2022年指数函数和对数函数复习2 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念：anaaanNZaa01a0amnm nZn 个aNm n（2）amnan1a0,nanam n2整数指数幂的运算性质： （1）amn anbn（3）abnanbnnZanan1n其中amanamanam n,a bbn b3 a 的 n 次方根的概念名师归纳总结 一般地,假如一个数的n 次方等于 an,1nN,那么这个数叫做a 的 n 次方根,第 1 页,共 12 页即： 如xna,就 x 叫做 a 的 n 次方根,n,1nN例如： 27 的 3 次方根3273,27 的 3 次方根3273,3

2、2 的 5 次方根 532 2,32 的 5 次方根 532 2说明：如 n 是奇数,就 a 的 n 次方根记作 n a ； 如 a 0 就 n a 0,如 a o 就 n a 0如 n 是偶数,且 a 0 就 a 的正的 n 次方根记作 n a , a 的负的 n 次方根,记作：n a ；（例如 ：8 的平方根 8 2 2 16 的 4 次方根 4 16 2）如 n 是偶数,且 a 0 就 n a 没意义,即负数没有偶次方根；0n0n,1nNn00；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 式子n a 叫根式, n 叫根指数, a 叫被开方数；n ana 4

3、 a 的 n 次方根的性质一般地,如 n 是奇数,就nana；aa0如 n 是偶数,就nanaaa05例题分析：例 1求以下各式的值：（ 1）33 8（ 2 ）102（ 3 ）423b422（ 4 ）bnnn25ab2ab解：略；a例 2已知ab0,n,1nN,化简：na解：当 n 是奇数时,原式ab ab2aab2a当 n 是偶数时,原式|ab|ab|babn2 an 为奇数所以,nabnna52 an 为偶数52 例 3运算：740740740740解：例 4求值：59552）224解：59559455（2424245（51）2515526222442（二） 分数指数幂1分数指数幂：510

4、 aa210a0312 a4 a12a0a5a3即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式；假如幂的运算性质（2）3akn2 3 3akn对分数指数幂也适用,3a2a24a542 a ,a54a5 4 45 a , 2例如： 如a0,就a3a43a 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式；规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是amnama0,m nN,n1；1n（2）正数的负分数指数幂的意义是am1n1a0,m nN,nnmaman2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用名师归纳总结 - - - - - - -第

5、2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即1r a asarsa0, , r sQ2arsarsa0, , r sQ3abrr ra ba0,b0,rQ说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2） 0 的正分数指数幂等于 3例题分析：0,0 的负分数指数幂没意义；例 1 用分数指数幂的形式表示以下各式ao ：（2）138；a2a ,a33a ,2a a . 解：a2a =a2a1a21522a ；211a33a2=a3a3a3；a a =a a11a3132222a 例 2运算以下各式的值（式中字母都是正数）211115（1）2 a b 26

6、a b33 a b6；2 mm n8211115解（ 1）2 a b26 a b33 a b621111 5=263a326b23 6=4 ab04a ；1381838（2）m n8=m4n8=2 m n3n3例 3运算以下各式：（ 1）351254526（2）2 aa2a031a31312解：（1）3512545 =5 3525 =53545254=5554 5 5 ；a5125 =125 52 a2 a=a225（2）a61a3a a3（三） 综合应用名师归纳总结 例 1化简：xx 51x15x5x .525=31 5x1=31 55 x .第 3 页,共 12 页5x 5解：5x1511

7、=xy1111例 2化简：22x4y4.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 111111111111解：x2y2x4y4x4y4x4即y4x4x1y4x4y 1评述：此题留意了分子、 分母指数间的联系,x422,由此联想到平方差公式的特点,进而使问题得到解决；113x3.12 例 3已知xx13,求以下各式的值： （ 1）x2x2；（2）x22111111解：（1）Qx2x22x222x x2x22x1x12325,11x2x25,111又由xx13得x0,x2x20,11所以x2x25.33111111（2）（法一）x2x2（x23x23x2x2x22

8、x x2x2112x2x2xx115312 5 ,333333（法二）x2x22x22x222x2x2x3x3而x3x3xx1x2x21xx1xx12333231833x2x2220,33又由xx130得x0,x2x20,33所以x2x2202 5. 二、指数函数1指数函数定义：一般地,函数yx a （a0且a1）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数定义域是R 2指数函数yx a 在底数a1及 0a1这两种情形下的图象和性质：a10a1图象名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 性（1）定义域： Rx0时y1（2）值域：

9、 0,质（3）过点 0,1 ,即（4）在 R 上是增函数（ 4）在 R 上是减函数例 1求以下函数的定义域、值域：（1）y8211（2）y1 12x（3）y3x（ 4）yax1 1a0,a1xxa解：（1）Q2x10x1原函数的定义域是x xR x1,22令t211就t0,tR0,xy8 tR t0得y0,y1,所以,原函数的值域是y y0,y1（2）Q1 12x0x0原函数的定义域是令t11 2xx0就 0t1,Qyt在 0,1 是增函数 0y1,所以,原函数的值域是0,1 （3）原函数的定义域是R ,令 tx就t0,Qyt 3在,0 是增函数, 0y1,所以,原函数的值域是0,1 （4）原

