中考数学试题汇编二次函数﹎.pdf

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1、学习好资料欢迎下载 2017 中考试题汇编 - 二次函数 (2017 贵州铜仁 )25 （14 分）如图，抛物线 y=x 2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B （0， 2） ，并与 x 轴交于点 C，点 M 是抛物线对称轴 l 上任意一点（点 M，B，C 三 点不在同一直线上） （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得 MP1P2与MCB 全等，并求出点P1， P2的坐标； （3）在对称轴上是否存在点Q，使得 BQC 为直角，若存在，作出点Q（用尺 规作图，保留作图痕迹） ，并求出点 Q 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数的表达式；

2、 （2）分三种情况： 当 P1MP2CMB 时，取对称点可得点P1，P2的坐标； 当 BMCP2P1M 时，构建 ? P2MBC 可得点 P1，P2的坐标； P1MP2CBM，构建 ? MP1P2C，根据平移规律可得P1，P2的坐标； （3）如图 3，先根据直径所对的圆周角是直角，以 BC 为直径画圆，与对称轴的 交点即为点 Q，这样的点 Q 有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明BDQ1 Q1EC，列比例式，可得点Q 的坐标 【解答】 解： （1）把 A（1，0） ，B（0，2）代入抛物线 y=x 2+bx+c 中得： ， 解得：， 学习好资料欢迎下载 抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=

3、x 2x2； （2）如图 1，P1与 A 重合， P2与 B 关于 l 对称， MB=P2M，P1M=CM ，P1P2=BC， P1MP2CMB， y=x 2x2=（x ） 2 ， 此时 P1（1，0） ， B（0，2） ，对称轴：直线x=， P2（1，2） ； 如图 2，MP2BC，且 MP2=BC， 此时， P1与 C 重合， MP2=BC，MC=MC ，P2MC=BP1M， BMCP2P1M， P1（2，0） ， 由点 B 向右平移个单位到 M，可知：点 C 向右平移个单位到 P2， 当 x=时，y=（） 2 =， P2（，） ； 如图 3，构建 ? MP1P2C，可得 P1MP2CBM

4、，此时 P2与 B 重合， 由点 C 向左平移 2 个单位到 B，可知：点 M 向左平移 2 个单位到 P1， 点 P1的横坐标为， 当 x=时，y=（）2=4=， P1（，） ，P2（0，2） ； （3）如图 3，存在， 作法：以 BC 为直径作圆交对称轴l 于两点 Q1、Q2， 则BQ1C=BQ2C=90 ； 学习好资料欢迎下载 过 Q1作 DEy 轴于 D，过 C 作 CEDE 于 E， 设 Q1（，y） （y0） ， 易得 BDQ1Q1EC， ， =， y 2+2y =0， 解得： y1=（舍） ，y2=， Q1（，） ， 同理可得： Q2（，） ； 综上所述，点 Q 的坐标是：（，）

5、或（，） 学习好资料欢迎下载 【点评】 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、 二次函数的性质、圆周角定理以及三角形全等的性质和判定，解题的关键是： （1） 利用待定系数法求出函数解析式； （2）利用二次函数的对称性解决三角形全等问 学习好资料欢迎下载 题； （3）分类讨论本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次 函数的对称性，再结合相似三角形、方程解决问题是关键 (2017 湖南)27 （12 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 为边 AB 上一动 点，连结 CE 并将其绕点 C 顺时针旋转 90 得到 CF，连结 DF，以 CE、CF 为邻

6、 边作矩形 CFGE，GE 与 AD、AC 分别交于点 H、M，GF 交 CD 延长线于点 N （1）证明：点 A、D、F 在同一条直线上； （2）随着点 E 的移动，线段 DH 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有， 请说明理由； （3）连结 EF、MN，当 MN EF 时，求 AE 的长 【分析】（1）由 DCF BCE，可得 CDF=B=90 ，即可推出 CDF+ CDA=180 ，由此即可证明 （2）有最小值 设 AE=x，DH=y，则 AH=1y，BE=1x，由ECBHEA， 推出=，可得=，推出 y=x 2x+1=（x ）2+，由 a=10，y 有最 小值，最小值为 （3）只要证

