超越强化班常微分方程题解﹎.pdf

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1、P105- 例 1 微分方程 22 1yxyxy满足 0 1 x y的特解为 解： 2 22 (1)(1)(1)(1) 11 dydy yxyx dxx dx yy 解得 2 arctan 2 x yxC，由 0 1 4 x yC 则方程的特解为 2 arctan 24 x yx或 2 tan() 24 x yx P105- 例 2 微分方程 () 22 0yxydxxdy+-=(0)x 的通解为 解： 22 2 1( ) yxydyyy dxxxx + =+为齐次方程 令 y uyxuyuxu x =?+，而 2 1yuu = +，比较两式得 2 22 11 ln(1)ln() 11 dud

2、u dxdxuuCx xx uu =?+= + 蝌 有 2222 1yuuyxCxxC+=+=?为方程的通解 P105- 例 3 微分方程xxyyxln2满足 1 1 9 y的解为 解：方程即为 2 lnyyx x ，通解为： 22 ln dxdx xx yexedxC 2 2 1 lnxxdxC x 33 2 111 ln 39 xxxC x 由 1 10 9 yC ，所以 11 ln 39 yxxx P105- 例 4 微分方程 3 1 yxy y 的通解为 解： 33dxdx xyyyxy dydy ，通解为 222 3 22 2 2 3 2 yyy ydyydy ey edyCCeyx

3、ey edyC P106- 例5 设 12 ,yy是 一 阶线性非齐 次微分方程( )( )yP xyQ x的 两个 特解 ，若常数,使 12 yy是该方程的解， 12 yy是该方程对应的齐次方程的解，求与 解：因 12 yy是非齐次方程的解，故 1212 ()( )()( )yyP xyyQ x 1122 ( )( )( )yP x yyP x yQ x ( )( )( )q xq xQ x即1 又因 12 yy是对应齐次方程的解，故 1212 ()( )()0yyP xyy 1122 ( )( )0yP x yyP x y ( )( )0Q xQ x，即0 所以 1 0 ，解得 1 2 P

4、106- 例 6 设非负函数( )f x具有一阶导数，且满足 1 2 00 ( )( )( ) x f xf t dtt ft dt，求函数 ( )f x 解：设 1 2 0 ( )At ft dt，则 0 ( )( ) x f xf t dtA，两边对 x求导，得 ( )( )( ) x fxf xf xCe，由已知(0)( ) x fACAf xAe 又 11 22 2 00 4 ( )() 1 t At ft dtt AedtA e ，则 2 4 ( ) 1 x f xe e P106- 例 7 设)()()(xgxfxF，其中( ),( )f xg x满足下列条件： )()(xgxf，

5、( )( )g xf x，且( )00f=， x exgxf2)()( 求)(xF满足的一阶方程；求)(xF的表达式 解： (1) 由)()()()()(xgxfxgxfxF)()( 22 xfxg )()(2)()( 2 xgxfxgxf)(24 2 xFe x , 可见，)(xF所满足的一阶微分方程为 2 ( )2( )4 (0)0 x FxF xe F (2) 由通解公式有 4)( 2 2 2 CdxeeexF dx x dx 4 42 Cdxee xx22xx eCe 将0)0()0()0(gfF代入上式，得1C. 于是 22 ( ) xx F xee P107- 例 1 解方程022

6、yyy 解：022yyy的特征方程为 2 1,2 2201rrri 则方程的通解为 12 (cossin ) x yeCxCx P107- 例 2 解方程 (4) 250yyy 解： (4) 250yyy的特征方程为 432 1,23,4 2500,12rrrrri 则方程的通解为 1234 (cos2sin 2 ) x yCC xe CxCx P108- 例 1 写出下列方程的特解形式 2 x yyyxe； 解：20yyy的特征方程为 2 1,2 2101rrr 由于1不是特征根，故可设原方程的一个特解为 * () x yaxb e x xeyyy2； 解：20yyy的特征方程为 2 1,2

7、 2101rrr 由于1是特征重根，故可设原方程的一个特解为 *2 () x yxaxb e xxyy 2 ； 解：0yy的特征方程为 2 1,2 10rri 由于0不是特征根，故可设原方程的一个特解为 *2 yaxbxc xxyy 2 ； 解：0yy的特征方程为 2 12 00,1rrrr 由于 0是特征单根，故可设原方程的一个特解为 *2 ()yx axbxc xyycos4； 解：0yy的特征方程为 2 1,2 10rri 由于ii是特征根，故可设原方程的一个特解为 * (cossin)yx AxBx 2 1sinyyxx 解：0yy的特征方程为 2 1,2 10rri 对 2 1yyx