10、函数的定义域是R ,由yax1 1a0,a1得axy1,axy1Qax0y10,1y1,y1所以,原函数的值域是1,1 说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简洁函数的值域；名师归纳总结 例 2当a1时,证明函数yax1是奇函数；第 5 页,共 12 页ax1证明：由ax10得,x0,故函数定义域 x x0关于原点对称；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fxax1ax1ax1axf x ax1ax1 ax1axf x f x所以,函数 y ax 1 是奇函数；a 1例 3设 a 是实数,f x a2 x 21 x R,（1）试证明：对于任意 a f

11、x 在 R为增函数；（2）试确定 a 的值,使 f x 为奇函数；分析： 此题虽形式较为复杂,但应严格根据单调性、奇偶性的定义进行证明；仍应要求同学留意不同题型的解答方法；（1）证明：设x x 2R x 1x ,就2x 20,f x 1f x2a2x 121ax 221222由于指数函数y2x 2 1x 1 22x 1 2x 2 1,x 1x ,所以2 x 12 x 即2x 12x 112x 212x在 R上是增函数,且又由 2x0,得2x 110,2x210,所以,f x 1f x20即f x 1f x 2由于此结论与a 取值无关,所以对于a 取任意实数,f x 在 R 为增函数；评述：上述

12、证明过程中,在对差式正负判定时,利用了指数函数的值域及单调性；（2）解：如f x 为奇函数,就fxf x ,即a222a 2x 2 22 x122122x1,x1变形得：2 ax1 2xx2x1解得：a a1 1,f x 为奇函数；所以,当时,三、对数的性质名师归纳总结 1对数定义：一般地,假如a （a0 且a1）的 b 次幂等于 N, 就是abN,那么数b第 6 页,共 12 页叫做 a 为底N 的对数,记作logaNb,a 叫做对数的底数,N 叫做真数；即abN ,loga NbaNb指数式abN底数幂指数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对数式l

13、ogaNb对数的底数真数对数说明： 1在指数式中幂N 0,在对数式中,真数N 0（负数与零没有对数）12对任意a0且a1, 都有a01 log 10,同样： logaa3假如把abN 中的 b 写成 log a N , 就有alog a NN （对数恒等式） 2对数式与指数式的互换例如：4 216log 16210 2100log101002412log 211020.01log100.01222例 1将以下指数式写成对数式：（1）5425 ；（2）261；（3） 3a27；（ 4）1m5.373m 64解：（1）log 6254 ；（2）log21 646；（3）log 27a ；（4）lo

14、g 5.3733介绍两种特别的对数：常用对数：以10 作底log10N写成lg N自然对数：以e作底为无理数,e = 2.71828 , log e N写成ln e例 2（1）运算：log 27 ,log3 4 5625解：设 xlog 27就ax327,3 2x, 3 3, x, 3 2；5令 xlog3 4 5625,4 5x62554 3x54x（2）求x 的值：log3x3；log2x 213 x22x114解：x3341；4273x22x12x21x22x0x0,x22x210但必需：2x211,x0舍去 ,从而x23x22x10（3）求底数：log 333,log 2758355解

15、：x53335x33；7x72288, x2874对数的运算性质：名师归纳总结 假如a 0 , a 1, M 0 , N 0,那么第 7 页,共 12 页（1） log aMNlogaMlogaN ；（2） logaMlogaM- logaN；N- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3） logaMnnlogaM nR 例 3运算：（1）lg1421g7lg7lg18；（2）lg243；（3）lg27lg83lg103lg9lg.12解：（1）解法一：lg142lg7lg7lg1830 ；lg272lg 7lg3lg 7lg322lg 2lg72lg72

16、lg3lg72lg3lg 2解法二：lg142lg7lg7lg183lg14lg72lg 7lg183=lg147lg10 ；72183（2）lg243lg355lg35；lg9lg322lg322lg 2 13 2（3）lg27lg83lg10=3 lg3 13 lg 23lg1013 lg3 2lg322lg1 2.lg2 3 2102lg 2 15换底公式：logaNlogmN a 0 , a 1 ；m0,m1 logmalogmN ,证明：设 log a Nx ,就axN ,两边取以 m 为底的对数得：logmaxlogmN ,xlogma从而得：xlogmN,logaNlogmNlo

17、gmalogma说明：两个较为常用的推论：名师归纳总结 （1） logablogba1；（2） logambnnlogab（ a 、b20且均不为 1）第 8 页,共 12 页m证明：（1）logablogbalgblga1；lgalgb（2）logambnlgbnnlgbnlogablgammlgam432 例 4运算：（1）1 log 50.23；（2）log 3 log 2 4 9log解：（1）原式= 5351515；log 50.2log 55133（2） 原式= 1log231log325log2215322 b4442例 5已知log189a, 185,求log3645 （用 a