7、明 CFNCEM，推出 FCN=ECM，由 MCN=45 ，可得 FCN=ECM=BCE=22.5 ，在 BC 上取一点 G，使得 GC=GE，则 BGE 是等 腰直角三角形，设BE=BG=a，则 GC=GE=a，可得 a+a=1，求出 a 即可解 决问题； 【解答】 （1）证明：四边形ABCD 是正方形， CD=CB，BCD=B=ADC=90 ， CE=CF，ECF=90 ， ECF=DCB， 学习好资料欢迎下载 DCF=BCE， DCFBCE， CDF=B=90 ， CDF+CDA=180 ， 点 A、D、F 在同一条直线上 （2）解：有最小值 理由：设 AE=x，DH=y，则 AH=1y

8、，BE=1x， 四边形 CFGE 是矩形， CEG=90 ， CEB+AEH=90 CEB+ECB=90 ， ECB=AEH， B=EAH=90 ， ECBHEA， =， =， y=x 2x+1=（x ）2+， a=10， y 有最小值，最小值为 DH 的最小值为 （3）解：四边形 CFGE是矩形， CF=CE， 四边形 CFGE 是正方形， GF=GE，GFE=GEF=45 ， NMEF， GNM=GFE，GMN=GEF， GMN=GNM， 学习好资料欢迎下载 GN=GM， FN=EM， CF=CE，CFN=CEM， CFNCEM， FCN=ECM， MCN=45 ， FCN=ECM=BCE

9、=22.5 ， 在 BC 上取一点 G，使得 GC=GE，则 BGE 是等腰直角三角形，设BE=BG=a， 则 GC=GE=a， a+a=1， a=1， AE=AB BE=1（1）=2 【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等 三角形的判定和性质、 相似三角形的判定和性质、 勾股定理等知识， 解题的关键 是灵活应用所学知识解决问题， 学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的 思想思考问题，属于中考压轴题 (2017 辽宁)28 （14分）如图，在平面直角坐标系中， 二次函数 y=x 2+bx+c 的图象与坐标轴交于A，B，C 三点，其中点 A 的坐标为（ 3，0

10、） ，点 B 的坐 标为（4，0） ，连接 AC，BC动点 P从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单 位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以 每秒 1 个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点 随之停止运动，设运动时间为t 秒连接 PQ （1）填空： b=，c=4； （2）在点 P，Q 运动过程中， APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由； 学习好资料欢迎下载 （3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使 PQM 是以点 P 为 直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理 由；

11、（4）如图，点 N 的坐标为（，0） ，线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点 Q 关于直线 NH 的对称点 Q 恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点Q 的坐标 【分析】 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+3） （x4） 将 a=代入可得到抛 物线的解析式，从而可确定出b、c的值； （2）连结 QC先求得点 C 的坐标，则 PC=5t，依据勾股定理可求得AC=5， CQ 2=t2+16，接下来，依据 CQ2CP2=AQ2AP2 列方程求解即可； （3）过点 P 作 DEx 轴，分别过点 M、Q 作 MDDE、QEDE，垂足分别为 D、E，MD 交 x 轴与点 F，过点 P 作 PGx

12、轴，垂足为点 G，首先证明 PAG ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、 DF 的长，然后再证明 MDPPEQ，从而得到 PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然 后可求得 FM 和 OF 的长，从而可得到点M 的坐标，然后将点M 的坐标代入抛 物线的解析式求解即可； （4） 连结：OP，取 OP 的中点 R， 连结 RH， NR，延长 NR 交线段 BC 与点 Q 首 先依据三角形的中位线定理得到RH=QO=t，RHOQ，NR=AP=t，则 RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH 是QNQ 的 平分线，然后求得直线NR 和 BC 的解析