8、，由于0不是特征根，故可其一个特解为 *2 1 yaxbxc 对sinyyx，由于ii是特征根，故可其一个特解为 * 2 (cossin)yx AxBx 则原方程的一个特解可设为 *2 12 (cossin )yyyaxbxcx AxBx P108- 例 2 方程 2 4 x yye的通解为 解：40yy的特征方程为 2 1,2 402rr， 则齐次方程的通解为 22 12 xx YC eC e， 由于 2是特征单根，故可设原方程的一个特解为 *2x yxAe， 将 *2x yxAe代入原方程，解得 *2 11 44 x Ayxe， 则原方程的通解为 *222 12 1 4 xxx yYyC

9、eC exe P108- 例 3 解方程 2 sinya yx)0(a 解： 22 0irara，而ii 若1a， 设特解为 * cossinyAxBx， 代入方程解得 21 0, 1 AB a ， 所以特解为： * 2 1 sin 1 yx a ，则通解为 12 2 cossin 1 sin 1 yCaxCaxx a 若1a， 设特解为 * cossinyx AxBx， 代入方程解得 1 0 2 ,AB，所以特解为： * 1 cos 2 yx 则通解为 12 1 cossincos 2 yCxCxxx P108- 例 4 验证函数 )!3(!6! 3 1)( 363 n xxx xy n 满

10、足方程 x eyyy； 利用的结果求级数 0 3 )!3( n n n x 的和函数（数二不要求） 【解题思路】要验证函数( )y x满足方程，只需把它代入方程，求幂级数的和只需解此微分方程 解: 因为 3693 ()1, 3!6!9!(3 )! LL n xxxx y x n 25831 () 2!5!8!(31)! LL n xxxx yx n 4732 ( ), 4!7!(32)! LL n xxx yxx n 则 23 1 2!3! LL n xxxx yyyxe n 二阶常系数微分方程 x yyye相应的齐次方程为0yyy, 其特征方程为 2 10,rr特征根为 1,2 13 22

11、ir 因此齐次微分方程的通解为 1 2 12 33 cossin 22 x YeCxCx 设非齐次方程的特解为* x yAe, 代入原方程得 1 , 3 A于是 , 1 *. 3 x ye 原方程的通解为 1 2 12 331 cossin. 223 x x yeCxCxe 显然()y x满足初始条件(0)1,(0)0yy，代入得 12 2 ,0. 3 CC 故幂级数的和函数 13 2 0 231 ( )cos (3 )!323 n x x n x y xexe n .x P109- 例 1利用变量代换cosxt (0t) 化简微分方程 0)1 ( 2 yyxyx， 并求满足 0 1 x y，

12、 0 2 x y的特解 解： 1 sin dydydtdy y dxdtdxt dt ， 22 2223 111cos sinsinsinsin xt d ydydydtd ytdy y dxt dtt dtdxtdttdt 代入原方程得 2 2 12122 0cossin1 d y yyCtCtC xCx dt 由 0 1 x y， 0 2 x y，解得 12 2,1CC 则方程0)1( 2 yyxyx的满足 0 1 x y， 0 2 x y的特解为 2 21yxx. P109- 例2 设( )yy x=在(),- ?内有二阶导数且0y，试将( )xx y=所满足的微分方程 () 3 2 2

13、 sin0 d xdx yx dydy 骣 ? +? ? ? 桫 变换为( )yy x=满足的微分方程求变换后的微分方程满足初始条件 ( ) 00y=， 3 (0) 2 y的解 【解题思路】应用关系式 1 y dx dy ，求出二阶导数的关系式后代入方程化简并求解方程 解： 1dx dyy ， 2 23 11 () yx d xdxy dyyydyy 代入原方程得 12 1 sinsin 2 xx yyxyC eC ex 由( )00y=， 3 (0) 2 y，解得 12 1,1CC 则方程() 3 2 2 sin0 d xdx yx dydy 骣 ? +? ? ? 桫 的满足初始条件( )0

