2022年对数公式的运算.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备对数公式的运用1对数的概念假如 aa0 ,且 a 1的 b 次幂等于 N,即 ab=N,那么数b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作：log aN=b,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数 由定义知：负数和零没有对数.a0 且 a1, N0.log a1=0, log aa=1, alogaN=N 对数恒等式 , log aab=b.特殊的,以10 为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN .以无理数ee=2718 28为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为l

2、nN 2对数式与指数式的互化式子名称ab=N指数式 ab=N 底数 指数 幂值 对数式 logaN=b底数 真数 对数 3对数的运算性质假如 a0 ,a 1, M 0, N0 ,那么(1) logaMN =log aM +log aN(2) loga（ M /N） =log aM -log aN3 logaM n =nlog aMn R问：公式中为什么要加条件a0, a1, M 0, N0. logaan=.n R对数式与指数式的比较同学填表 式子 ab=N,log aN=b名称： a幂的底数bNa对数的底数bN运算性质：am an=am+ n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a

3、man= am-n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 且 a 1, n Rlog aMN =log aM +logaN log aMN =nlog aM =nR a0 , a1, M 0, N0难点疑点突破对数定义中,为什么要规定a0,且 a 1.理由如下：a 0,就 N 的某些值不存在,例如log-28=.如 a=0 ,就 N0 时 b 不存在. N=0 时 b 不惟一,可以为任何正数.如 a=1 时,就 N 1 时 b 不存在. N=1 时 b 也不惟一,可以为任何正数.为了防止上述各种情形,所以规定对数式的底是一个不等于1 的正数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

4、_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备解题方法技巧1 1 将以下指数式写成对数式：54=625. 26=64. 3x=27 . 13m=5732将以下对数式写成指数式： log216=4. log 2128=7 . log327=x. lg 001=-2 . ln 10=2303. lg =k解析由对数定义：ab=N, logaN=b解答 1 log562

5、5=4 log264=6 log 327=x log135 73=m解题方法指数式与对数式的互化,必需并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=Nlog aN=b 2 24=16 , 27=128, 3x=27,10-2=001, e2 303=10, 10k= 2依据以下条件分别求x 的值： 1 log8x= -2/3 . 2 log 2log 5x=0.3 logx27=3. 4 log x2+= -1 解析 1 对数式化指数式,得：x=. 2 log5x=20=1x=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_333log32=. 27=x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

6、4 2+=x-1=1/ xx=.解答 1 x=2-2=1/4 2 log5x=20=1, x=5 1=53 logx27=3=3 2=6 ,x6=27=3 3= 6,故 x=4+=x-1 =1/x, x=1/+=解题技巧转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着亲密的关系,在解决有关问题时,常常进行着两种形式的相互转化娴熟应用公式：loga1=0 ,log aa=1, alog aM =M ,log aan=n y的值 5/12-1/33已知 logax=4, log ay=5,求 A=x解析：思路一,已知对数式的值,要求指数式的值,可将对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值.思路

7、二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值.解答：解法一 logax=4, logay=5,x=a4, y=a5,A=x5/12 y-1/3 =a4 5/12 a5-1/3=a5/3 a -5/3 =a0=1解法二对所求指数式两边取以a 为底的对数得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - -

8、 欢迎下载精品_精品资料_5/12log aA=logax-1/3y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=5/12 logax-1/3 logay=5/12A=14-1/35=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解题技巧有时对数运算比指数运算来得便利,因此以指数形式显现的式子,可利用取对数的方法,把指数运算转化为对数运算4 设 x, y 均为正数,且x y1+lgx =1x1/10 ,求 lgxy的取值范畴 解析一个等式中含两个变量x、y,对每一个确定的正数x 由等式都有惟一的正数y 与之对应,故 y 是 x 的函数, 从而 lgxy也是 x 的函数 因此求 lg

9、 xy的取值范畴实际上是一个求函数值域的问题,怎样才能建立这种函数关系了.能否对已知的等式两边也取对数.解答 x0, y0, x y1+lgx =1, 两边取对数得：lgx +1+ lgxlgy =0即 lgy =-lgx /1+lgx x 1/10, lgx -1 令 lgx =t,就 lgy=-t/1+ t t -1lg xy=lgx+lgy=t-t/1+ t= t2/1+ tt -1解题规律： 对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法.而变量替换可把较复杂问题转化为较简洁的问题设 S=t2 /1+ t,得关于t 的方程 t 2-St-S=0 由于它肯定有实数解 =

