2022年向量的数量积及其应用教案.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -平面对量的数量积及其应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、复习目标讲师：王光明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_深刻懂得平面对量数量积的定义及其几何意义.能应用向量数量积解决有关向量垂直问题,向量的长度、 夹角的问题, 能将其它章节某些问题转化为可用向量数量积解决的问题,培育同学的创新精神和应用才能.二、基础学问学问点回忆1、两个向量的夹角是如何规定的？两个向量的夹角的取值范畴是什么？如下图,已知两个非零向量a 和b 作 OA = a ,OB = b ,就AOB=（0 18

2、0）叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 a , b .B2、平面对量数量积的定义是什么？其几何意O义是什么？A假如两个非零向量a ,b ,它们的夹角为 ,我们把数量 | a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积）,记作： ab ,即 ab a b cosq .规定：零向量与任一向量的数量积是0.留意数量积是一个实数,不再是一个向量ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积.b 在 a 上的投影 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|b | cos= b aa,它是一个实数,但不肯定大于0可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品_精品资料_3、平面对量数量积有哪些性质？设 e是单位向量, a , e =.（ 1） e a = a e =| a |cos.2（ 2）当 a 与 b 同向时, a b =| a |b |.当 a 与 b 反向时, a b = |a |b |,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的, a a=| a2,或| a |=a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|（3） ） a ba b =0. a 、 b 都是非零向量留意：零向量的方向是任意的,因此可以和任意向量平行,但却不行以与任何向量垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） ） co

4、s =a b.| a |b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 5） |a b | a | b |.4. 平面对量数量积运算律：（ 1） a b = b a .（ 2）（ a ） b = （ a b ） = a （ b ）.（ 3）（ a+ b ） c = a c + b c摸索争论a bc

5、与ab c是否相等 .5.向量数量积的坐标运算：设 a =（ x1 ,y1）, b =（x2, y2）,就（ 1） a b =x1x2+y1y2.（ 2） |a |=x 2 +y 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11（ 3） cos a , b =x1x2 + y1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2 + y 2x 2 + y 21122（ 4） a b Ta b =0 T x1x2+y1 y2=0.三、双基训练1.已知 a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60,那么 | a +3 b |等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.7

6、B.10 C.13 D.4解析： | a +3b |= （a223b）2 =a=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： C6a b9b1611cos 60913可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.已知 a =（, 2）, b =（3, 6）,且 a 与b 的夹角为钝角,就 的取值范畴是解析： a与 b 的夹角为钝角, cos 0 且 cos-1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 cos =312得,11,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42945可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3已知a,b,c 为非零的平面

7、对量 .甲：a ba c,乙 : bc, 就 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A 甲是乙的充分条件但不是必要条件. B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C 甲是乙的充要条件.D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -如 a b = a c ,就|a | b |cosa=| a | c |

8、cos b（其中、b 分别为 a 与 b , a 与 c 的夹角）如 |a |0,就 |a | cosa =| c |cos . cosa 与cos b 不肯定相等, |b |与|c |不肯定相等 . b 与 c 也不肯定相等 .甲 T 乙如 b =c 就| b |=|c | 且b 与 a , c 与 a 夹角相等, a ba c 乙甲四、平面对量的 数量积的应用例 1、已知 a =（cos ,sin） , b =（cos ,sin ）0,（ 1）求证： ab与ab 相互垂直.（ 2）如 kab与akb 的相等 kR 且 k0,求 （ 1）证法一： a =（ cos , sin）, b =（

9、cos ,sin ） ab （ cos+cos,sin+ sin ） ,ab （ cos-cos,sin- sin ） ab ab =（ cos +cos , sin+ sin ）（ cos -cos ,sin- sin ）=cos2-cos2+sin2- sin2=0 ab ab 证法二： a =（ cos ,sin） b =（cos ,sin ） a 1, b 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ab ab = a 2b 2= | a |2| b |2 =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ab ab 证法三： a =（cos ,sin） ,b =（cos

10、,sin ） a 1, b 1,记 OA a, OB b,就| OA | OB |=1,又 , O、A、B 三点不共线.由向量加、减法的几何意义,可知以OA、OB 为邻边的平行四边形OACB 是菱形,其中 OC ab , BA ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由菱形对角线相互垂直,知 ab ab （2）解：由已知得 | kab |

11、akb |又 | kab |2 kcos+cos2+ ksin+sin 2=k2+1+2kcos,| akb |2 cos-kcos2+sin-ksin2=k2 +1-2kcos , 2kcos= -2kcos又 k0cos000,=2评述：此题是以平面对量的学问为平台, 考查了三角函数的有关运算, 同时也表达了向量垂直问题的多种证明方法, 常用的方法有三种, 一是依据数量积的定义证明, 二是利用数量积的坐标运算来证明,三是利用向量运算的几何意义来证例 2. 如图,在RtABC 中,已知BC= a,如长为2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问PQ与BC的夹角取何值时 BP CQ 的值最大？并