14、0y=， 3 (0) 2 y的特解为 1 sin 2 xx yeex P109- 例 3设函数)(xf具有二阶连续导数，而(sin) x zf ey满足方程 22 2 22 xzz ez xy 抖 += 抖 ， 求)(xf. 【解题思路 】利用复合函数的微分法将上面的偏微分方程转化为关于( )f u的常微分方程，从而求出函数 ( )f u 解：由(sin) x zf ey，设sin x uey 2 22 2 ( )sin,( )sin( )sin xxxzz fu eyfu eyfu ey xx 2 22 2 ( )cos ,( )cos( )sin xxx zz fu eyfu eyfu e

15、y yy ， 代入到 22 2 22 x zz e z xy 抖 += 抖 中得： 222 ( )( ) xxx fu ee zef u =， 即有 1212 ( )( )( )( ) uuxx fuf uf uC ef xC eC eC e - =?+=+T P109- 例 1 设 0 ( )sin() ( ) x f xxxt f t dt其中)(xf为连续函数，求)(xf 【解题思路】先在等式两边对x求导，消去变限积分，将原方程化为关于未知函数( )f x的微分方程，再 求解此微分方程 解：原方程整理得 00 ( )sin( )( ) xx f xxxf t dttf t dt， 两边求

16、导 0 ( )cos( ) x fxxf t dt， 再两边求导得( )sin( )fxxf x， 整理得( )( )sin ,(0)0,(0)1fxf xxff（初始条件到原方程中找） 解得 1 ( )sincos 22 x f xxx P110- 例 1 设 1 y， 2 y ， 3 y都是非齐次线性方程 )()()(xfyxQyxPy的特解 1 C， 2 C为任意常数，则函数() 1122123 1yC yC yCCy=+-( D ) (A) 是方程的通解 (B)不是通解 (C) 是特解 (D)可能是也可能不是通解，但一定不是特解 P110- 例 2 设() 12 cossin x ye

17、CxCx=+为某二阶常系数齐次线性方程的通解，则该方程为 【解题思路】本题已知方程的通解，反求微分方程一般根据通解性质得出特征方程的根，从而得出特 征方程，由此可得微分方程 解： 1,2 1ri=?是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根， 即有 22 (1)1220220yyryrr ? -+= -+=?=T为所求二阶常系数齐次线性方程. P110- 例 3 函数 2 12 xxx yC eC exe - =+满足的一个二阶常系数非奇次线性方程是 解： 12 1,2rr= -是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根， 即有 2 2(1)(220)00rrrryyy ? +-+=?-=?=

18、为所求二阶常系数非齐次线性方程 对应的齐次方程. 设二阶常系数非奇次线性方程为2( )yyyf x?+-=， 将 *x yxe=代入上式，可得( )3 x f xe= 则函数 2 12 xxx yC eC exe - =+满足的一个二阶常系数非奇次线性方程是 23 x yyye?+-= P110- 例 4 已知 22 123 , xxxxxxx yxeeyxeeyxeee为某二阶线性非齐次方程的三个特解， 求其通解及该方程 解： 13 22 12 x xxx yye yyeee 均为对应的齐次方程的特解， 所以 12 1,2rr为特征方程的两个根. 2 12020rrrr 则对应的齐次方程为2

19、0yyy 设所求非齐次方程为2()yyyfx，把 1 y代入方程可得：()(12 ) x fxx e 所以原方程为2(12 ) x yyyx e. 其通解为 22 12 xxxx yC eC exee P111- 例 1 方程03yyx的通解为 【解题思路】所给方程不显含y，属于( ,)yf x y型可降阶方程 解： 3 30 y xyyy x 令,ypyp，原方程变为 3p p x 1 13 33 ln3lnln Cdpdp dxdxpxCpy pxpxx 所以 2 32 11 2 C dx C yC xx P111- 例 2 方程3yy，满足 0 1 x y， 0 2 x y的特解为 _

20、【解题思路】所给方程不显含x，属于( ,)yf y y型可降阶方程 解：令, dp ypyp dy ，原方程变为3 dp py dy 33 22 22 11 34()4pdpydypyCyyC ，由 01 20 x yC 所以 3331 4444 2 22242yyydydxydydxyxC 由 02 14 x yC 则 1 4 1 1 2 yx为方程3yy，满足 0 1 x y， 0 2 x y的特解 . P111- 例 3 解方程 2 () (1)(1)1 yxyy yy 【解题思路】所给方程不显含y，属于( ,)yf x y型可降阶方程 解：令,ypyp，原方程变为 2 1dppdxxd