13、式，最后求得直线NR 和 BC 的交点坐 标即可 【解答】 解： （1）设抛物线的解析式为y=a（x+3） （x4） 将 a=代入得： 学习好资料欢迎下载 y=x 2+ x+4， b=，c=4 （2）在点 P、Q 运动过程中， APQ 不可能是直角三角形 理由如下：连结 QC 在点 P、Q 运动过程中， PAQ、PQA 始终为锐角， 当 APQ 是直角三角形时，则 APQ=90 将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=4， C（0，4） AP=OQ=t， PC=5t， 在 RtAOC 中，依据勾股定理得： AC=5，在 RtCOQ 中，依据勾股定理可 知：CQ2=t2+16，在 RtCPQ中依据

14、勾股定理可知： PQ2=CQ2CP 2，在 RtAPQ 中，AQ2AP2=PQ 2， CQ 2CP2=AQ2AP2，即（ 3+t）2t2=t2+16（5t）2，解得： t=4.5 由题意可知： 0t4， t=4.5 不合题意，即 APQ 不可能是直角三角形 （3）如图所示： 学习好资料欢迎下载 过点 P 作 DEx 轴，分别过点 M、 Q 作 MDDE、QEDE， 垂足分别为 D、 E， MD 交 x 轴与点 F， 过点 P作 PGx 轴， 垂足为点 G， 则 PGy 轴， E=D=90 PGy 轴， PAGACO， =，即=， PG=t，AG=t， PE=GQ=GO+OQ=AOAG+OQ=3

15、t+t=3+t，DF=GP=t MPQ=90 ，D=90 ， DMP+DPM=EPQ+DPM=90 ， DMP=EPQ 又 D=E，PM=PQ， MDPPEQ， PD=EQ=t，MD=PE=3+t， FM=MD DF=3+tt=3t， OF=FG+GO=PD+OAAG=3+tt=3+t， M（3t，3+t） 点 M 在 x 轴下方的抛物线上， 3+t=（ 3t） 2+ （ 3t）+4，解得： t= 0t4， t= （4）如图所示：连结 OP，取 OP 的中点 R，连结 RH，NR，延长 NR 交线段 BC 与点 Q 学习好资料欢迎下载 点 H 为 PQ 的中点，点 R 为 OP 的中点， RH

16、=QO=t，RHOQ A（3，0） ，N（，0） ， 点 N 为 OA 的中点 又R 为 OP的中点， NR=AP=t， RH=NR， RNH=RHN RHOQ， RHN=HNO， RNH=HNO，即 NH 是QNQ 的平分线 设直线 AC 的解析式为 y=mx+n， 把点 A （3， 0） 、 C （0， 4） 代入得：， 解得： m=，n=4， 直线 AC 的表示为 y=x+4 同理可得直线 BC 的表达式为 y=x+4 设直线 NR 的函数表达式为 y=x+s，将点 N 的坐标代入得：（）+s=0， 解得： s=2， 直线 NR 的表述表达式为 y=x+2 将直线 NR 和直线 BC 的

17、表达式联立得：，解得： x=，y=， 学习好资料欢迎下载 Q （，） 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数 法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定， 依据勾股定理列出关于t 的方程是解答问题（ 2）的关键；求得点M 的坐标（用 含 t 的式子表示）是解答问题（3）的关键；证得 NH 为QHQ 的平分线是解答 问题（ 4）的关键 (2017 山东) 25 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线 y=x 2 x+8与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，连接 AB，点 M，N 分别是 OA，AB 的

18、中点，RtCDERtABO，且CDE 始终保持边 ED 经过点 M，边 CD 经过点 N，边 DE 与 y 轴交于点 H，边 CD 与 y 轴交于点 G （1）填空： OA 的长是8，ABO 的度数是30度； （2）如图 2，当 DEAB，连接 HN 求证：四边形 AMHN 是平行四边形； 判断点 D 是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由； （3）如图 3，当边 CD 经过点 O 时， （此时点 O 与点 G 重合） ，过点 D 作 DQ OB，交 AB 延长线上于点 Q， 延长 ED 到点 K， 使 DK=DN ， 过点 K 作 KIOB， 在 KI 上取一点 P，使得 PDK=45 （点

