2022年指数与指数函数的复习教案 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载指数与指数幂的运算教学目的 :1、懂得分数指数幂和根式的概念；2、把握分数指数幂和根式之间的互化；3、把握分数指数幂的运算性质；教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的懂得；（2）把握并运用分数指数幂的运算性质；教学难点：分数指数幂及根式概念的懂得一、复习什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？如x3归纳：在中学的时候我们已经知道：如x2a ,就 x 叫做 a 的平方根 .同理,a ,就 x 叫做 a 的立方根 .依据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4 的平方根为 2,负数没有平

2、方根,一个数的立方根只有一个,如8 的立方根为 2；零的平方根、立方根均为零 .二、新课讲解 类比平方根、立方根的概念,归纳出 n 次方根的概念 .n n 次方根：一般地, 如 x a ,就 x 叫做 a 的 n 次方根（nthroot）,其中 n 1,且 n,当 n 为偶数时, a 的 n 次方根中,正数用 n a 表示,假如是负数,用 n a 表示,n a 叫做根式 .n 为奇数时, a 的 n 次方根用符号 n a 表示,其中 n称为根指数, a 为被开方数 .类比平方根、立方根,猜想：当n 为偶数时,一个数的n 次方根有多少个？当 n 为奇数时呢？a 为正数 :n 为奇数 , a 的

3、次方根有一个 n, 为naa27等等,而27的 4 次方根, 为n 为偶数 , a 的 次方根有两个 nna 为负数 :n 为奇数 , a 的 次方根只有一个 n, 为nan 为偶数 , a 的 次方根不存在 .零的 n 次方根为零,记为n00举例：16 的 4 次方根为2 ,27 的 次方根为5不存在 .名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载小结：一个数究竟有没有 n 次方根,我们肯定先考虑被开方数究竟是正数仍是负数,仍要分清 n 为奇数和偶数两种情形 .依据 n 次方根的意义,可得： n a na

4、 n a na 确定成立,na 表示 a n n的 n 次方根,等式 na na 肯定成立吗？假如不肯定成立,那么 n a 等于什么？n通过探究得到： n 为奇数,n a n an 为偶数 , n a n | a | a , a 0a a 0如：3 3 3 3 27 3, 8 4| 8| 8n n小结：当 n 为偶数时,a 化简得到结果先取确定值, 再在确定值算详细的值,这样就防止显现错误：例题：求以下各式的值（1）133 8 2 2 1 0 3 4 34 4 a b2分析：当 n 为偶数时,应先写nan|a ,然后再去确定值 .摸索：nannan是否成立,举例说明 .课堂练习： 1. 求出以

5、下各式的值2如7 1 21233 a3 3 a1343 a34a22 aa1,求 的取值范畴 .3运算33 8434 23233三归纳小结：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1根式的概念：如n1 且学习必备欢迎下载x=na,n* N ,就x是 的 次方根 ,n 为奇数时 ,n 为偶数时,xna ；na n,n 为偶数时 ,nan|a|aa02把握两个公式：n 为奇数时 ,a a0分数指数幂的运算1习中学时的整数指数幂,运算性质？ana a a;a a01a0,00无意义an1a0namnanamamanam nan

6、mamn,abnn a bn什么叫实数？有理数,无理数统称实数 .2观看以下式子,并总结出规律：a 0 5a42a4810a8510 a5a25a2a5a212105a10a25a2412 a4a34a3a4a5小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,（分数指数幂形式） . 根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,幂的形式 .如：3a2a2a031bb2bm00,nN*,n145 c5c0c4即：namana为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为：amnama0,m nN*n根式是否也可以写成分数指数名师归纳总结 正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相

7、同.第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即：am1 ma0,m nN学习必备欢迎下载n*a n规定： 0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂无意义 .说明：规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法,而不是ana1a1a1a0mmmm由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即：（1）arasarsa0, , r sQQr（2） arSarsa0, , r sQ（3） a b rr a brQ0,b0,如 a 0,P

8、 是一个无理数,就 P 该如何懂得？为明白决这个问题,引导同学先阅读课本 P62P62.即：2 的不足近似值, 从由小于 2 的方向靠近 2 ,2 的过剩近似值从大于 2 的方向靠近 2 .所以,当 2 不足近似值从小于 2 的方向靠近时,5 2的近似值从小于 5 2的方向靠近 5 2.2 2当 2 的过剩似值从大于 2 的方向靠近 2 时,5 的近似值从大于 5 的方2向靠近 5,2所以,5 是一个确定的实数 .一般来说,无理数指数幂 a p a 0, p是一个无理数 是一个确定的实数,有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地靠

9、近以确定大小 .摸索：2 3 的含义是什么？由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即：名师归纳总结 arasrarsa0,rrR sRR 第 4 页,共 13 页arsarsa0,rR sa b r a bra0,R - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3例题（1）求值解：823 2 2232224.3332512 5 152 151122251 251 2 521 5321632 34 32327448138（2）用分数指数幂的形式表或以下各式（a 0）解：a3