21、x pxp dxxpdppdpp 通解为 11 11 () dxdx pp xepedxCp pC ，即 1 ()xy yC 代入初始条件得 3 2 12 2 0, 3 CyxyxdxxC 2 1 (1)1 3 yC由，则 3 2 21 33 yx为所求 . P111- 例 1 方程 2 2 2 420 d ydy xxy dxdx )0(x的通解为 （数学一） 解：令 t xe，上方程化为 2 2 122 3203201,2 d ydy yrrrr dtdt 通解为 12 2211 2tt yC xC exeCC P113- 例 1 设曲线L位于xOy平面的第一象限，L上任一点P处的切线与y

22、轴总相交，交点记为A已 知PAOA=， 且L过点 3 3 , 2 2 骣 ? ? ? 桫 求L的方程 解：设曲线上任一点(,)P x y，则P点的切线方程为： YyyXx， 令0X，可得过P点处的切线与Y轴的交点为：0,Ayxy， 因为PAOA，即有 2 2 (0)xxyyxy 即 22 2 xxyyxy为齐次方程， 22 3 2 2 3 2 x yx y xy y ， 对（ *） 2 22 1 2 2 y yx x y yxy x ，令 y uyxuyuxu x 即有 2 2 121 21 uu yuxududx uux ，解得 222 1 C uyCxx x 由于L过点 3 3 , 2 2

23、 骣 ? ? ? 桫 ，则3C，则 22 3yxx P113- 例 2 设)(xfy是第一象限内连接点()()0,1 ,1,0AB的一段连续曲线，( ,)M x y为该曲线上任意一 点，C为M在x轴上的投影若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为 3 1 63 x +， 求)(xf 的表达式 解：由题设有： 3 1 ( )1 1 ( ) 263 x fxx x fx dx为积分方程，且(1)0f， 两边对x求导得 2 1 ()( )1() 22 x fxxfxfx， 整理得： 11 ( )()fxfxx xx 为一阶线性非齐次方程，解得 11 2 1 ( )1 dxdx xx fxe

24、xedxCxCx x 由于(1)02fC， 则 2 ( )12f xxx P113- 例 3 设曲线yfx，其中fx是可导函数，且0fx已知曲线yfx与直线0y， 1x及xt（1t）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t倍， 求该曲线的方程 解法 1: 由题意知 2 11 ( )( ) tt fx dxtf x dx，两边对 t求导得 2 1 ( )( )( ) t ftf x dxtf t， 代入1t得(1)1f或(1)0f（舍去） 再求导得)()(2)()(2tf ttftftf记( )f ty，则 1 1 2 dt t dyy ， 其通解为 11 22 2

25、() 3 dydy yy c teedycy y ，代入1t，1y得 1 3 c， 从而 21 33 ty y ，故所求曲线方程为 21 33 xy y 解法 2：由题意知 2 11 ( )( ) tt fx dxtf x dx， 两边对t求导得 2 1 ( )( )( ) t ftf x dxtf t ， 代入 1t 得(1)1f或(1)0f（舍去） 再求导得)()(2)()(2tf ttftftf 整理得 2 2 dyy dtyt 设 y u t ，则, dydu ut dtdt 原方程变成 2 32 21 duuu t dtu 分离变量得 211 (32 ) u dudt uut ，即

26、114 () 332 dt du uut ， 积分得Ctuuln)23(ln 3 12 ，即 12 33 (32 )uuCt 代入1,1tu得1C，所以 2 3 1 (32 )uu t 代入 y u t 并化简得 2 (32 )1yty，即 12 3 3 ty y 故所求曲线方程为 12 3 3 xy y P113- 例 4 设函数( )y x()0 x二阶可导且0)(xy，1)0(y过曲线上任一点),(yxP作该曲线的 切线及x轴的垂线上述两直线与x轴围成三角形面积记为 1 S，区间0,x上以)(xyy为曲边的曲边梯 形面积记为 2 S，并设 21 2SS恒为 1求此曲线方程 解：点( ,

27、)P x y的切线方程为()Yyy Xx y xx y 切线与轴的交点为 A(,0) 由已知 12 0 1 212()( )1 2 x y SSxxyy x dx y ， 整理得： 2 0 ( )1 x y y x dx y ，两边求导得 2 2 2 () 2 0 () (0)1,(0)1 x y y y yyyy y eyy y yy P114- 例 5 一个充满气体的气球突然破了一个孔，漏气的速率正比于球内气体的质量，比例系数0k 设 球内原有气体100 克，如果孔破后一分钟内还有20 克气体，问什么时候球内剩下1 克气体 ? 解：应建立球内气体质量与时间t的关系式 漏气的速率即球内气体质