19、P，Q 在直线 ED 的同侧） ，连接 PQ，请 直接写出 PQ 的长 【分析】 （1）先求抛物线与两坐标轴的交点坐标，表示OA 和 OB 的长，利用正 切值可得 ABO=30 ； （2）根据三角形的中位线定理证明HNAM ，由两组对边分别平行的四边形 学习好资料欢迎下载 是平行四边形得结论； 如图 1，作垂线段 DR，根据直角三角形30度角的性质求 DR=2，可知：点 D 的横坐标为 2，由抛物线的解析式可计算对称轴是直线：x=2，所以点 D 在该抛物线的对称轴上； （3）想办法求出 P、Q 的坐标即可解决问题； 【解答】 解： （1）当 x=0 时，y=8， B（0，8） ， OB=8，

20、当 y=0 时， y=x 2 x+8=0， x 2+4x96=0， （x8） （x+12）=0， x1=8，x2=12， A（8，0） ， OA=8， 在 RtAOB 中，tanABO=， ABO=30 ， 故答案为： 8，30； （2）证明： DEAB， ， OM=AM ， OH=BH， BN=AN ， HNAM ， 四边形 AMHN 是平行四边形； 点 D 在该抛物线的对称轴上， 理由是：如图 1，过点 D 作 DRy 轴于 R， 学习好资料欢迎下载 HNOA， NHB=AOB=90 ， DEAB， DHB=OBA=30 ， RtCDERtABO， HDG=OBA=30 ， HGN=2HD

21、G=60 ， HNG=90 HGN=90 60 =30 ， HDN=HND ， DH=HN=OA=4， RtDHR 中，DR=DH=2， 点 D 的横坐标为 2， 抛物线的对称轴是直线：x=2， 点 D 在该抛物线的对称轴上； （3） 如图 3 中，连接 PQ， 作 DRPK 于 R， 在 DR 上取一点 T，使得 PT=DT 设 PR=a 学习好资料欢迎下载 NA=NB ， ON=NA=NB ， ABO=30 ， BAO=60 ， AON 是等边三角形， NOA=60 =ODM+OMD， ODM=30 ， OMD=ODM=30 ， OM=OD=4，易知 D（2，2） ，Q（2，10） ， N

22、（4，4） ， DK=DN=12， DRx 轴， ， KDR=OMD=30 RK=DK=6，DR=6， PDK=45 ， TDP=TPD=15 ， PTR=TDP+TPD=30 ， TP=TD=2a，TR=a， a+2a=6， a=1218， 可得 P（26，1018） ， PQ=12 学习好资料欢迎下载 【点评】 本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、锐角三角函数、 30 度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分 线段成比例定理等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常 用辅助线， 构造直角三角形解决问题， 学会利用参数构建方程解决问题，属

23、于中 考压轴题 (2017 辽宁) 29 （9 分）如图 1，矩形 OABC 的顶点 A，C 的坐标分别为 （4，0） ， （0，6） ，直线 AD 交 B C 于点 D，tanOAD=2，抛物线 M1：y=ax 2+bx（a0） 过 A，D 两点 （1）求点 D 的坐标和抛物线 M1的表达式； （2）点 P是抛物线 M1对称轴上一动点， 当CPA=90 时，求所有符合条件的点 P的坐标； （3）如图 2，点 E（0，4） ，连接 AE，将抛物线 M1的图象向下平移 m（m0） 个单位得到抛物线M2 设点 D 平移后的对应点为点D ，当点 D 恰好在直线 AE 上时，求 m 的值； 当 1xm