10、S2+4S0,得 S -4 或 S 0,故 lg xy的取值范畴是-, -4 0, + 5 求值：1 lg 25+lg2 lg 50+ lg22.22 log 32-log3 32/9+ log 38-52log53.3 设 lga +lgb =2lga-2b,求 log 2a-log2b 的值.4 求 7lg20 1/2 lg 0. 7 的值 解析：125=52, 50=5 10.都化成lg 2 与 lg5 的关系式 2 转化为 log 32 的关系式 3 所求 log 2a-log 2b=log 2a/b,由已知等式给出了a, b 之间的关系,能否从中求出a/b 的值了.47lg 201/

11、2 lg0.7 是两个指数幂的乘积,且指数含常用对数,设x=7 lg201/2 lg 0.7 能否先求出lgx ,再求 x.解答 1 原式 =lg52+lg 2 lg10 5+ lg22=2lg 5+lg 21+ lg5+ lg2 2=lg 52+lg2+ lg2+lg 222=（ lg10/2 ） 2+ lg2+lg2+ lg2=1- lg22+ lg2+ lg 2+lg22=2- lg 2-lg22+lg2+lg22 =2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 原式 =2log 32-log 325- log332+log 323-5log 95可编辑资料 - - - 欢迎下载

12、精品_精品资料_=2log32-5log 32+2+3 log 32-9= -7 3 由已知 lgab =lga-2b 2a-2b0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab=a-2b2, 即 a2-5ab+4b2=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a/

13、b=1 或 a/b=4 ,这里 a0,b0如 a/ b=1,就 a-2b0,a 1, c0, c 1, N0. 2log ablog bc=logac.(3) log ab=1/log bab0 , b1. 4log anbm= m/n logab解析 :1 设 log aN=b 得 ab=N,两边取以c 为底的对数求出b 就可能得证 2 中 log bc 能否也换成以a 为底的对数 3 应用 1将 logab 换成以 b 为底的对数 4 应用 1将 loganbm 换成以 a 为底的对数 解答 :b1 设 log aN=b,就 a =N,两边取以c 为底的对数得：b log ca=log c

14、N,b=logcN/logca log aN=logcN/log ca2 由1log bc=log ac/loga b所以log ab logbc=log ab log ac/logab=loga c3 由1log ab=log bb/logba=1/ logb a解题规律1 中 log aN=log cN/log ca 叫做对数换底公式,234 是1 的推论,它们在对数运算和含对数的等式证明中常常应用 对于对数的换底公式,既要善于正用,也要善于逆用mmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 由1log anb=log ab /log aa =mlogab/nlog aa= m/

15、nlogab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 已知 log 67=a,3b=4,求 log127解析依题意a, b 是常数,求log127 就是要用a,b 表示 log 127,又 3b=4 即 log 34= b,能否将 log 127 转化为以6 为底的对数,进而转化为以3 为底了 .解答已知log 67=a,log 34=b,log 127=log67/ log612=a/1+ log62又 log6 2=log 32/log36= log32/1+ log32 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -

16、第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备由 log3 4=b,得 2log32= blog 32=b/2 , log 62= b/2/1+ b/2= b/2+blog 127=a/1+ b/2+ b= a2+b/2+2 b解题技巧利用已知条件求对数的值,一般运用换底公式和对数运算法就,把对数用已知条件表示出来,这是常用的方法技巧.xyz8已知 x,y, z R+,且 3 =4 =61 求满意 2x=py 的 p 值.2 求与

17、p 最接近的整数值.3 求证： 1/2/ y=1/ z-1/x解析：已知条件中给出了指数幂的连等式,能否引进中间量m,再用m 分别表示x, y, z.又想,对于指数式能否用对数的方法去解答.解答：（1）解法一3x =4y, log33x=log34y ,x=ylog 34,2x=2ylog 34=ylog 316, p=log316解法二设3x=4y =m,取对数得：x lg 3=lgm , ylg 4=lgm, x=lgm/lg3,y=lgm/lg 4,2x=2lgm/ lg3, py=plgm/lg 4由 2x=py, 得 2lgm /lg 3=plgm/lg 4, p=2lg 4/lg3