28、量的变化率，由题意得 (0)100 dm km dt m ，解得100 kt me 又 ln5 (1)20ln 5100 t mkme 当 1m 时， ln100 2.86() ln 5 tB分钟 P114- 例 6 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数0k 假设在融 化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 0 r的雪堆在开始融化的3 小时内融化了其体积的 7 8 问雪堆 全部融化需多少小时? 解：需建立体积与时间或半径与时间的关系式，据题意有 dV k S dt ， 而 3222 22 ,232 33 drdr VrSrrkrkrktC dtdt 已知 000

29、0 3 0 2 () 3 t rrk trrCrVrk t 由题意 33 30000 121 21 (3 ) 838 36 tt VVrkrkr 所以 00 1 6 rrr t，当0r时（即雪堆全部融化） ，此时，6()t小时 P114- 例 7质量为m克的雨点， 在空气中自由落下， 设空气阻力和雨点速度成正比，比例系数为0k 如 果开始雨点速度为0，试求雨点运动的速度和时间的关系式 解：设( )vv t，(0)0v， 一方面Fm gkv 合 ；另一方面 dv Fm am dt 合 由牛顿第二定律有： dvdvk m gkvmvg dtdtm 解得 kt m mg vCe k ，由(0)0 m

30、g vC k 所以v kt m mgmg ve kk P114- 例 8 设有一质量为9000kg的飞机着陆的水平速度为700/km h， 经测试，减速伞打开后飞机所受 的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数 6 106k) ，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? 解：由0 dvdvm kvmmvsvc dtds m Fm adsdv kk 合 由 0 700700700 s mmm Csv kkk v 当0v时， 6 9000 7007001.05 () 610 m sk m k P115- 例 1 差分方程 1 15 22 t tt yy 的通解为 （数三要求掌握） 解：特征方程为 1

31、1 0 22 ，对应齐次方程的通解为 1 ( ) 2 t C Q 5 2 d不是特征方程的根，故设特解 *5 ( ) 2 t t yA，代入方程得 1 2 A 原方程的通解为 11 5 ( )() 22 2 tt t yC P115- 例 2 差分方程 1 21050 tt yyt的通解为 （数三要求掌握） 解：方程化为 1 5 5 2 tt yyt，特征方程为505，对应齐次方程的通解为( 5) t C Q1d不是特征方程的根，故设特解为 * t yatb，代入原方程得 5 (1)5() 2 a tbatbt 5 12 a， 5 72 b， * 51 () 126 t yt 所以原方程的通解

32、为 51 ( 5)() 126 t t yCt 本章小结 常微分方程是微积分学联系实际的主要渠道考研主要考察两个方面的问题，一是求方程的解，二是 根据实际问题的要求先确定方程，再求解 1.关于解方程 首先应判别方程的类型，判别方程类型也是一种能力因为不同类型的方程有不同的解法，若某一方 程，属于多种不同的类型，应选择相对简便的解法 其次是求解方法，一些典型方程的求解方法应熟练掌握对于一阶方程，有五种类型；对于高阶线性 方程，应搞清解的结构理论及常系数齐次线性方程的特征方程的根与微分方程解的关系，应搞清常系数非 齐次线性方程特解的设法；对于其它类型的高阶方程如可降阶的高阶方程，欧拉方程等，它们都

33、是用固定 的变量代换化简并求解；最后对于不属于典型类型的方程，作变量代换是一种行之有效的途径作什么样 的变量代换要具体问题具体分析，根据题目的特点来确定所作的变换 2.关于建立方程 有关微分方程的应用问题，首先是建立方程，这要根据题意，分析条件，搞清问题所涉及的几何量或 物理量的意义，并结合其它相关知识来解决 有些微分方程可能是数学问题提供的，例如有的微分方程是由积分方程提出的，有的来自曲线积分与 路径无关的条件或微分式子是某个函数的全微分，此时应转化成微分方程来求解在建立微分方程的过程 中还应注意所给条件是否提供了初始条件 本章主要内容如下 微分方程 微分方程的概念 一阶微分方程 高阶微分方程 变量可分离的方程 齐次方程 一阶线性方程 伯努利方程（数一） 全微分方程（数一） 可降阶的高阶方程 线性微分方程 ( ) ( ) n yf x型 ( ,)yfx y型 ( ,)yf y y型 解的性质与结构 常系数齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程