10、.aa3a1a31a7222a23a2a222a283 a33 aa a1a4a41a2a a33 323分析：先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算 课堂练习：补充练习：1. 运算：2n12 1 2n 24 82n11n3 的值的结果2. 如a 33,a 10384,求a 3a 10 a 3小结：名师归纳总结 1分数指数是根式的另一种写法.第 5 页,共 13 页2无理数指数幂表示一个确定的实数.3把握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一样的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 1运算以下各式（式中字母都是正数）

11、（1）2111152a b26 a b3 3 a b6（2）318m n8分析：四就运算的次序是先算乘方,再算乘除,最终算加减,有括号的先算括号的 . 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算次序仍符合我们以前的四就运算次序 .我们看到（ 1）小题是单项式的乘除运算； （2）小题是乘方形式的运算,它们应让如何运算呢？其实,第（ 1）小题是单项式的乘除法,可以用单项式的运算次序进行.第（ 2）小题是乘方运算,可先按积的乘方运算,再按幂的乘方进行运算 .解：（1）原式 =2 6 3 a211b115326236=4ab0=4a（2）原式 =1n38m48 8=2 m n3例 2（P61

12、 例 5）运算以下各式（1）325a2125425（2）a2a0）a.3分析：在第（ 1）小题中,只含有根式,且不是同类根式,比较难运算,但把根式先化为分数指数幂再运算,这样就简便多了,同样,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法就运算 .1 1 1解：（1）原式 = 25 3 125 25 42 3 1= 5 3 5 5 22 1 3 1= 5 3 2 5 2 21名师归纳总结 = 565第 6 页,共 13 页= 6 55- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）原式 =a22a212学习必备6a5欢迎下载523a61a2a3小结：运算

13、的结果不强求统一用哪一种形式表示,数指数,也不能既有分母,又含有负指数 .课堂练习：化简：（1） 923 2 10 95100232（2）32 232 2（3）aa aa归纳小结：但不能同时含有根号和分1娴熟把握有理指数幂的运算法就,化简的基础 .2含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再运算 .指数函数及其性质指数函数的定义一般地,函数yx a （ a 0 且 a 1）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为 R.提问：在以下的关系式中,哪些不是指数函数,为什么？（1）y2x2（2）y 2xx（3）y2x（4）xy（5）yx2（6）y4x2xx（7）y（8）ya1（ a

14、1,且a2）小结：依据指数函数的定义来判定说明：由于a 0, x是任意一个实数时,名师归纳总结 x a 是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R.第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如a0,当x0 时,ax 等于0学习必备欢迎下载当x0 时,ax 无意义如 a 0,如y 2,x先时,对于=x,1 x6等等,1在实数范畴内的函数值不存8在.xx 11,是 一 个 常 量 , 没 有 研 究 的 意 义 , 只 有 满 足如 a =1, yyaxa0,且a1的形式才能称为指数函数,1a 为常数 , 象y=2-3,y=2x,yxx,

15、y3x5,yx 31 等等,不符合yxa且0的形式 , 所以不是指数函数.我们在学习函数的单调性的时候,主要是依据函数的图象,即用数形结合的方法来争论 . 下面我们通过先来争论 a 1 的情形y用运算机完成以下表格,并且用运算机画出函数y2x的图象1.502.00x3.002.502.001.501.000.501.000.002x1111 2 4 842y y=2x- - - - - - - 0 - - - - - x - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y1 2x的图象 .再争论, 0 a

16、 1 的情形,用运算机完成以下表格并绘出函数yxxy2.502.001.501.00 0.00 1.00 1.50 2.002.501 21x1y 11 2 4 422- - - - - - - 0 - - - - - x - - 从图中我们看出 y 2 x与 y 1 x的图象有什么关系 .2通过图象看出 y 2 x与 y 1 x的图象关于 y 轴对称 , 实质是 y 2 x上的 点-x, y 2与 = 1 上点-x,y 关于 轴对称 .2争论：y 2 x与 y 1 x的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗？2y 利 用 电 脑 软 件 画 出1 x8 y 5 x y 5 , x

17、y 3 , xy , 13 xy 15 x的 函 数 图 象 .56 xx y 3y 1 43 2-50 510-2-4-6-8名师归纳总结 问题： 1：从画出的图象中,你能发觉函数的图象与底数间有什么样的规律.第 9 页,共 13 页从 图 上 看yax（ a 1 ） 与yax（ 0 a 1 ） 两 函 数 图 象 的 特 征 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载8yax0a16yaxa142-10-50 510-2-4-6-8问题 2：依据函数的图象争论函数的定义域、值域、特别点、单调性、最大（小）值、奇偶性 .问题 3：指数函数

18、yx a （ a 0 且 a 1）,当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.图象特点函数性质a 1 0 a 1 1 a 1 0 a 1 向 x 轴正负方向无限延长函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数的值域为R+ 函数图象都在x 轴上方0 a =1 函数图象都过定点（0,1）自左向右,自左向右,增函数减函数图象逐步上升图象逐步下降在第一象限内的图在第一象限内的图x 0,x a 1 x 0,x a 1 象纵坐标都大于1 象纵坐标都小于在其次象限内的图在其次象限内的图1 x 0,x a 1 x 0,x a 1 象纵坐标都小于1 象纵坐标都大于5利用函数的单调性,结合图象仍可以看