12、求出这个最大值.解法一：ABAC,ABAPAC0.AQ, BPAPAB, CQAQAC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BP.CQ AP -AB. AQACAPAQAPACAB AQABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2AP ACABAP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2AP ACAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 212a 212PQBCPQBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a 2 cos.故当 cos1 ,即0 （ PQ 与 BC 方向相同）时,BC CQ 最大,其最大值为0.解法二：以直角

13、顶点A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如下列图的平面直角坐标系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 | AB |c | AC |b ,就A0,0,B c,0,C 0, b, 且 | PQ |2a,| BC |a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BPxc, y, CQx,yb,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 P 的坐标为 x, y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 Qx,y) , BCc,b, PQ2x,2y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BP CQ xcxyyb可编辑资料 - - - 欢迎下载

14、精品_精品资料_ x2y2 cxby.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosPQ BCcxby .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PQ | | BC |a2cxbya2 cos.BP CQa2a2 cos.故当 cos1 ,即0 （ PQ 与 BC 方向相同）时,BCCQ 最大,其最大值为0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - -

15、 - - - - -例 3如图,已知三角形PAQ 顶点 P（ 3,0）,点 A 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴正半轴上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAAQ0, QM2 AQ.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当点 A 在 y 轴上移动时,求动点M 的轨迹 E 的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设直线l : yk x1) 与轨迹 E 交于 B、 C 两点,点D （1, 0）,如 BDC 为钝角,求k 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_围可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_讲解（ 1） 设

16、OM x, y, OA0, aa0, OQb,0b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就PA3,a, AQb,a, 又PAAQ0,a 23b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又QM xb, y , AQb,a, QM2 AQx3by2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由y24 xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 （ 1） 设OM x, y

17、,OA 0, aa0,OQb,0b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就PA3,a, AQb,a, 又PAAQ20,a3b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又QM xb, y , AQb,a, QM2 AQx3by2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由y24xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 设OB x1, y1 ,OC x2 ,

18、y2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就DB x11, y1 , DC x21, y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BDC为钝角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosBDCDBDC0, 且 cosBDCDBDC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| DB | | DC | DB | | DC |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意 B、D、C 三点不共线, DBDC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2 x1x2 1y1 y20可编辑资料

19、- - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y24x2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由消去 y得k x2k4xk0 k0 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yk x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x242k 2k2, x1x221可编辑资料 - - -

20、 欢迎下载精品_精品资料_y1y2=kx 1+1 kx2+1=k x 1x2+x 1+x 2+1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将代入得k 21 且k 2422k,此时0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2922可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 k0, 所以 k的范畴是 22,2,02220,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_233332五、课堂练习1.如 a =（ 2, 3）, b =（ 4, 7）,就 a 在b 方向上的投影为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 3 B.13 C.565 D.655可编辑资料

21、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： a在 b 方向上的投影为a b = 2 （4） 37 =13=65 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| b |（4）27 2655可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -答案： C2.已知

22、|a |=10,|b |=12,且（ 3, a ）（ 1 , b ）=36,就 a 与b 的夹角是5A.60B.120 C.135 D.150可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由（ 3, a ）（1 , b ）= 36 得 a b = 60.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos a , b =ab60= 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | b | 10122又 0 a , b 180, a , b =120 .答 案 ： B 3.如向量 c 垂直于向量 a 和b , d =

23、a + b （ 、 R,且 0）,就A. c d B. c dC. c 不平行于 d ,也不垂直于 d D.以上三种情形均有可能解析： c a , c b , c a =0, c b =0. c d = c （ a + b ） = c （ a ）+ c （ b ）= c a + c b =0.答案： B4.已知平面上三点A、B、C 满意| AB |=3,|BC |=4,|CA |=5,就 AB BC + BC CA + CA AB的值等于 .解析： | AB |2+| BC |2=| CA |2, ABC 为直角三角形,其中 B=90. AB BC + BC CA + CA AB =0+| B

24、C |CA |cos（ C） +| CA | AB |cos（ A） =25.答案： 25六、小结 ：1. 本节课复习的主要内容是平面对量的数量积及其几何意义,以及用数量积处理向量垂直问题,向量的长度、夹角问题.2. 平面对量在解几中的运用其目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化, 从而将推理转化为运算.这一部分内容我们将在解几复习中进一步深化探究.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七、课后作业1、同步训练 412、已知 F1（ 1,0）, F2（1,0）,A（ 1）求动点 P 的轨迹方程 .,0）,动点 P 满意 3 PF112 PA + PF2 PA =0.可编辑资料 - -

25、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）是否存在点P,使 PA 成为 F1PF2 的平分线 .如存在,求出 P 点坐标.如不存在,请说明理由 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载