24、（m1）时，若抛物线 M2与直线 AE 有两个交点，求 m 的取值范 围 【分析】 （1）如图 1 中，作 DHOA 于 H则四边形 CDHO 是矩形在 Rt ADH 中，解直角三角形，求出点D 坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）如图 11 中，设 P （2，m） 由CPA=90 ，可得 PC 2+PA2=AC2，可得 22+ （m6）2+22+m2=42+62，解方程即可； （3）求出D 的坐标；构建方程组，利用判别式0，求出抛物线与直线 AE 有两个交点时的m 的范围；求出 x=m 时，求出平移后的抛物线与直线AE 学习好资料欢迎下载 的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断 【解答

25、】 解： （1）如图 1 中，作 DHOA 于 H则四边形 CDHO 是矩形 四边形 CDHO 是矩形， OC=DH=6， tanDAH=2， AH=3， OA=4， CD=OH=1， D（1，6） ， 把 D（1，6） ，A（4，0）代入 y=ax2+bx 中，则有， 解得， 抛物线 M1的表达式为 y=2x 2+8x （2）如图 11 中，设 P（2，m） 学习好资料欢迎下载 CPA=90 ， PC 2+PA2=AC2， 22+（m6）2+22+m2=42+62， 解得 m=3， P（2，3+） ，P （2，3） （3）如图 2 中， 易知直线 AE 的解析式为 y=x+4， x=1 时，

26、y=3， D （1，3） ， 平移后的抛物线的解析式为y=2x2+8xm， 把点 D 坐标代入可得 3=2+8m， m=3 由，消去 y 得到 2x29x+4+m=0， 当抛物线与直线 AE 有两个交点时， 0， 9 242（4+m）0， m， x=m 时， m+4=2m 2+8mm，解得 m=2+ 或 2（舍弃） ， 综上所述，当 2+m时，抛物线 M2与直线 AE 有两个交点 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角 学习好资料欢迎下载 函数、勾股定理等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方 程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题 (201

27、7 四川) 24 （12 分）如图，抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点， B 点 坐标为（ 3，0） 与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在 x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线 y=x+m 与直线 BC 交于点 E， 与 y 轴交于点 F，求 PE+EF 的最大值； （3）点 D 为抛物线对称轴上一点 当 BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标； 若 BCD 是锐角三角形，求点D 的纵坐标的取值范围 【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）易得 BC 的解析式为 y=x+3，先证明 ECF 为等腰直

28、角三角形，作PH y 轴于 H，PGy 轴交 BC 于 G，如图 1，则 EPG 为等腰直角三角形， PE= PG，设 P （t，t 24t+3） （1t3） ，则 G（t，t+3） ，接着利用 t 表示 PF、PE， 所以 PE+EF=2PE+PF=t2+3t+，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）如图 2，抛物线的对称轴为直线x=2，设 D（2，y） ，利用两点间 的距离公式得到BC2=18，DC2=4+（y3）2，BD 2=1+y2，讨论：当 BCD 是以 BC 为直角边， BD 为斜边的直角三角形时， 18+4+（y3） 2=1+y2；当 BCD 是 以 BC 为直角边， CD 为

29、斜边的直角三角形时， 4+（y3） 2=1+y2+18，分别解方 程求出 t 即可得到对应的 D 点坐标； 由于 BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形有4+（y3）2+1+y2=18，解得 y1= ，y2=，得到此时 D 点坐标为（ 2，）或（ 2，） ，然 后结合图形可确定 BCD 是锐角三角形时点D 的纵坐标的取值范围 学习好资料欢迎下载 【解答】 解： （1）把 B（3，0） ，C（0，3）代入 y=x 2+bx+c 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为y=x 24x+3； （2）易得 BC 的解析式为 y=x+3， 直线 y=xm 与直线 y=x 平行， 直线 y=x+3 与直线 y=x