19、出：（1）在 , 上 , =ax（ a 0 且 a 1）值域是 f a ,f b 或 f b ,f a ;（2）如x0,就 1;f x 取遍全部正数当且仅当xR;（3）对于指数函数f x x a （ a 0 且 a 1）,总有f1a ;（4）当 a 1 时,如1x 2x ,就f x 1f x2；例题：名师归纳总结 f例 1：已知指数函数f x x a （ a 0 且 a 1）的图象过点（3, ）,求第 10 页,共 13 页0,f1,f 3 的值.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1分析：要求f0,f1,f 3的值, 只需求出a,得出

20、fx=3x,再把 0,1,3 分别代入 x ,即可求得f0,f1,f 3.课堂练习： P68练习：第 1, 2,3 题补充练习： 1、函数f x 12x的定义域和值域分别是多少2、当x 1,1 时 函数f 3x2的值域是多少.解（ 1）xR y0（2）（5 3,）例 2：求以下函数的定义域：4y2| |R,所以,要使（ 1）,（2）题的定义域,保（1）y2x4（ 2）3分析：类为yaxa1,a0的定义域是要使其指数部分有意义就得.3归纳小结1、懂得指数函数yaxa0,留意a1 与0a1 两种情形；2、解题利用指数函数的图象,可有利于清楚地分析题目,培育数型结合与分类争论的数学思想 .例 1：比

21、较以下各题中的个值的大小（1） 1.7 2.5 与 1.7 3 2 0.8 0.1与 0.8 0.2 3 1.7 0.3 与 0.9 3.1 x解法 1：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形运算器或运算机画出 y 1.7 的图象,在图象上找出横坐标分别为 2.5, 3 的点,明显,图象上横坐标就为 3 的点在横坐标为86-10-54y1.7x25100 -4-6-8名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.5 的点的上方,所以2 . 5 1. 7学习必备欢迎下载3 1. 7.解法 2：用运算器直接运算：1.72.

22、53.773 1. 74. 9 1所以,1.72.53 1.7解法 3：由函数的单调性考虑由于指数函数y1.7x在 R 上是增函数,且2.5 3,所以,1.72.51.731,仿照以上方法可以解决第（2）小题.注：在第（ 3）小题中,可以用解法 1,解法 2 解决,但解法 3 不适合 .由于 1.7 0.3=0.9 3.1 不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到把这两数值分别与 1 比较大小,进而比较 1.7 0.3 与 0.9 3.1 的大小 .摸索：1、已知a0.80.7,b0.80.9,c1.20.8,按大小次序排列a b c .112. 比较a3与a2的大小 （ a 0

23、 且 a 0）.指数函数不仅能比较与它有关的值的大小,在现实生活中,也有许多实际的应用例 2（P67 例 8）截止到 1999 年底,我们人口哟13 亿,假如今后,能将人口年平均均增长率掌握在1%,那么经过20 年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？分析：可以先考试一年一年增长的情形,再从中发觉规律,最终解决问题：1999 年底 人口约为 13 亿经过 1 年 人口约为 13（ 1+1%）亿经过 2 年 人口约为 13（ 1+1%）（1+1%）=131+1% 2 亿经过 3 年 人口约为 131+1%21+1%=131+1% 3 亿经过 x 年 人口约为 131+1%x亿经过 20 年 人口

24、约为 131+1% 20 亿解：设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,就xy 131 1%当 x =20 时,y 131 1% 2016 亿 答：经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿.小结：类似上面此题,设原值为 N,平均增长率为 P,就对于经过时间 x 后总量y N 1 p , x像 y N 1 p x等形如 y ka x K R, a 0 且 a 1）的函数称为指数型函数 .摸索： P68 探究：（1）假如人口年均增长率提高 1 个平分点,利用运算器分别运算 20 年后, 33 年后的我国人口数 .（2）假如年平均增长率保持在 2%,利用运算器 20

25、222100年,每隔 5 年相应的人口数 .（3）你看到我国人口数的增长出现什么趋势？（4）如何看待方案生育政策？名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3课堂练习（ 1）右图是指数函数81yax的ybxycxydx的图象,判定；a b c d与bxdx系cxy 大y 小关yyax642-10-5510-2-4-63 x 1 2 x（2）设 y 1 a , y 2 a , 其中 a 0, a 1,确定 x 为何值时,有： y 1 y 2 1y y 2（3）用清水漂洗衣服,如每次能洗去污垢的 3,写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的函数4关系式,如要使存留的污垢,不超过原有的 1%,就少要漂洗几次（此题为人教社 B 版 101页第 6 题） .x归纳小结：本节课争论了指数函数性质的应用,关键是要记住 a 1 或 0 a 时 y ax的图象,在此基础上争论其性质 .本节课仍涉及到指数型函数的应用,形如 y ka （a0且 a 1）.名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页