18、, b 表示）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：log189a ,log18181log182a,2log1821a ,5ab又 18b5,log185b ,log3645log1845log189log18log18361log1822a例 6设3x4y6zt1,求证：111zx2y证明：3x4y6zt1,xlgt,ylgt,zlgt,lg3lg4lg6111lg6lg3lg2lg4zxlgtlgtlgt2lgt2y例 7如log 3p ,log 5q ,求 lg 5 lg5,解：log 3p ,log 233plg33plg23p 1又log

19、35lg5q,lg3lg5qlg33pq 1lg5, 13pqlg53pqlg513pq3pq四、对数函数1对数函数的定义：函数ylogax a0 且 a1叫做对数函数；2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数ylogaxa0 且a1的定义域为0 ,值域为,（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数同样：也分a函数图象作关于yx的对称图形,即可获得；ylog1x（图 2）为1与0a1 两种情形归纳,以ylog2x（图 1）与2例；1 1 yx 2xy1 2x1 1 yyx1xyxylog 2log2名师归纳总结 （图 1）（图 2）第 9 页,共 12

20、 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）对数函数性质列表：xay1logax0a11x1图象1,01,0ylogax性（1）定义域： 0,y0 上是减函数（2）值域： R质（3）过点 1,0 ,即当x1 时,（ 4）在 0,（4）在（ 0,+）上是增函数例 1求以下函数的定义域：（1）ylogax2；（2）yloga4x；（3）yloga9x2分析：此题主要利用对数函数ylogax的定义域 0, 求解；解：（1）由2 x 0 得x0,函数ylogax2的定义域是x x0；（2）由4x0得x4,函数yloga4x的定义域是x x4；（3）由 9-x2

21、0得-3x3,函数yloga9x2的定义域是x3x3例 2比较以下各组数中两个值的大小：（1）log 3.4 ,log 8.5 ；（2）log0.31.8 ,log0.32.7 ；（3） log 5.1, log 5.9 a. 解：（1）对数函数ylog2x 在 0, 上是增函数,于是log 3.4log 8.5 ；（2）对数函数ylog0.3x 在 0, 上是减函数,于是log0.31.8log0.32.7 ；（3）当a1时,对数函数ylog ax 在 0, 上是增函数,于是 log 5.1 alog 5.9,当oa1时,对数函数ylogax在 0, 上是减函数,于是 log 5.1 alo

22、g 5.9例 3比较以下比较以下各组数中两个值的大小：名师归纳总结 （1）log 7 ,log 6 ；（2）log3,log 0.8 ；第 10 页,共 12 页（3）0.9 1.1,log1.10.9 ,log0.70.8 ；（4）log 3 ,log 3 ,log 3 解：（1）log 7log 61 ,log 6log 71 ,log 7log 6 ；（2）log3log 10 ,log 0.8log 10 ,log3log 0.8 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）0.9 1.10 1.11,0 ,log1.10.9log1.110log

23、0.71log0.70.8log0.70.71,或 0m1n 1.10.9log0.70.8log1.10.9 （4）0log 5log 6log 7 ,log 3log 3log 3 例 4已知 logm4log 4 n,比较 m , n 的大小；解： logm4log 4 n,1m1n,log4log4当m1,n1时,得01m1n,log4log4log4nlog4m , mn1当 0m1, 0n1时,得1m1n0,log4log4log4nlog4m , 0nm1当 0m1,n1时,得log4m0,0log n , 0m1,n1, 0m1n 综上所述, m , n 的大小关系为mn1 或

24、 0nm1例 5求以下函数的值域：（1）ylog x3；（2）ylog 3x2；（3）ylog x24x7（a0且a1）,解：（1）令tx3,就ylog2t ,t0, yR ,即函数值域为R （2）令t32 x ,就 0t3,ylog 3, 即函数值域为,log23 （3）令tx24x7x2233,当a1时,ylog 3, 即值域为 loga3,loga3当 0a1时,ylog 3, 即值域为 例 6判定函数f x log 2 x1x 的奇偶性；, ,解：2 x1x 恒成立,故f x 的定义域为 fx log x21x log2x211xlog2x2 x1x2212xlog22 x1xf x

25、,所以,f x 为奇函数；例 7求函数y2log 2 x3 x2的单调区间；3名师归纳总结 解：令ux23x2x321在3 2,上递增,在,3上递减,第 11 页,共 12 页242- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又x223x220,x2或x1,又y2log1u 为减函数,故ux3 x在 2, 上递增, 在 ,1 上递减,3所以,函数y2log x23 x2在 2, 上递增,在 ,1 上递减；3名师归纳总结 例 8如函数ylog 2 xaxa 在区间 2,13 上是增函数,a 的取值范畴；第 12 页,共 12 页0,解：令ug x x2axa ,函数ylog2u 为减函数,3 上递减,且满意uug x x2axa 在区间 ,1,a13,解得 22 3a2g130所以, a 的取值范畴为 22 3, 2 - - - - - - -