30、m 垂直， CEF=90 ， ECF 为等腰直角三角形， 作 PHy 轴于 H， PGy 轴交 BC 于 G， 如图 1， EPG为等腰直角三角形， PE= PG， 设 P（t，t24t+3） （1t3） ，则 G（t，t+3） ， PF=PH=t，PG=t+3（t 24t+3）=t2+3t， PE=PG=t2+t， PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=t 2+3 t+=t 2+4 =（t2） 2+4 ， 当 t=2 时，PE+EF 的最大值为 4； （3）如图 2，抛物线的对称轴为直线x=2， 设 D（2，y） ，则 BC2=32+32=18，DC2=4+（y3） 2，BD2=（32

31、）2+y2=1+y2， 当BCD 是以 BC 为直角边， BD 为斜边的直角三角形时，BC 2+DC2=BD2，即 18+4+（y3） 2=1+y2，解得 y=5，此时 D 点坐标为（ 2，5） ； 当BCD 是以 BC 为直角边， CD 为斜边的直角三角形时，BC2+DB 2=DC2，即 4+（y3） 2=1+y2+18，解得 y=1，此时 D 点坐标为（ 2，1） ； 当 BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即 4+（y3） 2+1+y2=18，解得 y1= ，y2=，此时 D 点坐标为（2，）或（2， ） ， 所以 BCD 是锐角三角形， 点 D 的纵坐标的

32、取值范围为y5 或 1y 学习好资料欢迎下载 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次 函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式； 会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质； 会运用分类讨 论的思想和数形结合的思想解决数学问题 (2017 新疆) 24 （12 分） （2017? 乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax 2+bx+c（a0）与 直线 y=x+1 相交于 A（1，0） ，B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上的一个动点（不与点A、点 B 重合） ，过点 P

33、作直线 PD x 轴于点 D，交直线 AB 于点 E 当 PE=2ED 时，求 P 点坐标； 是否存在点 P 使BEC 为等腰三角形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不 存在，请说明理由 【分析】 （1）由直线解析式可求得B 点坐标，由 A、B、C 三点的坐标，利用待 定系数法可求得抛物线解析式； （2）可设出 P点坐标，则可表示出E、D 的坐标，从而可表示出PE 和 ED 的 学习好资料欢迎下载 长，由条件可知到关于P 点坐标的方程，则可求得P点坐标；由 E、B、C 三 点坐标可表示出 BE、CE 和 BC 的长，由等腰三角形的性质可得到关于E 点坐标 的方程，可求得 E 点坐标，则可求得P

34、 点坐标 【解答】 解： （1）点 B（4，m）在直线 y=x+1 上， m=4+1=5， B（4，5） ， 把 A、B、C 三点坐标代入抛物线解析式可得，解得， 抛物线解析式为y=x2+4x+5； （2）设 P（x，x2+4x+5） ，则 E（x，x+1） ，D（x，0） ， 则 PE=| x2+4x+5（x+1）| =| x2+3x+4| ，DE=| x+1| ， PE=2ED， | x2+3x+4| =2| x+1| ， 当x 2+3x+4=2（x+1）时，解得 x=1 或 x=2，但当 x=1 时，P 与 A 重合不合 题意，舍去， P（2，9） ； 当x2+3x+4=2（x+1）时，

35、解得 x=1 或 x=6，但当 x=1 时，P 与 A 重合不 合题意，舍去， P（6，7） ； 综上可知 P 点坐标为（ 2，9）或（ 6，7） ； 设 P（x，x 2+4x+5） ，则 E（x，x+1） ，且 B（4，5） ，C（5，0） ， BE=| x4| ，CE=， BC=， 当BEC 为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC 或 CE=BC 三种情况， 当 BE=CE时， 则| x4| =， 解得 x=， 此时 P点坐标为 （，） ； 当 BE=BC 时，则| x4| =，解得 x=4+或 x=4，此时 P 点坐标为 （4+，48）或（ 4，48） ； 学习好资料欢迎下载 当 C

36、E=BC 时，则=，解得 x=0 或 x=4，当 x=4 时 E 点与 B 点重 合，不合题意，舍去，此时P 点坐标为（ 0，5） ； 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（ 4+，48） 或（4，48）或（ 0，5） 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形 的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用， 在（2）中用 P 点坐标分别表示出PE和 ED 的长是解题关键，在（ 2）中用 P点坐标表示出 BE、CE 和 BC 的长是解题的关键，注意分三种情况讨论本题 考查知识点较多，综合性较强，难度适中 (2017浙江) 22 （10

