41，31.73) 【分析】由题意易知 先要计算出OH 和 PH 的长，即可求得台风中心 学习好资料欢迎下载 第 8 页 共 9 页 移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH 比较即可 【 解】 100；(6010 ) t 作 OH PQ 于点 H，可算得 100 2141OH（千米），设经过t

13、 小时时，台风中心从P 移动到 H，则 20100 2PHt，算得5 2t（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为： 60 10 5 2130.5（千米） 141（千米） 城市O 不会受到侵袭 【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题 常常要构造直角三角形 ,利用三角函数知识来解决 例 6 如图所示：如图，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60， 沿山坡向上走到 P 处再测得点 C 的仰角为 45，已知 OA=100 米，山坡坡度为 1 2 ，（即 tan PAB= 1 2 ）且 O、A、B 在同一条直线上。求电视塔OC 的高度 以及所在位置点

14、 P 的铅直高度 .（测倾器的高度忽略不计，结果保留） 【分析】很显然，电视塔OC 的高在 Rt OAC 中即可求得 . 要求点 P 的铅直高度，即求PE 的长， 由坡度 i=1:2，可设 PE=x,则 AE2x. 此时只要列出关于x 的的方程即可 .而 此时要借助于 45所在的Rt 来解决 .故过点 P 作 PF OC，垂足为 F.在 Rt PCF 中，由 PFCF，得 100+2x=1003 x,即可求得 PE 的长. 【解】过点 P 作 PF OC，垂足为 F. 在 Rt OAC 中,由 OAC60， OA100，得 OCOA tan OAC=1003 米. 过点 P 作 PE AB，垂

15、足为 E.由 i=1:2, 设 PE=x,则 AE2x. PFOE100+2x，CF 1003 x. 在 Rt PCF中 ,由 CPF 45 ， PF CF,即 100+2x=1003 x, x 100 3- 100 3 , C A B 水平地面 O 山坡 60 45 P E F 学习好资料欢迎下载 第 9 页 共 9 页 即 PE= 100 3- 100 3 答：电视塔 OC 高为 1003 米.点 P 的铅直高度为 100 3- 100 3 米. 【说明】本题是解直角三角形的应用中又一类型，即解直角三角形时， 当不能直 接解出三角形的边时， 可设未知数， 利用方程思想来解决， 这是解决数学问题中 常用的方法，沟通了方程与解直角三角形之间的联系