18、= lg42/ lg3=log3162 2=log39, 3-p=log 327-log 316= log3 27/16 ,p-2=log 316- log39= log316/9 , 而 27/161 真数大就对数大p-23- p, p2.5与 p 最接近的整数是3解题思想提倡一题多解不同的思路, 不同的方法, 应用了不同的学问或者是相同学问的敏捷运用,既发散了思维,又提高了分析问题和解决问题的才能,何乐而不为了.2 中涉及比较两个对数的大小 这是同底的两个对数比大小 由于底 31 ,所以真数大的对数就大, 问题转化为比较两个真数的大小, 这里超前应用了对数函数的单调性, 以勉励同学超前学习

19、,自觉学习的学习积极性 3 解法一令3x=4 y=6z=m,由于 x, y, z R+,k1,就x=lgm /lg 3, y=lgm /lg4, z=lgm/lg6,所以 1/z-1/x=lg 6/lgm -lg3/ lgm= lg6-lg3/ lgm=lg2/ lgm, 1/2/ y=1/2 lg 4/lgm=lg 2/lgm, 故1/2/ y=1/ z-1/x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=4解法二 3xyz=6 =m,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 3=m1/x , 4=m1/y, 6= m1/z,/ ,得 m1/z-1/x=6/3=2= m1/2

20、/ y1/ z-1/x=1/2/ y9已知正数a, b 满意 a2+b2=7ab求证： logma+b/3=1/2 log ma+logmbm0 且 m 1解析：已知a0, b0, a2+b2=7ab求证式中真数都只含a, b 的一次式,想：能否将真数中的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎

21、下载精品_精品资料_一次式也转化为二次,进而应用a2+b解题技巧2=7ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a+b/3 向二次转化以利于应用a2+b2=7 ab 是技巧之一 应用 a2+b2=7ab 将真数的和式转化为ab 的乘积式, 以便于应用对数运算性质是技巧之二解答：logma+b/3= logma+b/3 2/2=1/2 logm a+b/32=1/2 logm a2+b2+2 ab/9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2+b2=7 ab,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ logma+b/3=1/2 log m7ab+2ab/9=1/

22、2 logmab=1/2 log ma+log mb, 即 logma+b/3=1/2 logma+logmb思维拓展发散1数学爱好小组特的讨论了科学记数法与常用对数间的关系设真数 N=a10n.其中 N0.1 a10,nZ这就是用科学记数法表示真数N其科学性表达在哪里.我们只要讨论数N的常用对数,就能揭示其中的秘密.解析：由已知,对N=a 10n 取常用对数得,lgN =n+lga真数与对数有何联系.解答 lgN =lg a10n= n+lga n Z, 1 a10,lga 0, 1我们把整数n 叫做 N 的常用对数的首数,把lga 叫做 N 的常用对数的尾数,它是正的纯小数或0小结： lg

23、N 的首数就是N 中 10n 的指数,尾数就是lga, 0 lga 0, lgN 的首数和尾数与a 10有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2如 lgx 的首数比 lg 1/x的首数大9,lgx 的尾数比 lg 1/x的尾数小0.380 4,且 lg0.203 4=1 .308 3,求 lgx , x, lg1/x 的值 解析 lg0.203 4=1 .308 3,即 lg0203 4=1+0 .308 3 ,1 是对数的首数, 0.308 3 是对数的尾数, 是正的纯小数.如设lgx=n+lga ,就 lg1/ x也可表出 解答设 lgx=n+lga ,依题意lg1/x=

24、n-9+ lga+0380 4 又 lg 1/x= - lgx =-n+lga , n-9+ lga+0.380 4= - n-lga ,其中 n-9 是首数, lga +0.380 4 是尾数, -n-lga =-n+1+1- lga ,-n+1是首数 1-lga 是尾数,所以：n-9=- n+1 , lga +0.380 4=1- lga ,n=4, lga =0.308 3lgx =4+0.308 3=4 .308 3,lg 0.203 4=1 .308 3, x=2.034 104 lg 1/ x=-4+0 .308 3=5 .691 7注： 10-4.3083=5.6917可编辑资料