37、分）如图，过抛物线y=x22x 上一点 A 作 x 轴的平行 线，交抛物线于另一点B，交 y 轴于点 C，已知点 A 的横坐标为 2 （1）求抛物线的对称轴和点B 的坐标； （2）在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C 关于直线 OP 的对称点 D； 连结 BD，求 BD 的最小值； 当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方时，求直线PD 的函数表达式 【分析】 （1）首先确定点A 的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称 性可得点 B 坐标； （2）由题意点 D 在以 O 为圆心 OC 为半径的圆上， 推出当 O、D、B 共线时， BD 的最小值 =OBOD； 当点 D 在

38、对称轴上时，在 RtOD=OC=5， OE=4， 可得 DE= 学习好资料欢迎下载 =3，求出 P、D 的坐标即可解决问题； 【解答】 解： （1）由题意 A（2，5） ，对称轴 x=4， A、B 关于对称轴对称， B（10，5） （2）如图 1 中， 由题意点 D 在以 O 为圆心 OC 为半径的圆上， 当 O、D、B 共线时， BD 的最小值 =OBOD=5=55 如图 2 中， 图 2 当点 D 在对称轴上时，在RtODE 中，OD=OC=5，OE=4， 学习好资料欢迎下载 DE=3， 点 D 的坐标为（ 4，3） 设 PC=PD=x，在 RtPDK 中，x 2=（4x）2+22， x=

39、， P（，5） ， 直线 PD 的解析式为 y=x+ 【点评】 本题考查抛物线与X 轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等 知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题， 属于中考常考题型 26 （12分） （2017? 重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2 x 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，点 E（4，n）在抛物线上 （1）求直线 AE 的解析式； （2）点 P 为直线 CE 下方抛物线上的一点，连接PC，PE当PCE 的面积最大 时，连接 CD，CB，点 K 是线段 CB

40、 的中点，点 M 是 CP 上的一点，点 N 是 CD 上的一点，求 KM +MN+NK 的最小值； （3）点 G 是线段 CE 的中点，将抛物线 y=x2x沿 x 轴正方向平移 得到新抛物线y ，y 经过点 D，y的顶点为点 F在新抛物线y的对称轴上，是 否存在一点 Q，使得 FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若 不存在，请说明理由 学习好资料欢迎下载 【分析】 （1）抛物线的解析式可变形为y=（x+1） （x3） ，从而可得到点A 和点 B 的坐标，然后再求得点E 的坐标，设直线 AE 的解析式为 y=kx+b，将点 A 和点 E 的坐标代入求得 k 和 b 的值，从而得

41、到 AE 的解析式； （2）设直线 CE 的解析式为 y=mx，将点 E 的坐标代入求得m 的值，从而 得到直线 CE 的解析式，过点 P 作 PFy 轴， 交 CE 与点 F 设点 P的坐标为（x， x 2 x） ，则点 F（x，x） ，则 FP=x2+x由三角 形的面积公式得到 EPC的面积 =x2+x，利用二次函数的性质可求得 x 的值，从而得到点 P的坐标，作点 K 关于 CD 和 CP 的对称点 G、H，连接 G、 H 交 CD 和 CP与 N、M然后利用轴对称的性质可得到点G 和点 H 的坐标，当 点 O、N、M、H 在条直线上时， KM +MN+NK 有最小值，最小值 =GH；

42、（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点 F 的坐标，利用中点坐标公式可求 得点 G 的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ 三种情况求解即可 【解答】 解： （1）y=x2x， y=（x+1） （x3） A（1，0） ，B（3，0） 当 x=4 时，y= E（4，） 设直线 AE 的解析式为 y=kx+b，将点 A 和点 E 的坐标代入得：， 解得： k=，b= 直线 AE 的解析式为 y=x+ （2） 设直线 CE 的解析式为 y=mx， 将点 E 的坐标代入得： 4m=， 解得： m= 直线 CE 的解析式为 y=x 学习好资料欢迎下载 过点 P 作 PFy 轴，交 CE 与

43、点 F 设点 P 的坐标为（ x，x 2 x） ，则点 F（x，x） ， 则 FP=（x）（x2x）=x2+x EPC的面积 =（x2+x）4=x2+x 当 x=2 时， EPC的面积最大 P（2，） 如图 2 所示：作点 K 关于 CD 和 CP 的对称点 G、H，连接 G、H 交 CD 和 CP 与 N、M K 是 CB 的中点， k（，） 点 H 与点 K 关于 CP 对称， 点 H 的坐标为（，） 点 G 与点 K 关于 CD 对称， 学习好资料欢迎下载 点 G（0，0） KM +MN+NK=MH +MN+GN 当点 O、N、M、H 在条直线上时， KM +MN +NK 有最小值，最小

44、值 =GH GH=3 KM +MN+NK 的最小值为 3 （3）如图 3 所示： y 经过点 D，y 的顶点为点 F， 点 F（3，） 点 G 为 CE 的中点， G（2，） FG= 当 FG=FQ 时，点 Q（3，） ，Q （3，） 当 GF=GQ 时，点 F 与点 Q 关于 y=对称， 点 Q （3，2） 当 QG=QF 时，设点 Q1的坐标为（ 3，a） 由两点间的距离公式可知：a+=，解得： a= 学习好资料欢迎下载 点 Q1的坐标为（ 3，） 综上所述，点 Q 的坐标为（3，）或（3，） 或（3，2） 或（3，） 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数

45、 法求一次函数的解析式、 轴对称最短路径问题、 等腰三角形的定义和性质， 找到 KM +MN+NK 取得最小值的条件是解答问题 （2） 的关键；分为 QG=FG、 QG=QF， FQ=FQ 三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键 (2017 湖北) 25. (12 分)抛物线 y x 2 bxc 与 x 轴交于 A(1，0)，B(m，0)，与 y 轴交于 C. (1) 若 m 3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴； (2) 如图 1，在 (1)的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于 D，在对称轴左侧的抛物 线上有一点E，使 SACE 10 3 SACD，求 E 点的坐标； (3) 如图

46、2，设 F(1， 4)，FGy 轴于 G，在线段OG 上是否存在点P，使 OBPFPG?若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由 图2 图1 G F D C BO OA y x A y x 学习好资料欢迎下载 (2017 内蒙古 ) 26如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 23 2 yxbxc与x轴交于 1,0 ,2,0AB两点，与y轴交于点C （1）求该抛物线的解析式； （2）直线yxn与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交 于点F，且4BEEC. 求n的值； 连接,AC CD，线段AC与线段DF交于点G，AGF与CGD是否全等？请说明理 由； （3）直线0ym

47、 m与该抛物线的交点为,M N（点M在点N的左侧），点M关于y 轴的对称点为点M，点H的坐标为1,0. 若四边形OM NH的面积为 5 3 . 求点H到OM 的距离d的值 . (2017 山西) 23 综合与探究 如图，抛物线 232 3 3 3 93 yxx与x轴交于,A B两点（点A在点B的左侧）， 与y 轴交于点C，连接,AC BC点P沿AC以每秒 1 个单位长度的速度由点A向点C运动， 同时，点Q沿BO以每秒 2 个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时， 另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QDx轴，与抛物线交于点D，与BC交 于点E连接PD，与BC交于点F设点P的运动时间为t秒（0t） 学习好资料欢迎下载 （1）求直线BC的函数表达式 （2）直接写出,P D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简） 在点,P Q运动的过程中，当PQPD时，求t的值 （3） 试探究在点,P Q运动的过程中， 是否存在某一时刻， 使得点F为PD的中点若存在， 请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由 学习好资料欢迎下载