25、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备解题规律把 lgx 的首数和尾数,lg 1/x的首数和尾数都看成未知数,依据题目的等量关系列方程 再由同一对数的首数等于首数,尾数等于尾数, 求出未知数的值, 是解决这类问题的常用方法3运算：1.22 lg lga 100/2+ lglga 解析 1 中2+与 2-有何关系 .+双重根号,如何

26、化简. 2中分母已无法化简,分子能化简吗.解题方法仔细审题、 懂得题意、抓住特点、 找出明确的解题思路和方法,不要被表面的繁、 难所吓倒 解答1 原式 =+= -1+ log 66 =2 原式 =2lg 100lga /2+ lglga =2 lg 100+lg lga/2+ lg lga=22+ lg lga /2+ lg lga=2 4已知 log2x=log3y=log5z0,比较,的大小 解析：已知是对数等式,要比较大小的是根式,根式能转化成指数幂,所以,对数等式应设法转化为指数式解答：设log 2x=log 3y=log 5z=m0就 x=2m, y=3m, z=5m=m,= m,=

27、m下面只需比较与,的大小：6=23=8 , 6=3 2=9,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又105102 又 m考查指数函数y=x, y=x, y= x 在其次象限的图像,如图：1.41.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1xhx =5 5 fx =2 x1xg x = 3 3 10.80.60.40.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21.510.50.51解题规律转化的思想是一个重要的数学思想,对数与指数有着亲密的关系,在解决有关问题时要充可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - -

28、 - -第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备分留意这种关系及对数式与指数式的相互转化比较指数相同,底不同的指数幂底大于0的大小,要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限 指数大于0或其次象限 指数小于0的性质进行比较.是 y=x,是 y=x,是 y=x指数 m0 时,图像在其次象限从下到上,底从大到小 所以 mmm,故0, b0, M 1,且 log Mb=x,就 logMa 的值为 7.如 log63=0.673 1,

29、log 6x=-0.326 9, 就 x 为8.如 log5log3log 2x=0 ,就 x =9.=10.假如方程lg 2x+lg2+ lg3lgx +lg 2 lg 3=0 的两根为x1、x2,那么 x1 x2 的值为 11.生态学指出：生物系统中,每输入一个养分级的能量,大约只有10% 的能量流到下一个养分级 H1 H2 H3 H4 H 5 H6 这条生物链中H n 表示第 n 个养分级, n=1, 2, 3, 4,5, 6已知对 H 1 输入了 106 千焦的能量,问第几个养分级能获得100 千焦的能量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x12.已知 x,y, z R

30、+且yz,比较 3x, 4y, 6z 的大小 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 =4 =613.已知 a,b 均为不等于1 的正数,且axby =aybx=1,求证 x2=y214.已知 2a 5b=2 c 5d=10 ,证明 a-1/ d-1= b-1/ c-1 15.设集合 M = x|lgax2-2a +1x-10 ,如 M 空集, M = x|x0 且 x+1 1.真数 x+10 6A点拨：对ab=M 取以 M 为底的对数 7C点拨：留意0.673 1+0 .326 9=1 , log 61/ x=0 .326 9,所以 log6 3+log6 1/x=log63x=

31、1 3x=6, x=28x=8点拨：由外向内log 3log2x=1 , log2x=3, x=23595点拨： log87 log 76 log65= log85,=510 1/6点拨：关于lgx 的一元二次方程的两根是lgx 1, lgx 2由 lgx1= -lg2, lgx 2= -lg3,得 x1 =1/2 ,x2=1/3 x1 x2 = 1/611设第 n 个养分级能获得100 千焦的能量,依题意 :106 10/100 n-1 =100,化简得 :107- n=10 2,利用同底幂相等,得7-n=2, 或者两边取常用对数也得7-n=2n=5,即第 5 个养分级能获能量100 千焦 12 设 3x=4y =6z=k,由于 x, y, z R+, 所以 k1 取以 k 为底的对数,得： x=1/log k3, y=1/ logk 4, z=1/log k63x=3/log k3=1/log k,同理得： 4y=1/ logk, 6z=1/ logk而=,=,=,log klog klog k又 k1,1 ,log k log k log k 0, 3x4y0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - -