2022年对解析几何专题复习的一点思考.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -对解析几何专题复习的一点摸索上海市延安中学吕志勇高三数学复习的目的, 一方面是回忆学习过的数学学问,进一步巩固基础学问,另一方面, 随着同学学习才能的不断提高,同学不会仅仅满意于对数学学问的简洁重复,而是有对所学学问进一步懂得的需求, 如数学学问蕴涵的思想方法、数学学问之间本质联系等等,所以高三数学复习既要“温故”,更要“知新”,既能引起同学的爱好, 启示同学的思维, 又能促使同学不断提出问题,有新的发觉和制造,进而培育同学问题争论的才能一、把握解析几何的基本思想解析几何是数学中最基本的分支学科之一回忆历

2、史, 解析几何的创立是数学史上宏大的制造之一,它是17 世纪数学观和方法论显现重大变革的直接结 果笛卡儿、费尔马等数学家,将代数和几何中的一切好的东西,取长补短,融合为一门新的数学, 即把代数方法应用于几何, 从而创立明白析几何 恩格斯说： “数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微积分也就成为必要的了”解析几何是用代数方 法争论几何图形的一门学科, 要用代数方法争论几何图形, 第一需要把图形问题转化成代数形式, 然后才能用代数方法进行运算,在获得代数结果以后, 又需要把代数结果转化为几何结论一个解析几何问题的解决是通过“几何图形代数化

3、与代数结果几何化 ”和代数运算来实现的,“几何图形代数化与代数结果几何化” 是解析几何的基本思想2022 年的上海市秋季高考数学试卷的一道填空题就直接要求同学写出解析几何的思想本质是什么, 这道题目引起一些争议, 但命题的意图是好的, 指导思想是正确的, 在解析几何的复习过程中要强化这种思想通过详细例子可以说明用代数的方法解决几何问题的优越性,以及用几何的方法解决代数问题的优越性二、构建解析几何学问的体系解析几何复习时,需要理顺解析几何的学问体系：（ 1）第一要明确几何中的点与代数中的坐标的对应关系,进而要懂得曲线与方 程的概念 图形问题代数化是解析几何的核心,它是通过用坐标表示点和用方程可编

4、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -表示曲线的观念来实现的 曲线与方程概念的提出在代数与几何之间架起了一座桥梁,使两种数学形式依据需要可以“互化”,然后可以通过对方程的争论来争论曲线的性质, 这是解析几何的理论基础利用这个思想方法去懂得概念、公式所反映的数学本质,如两点距离、点到直线的距离、直线的平行与垂直、两条直线 的夹角、图形的对称性和曲线交点

5、等都是解析几何中要争论的基本问题,深刻体会教材中是如何用代数形式来解决这些重要几何概念以及位置关系的,那么遇见这些几何表述时就能娴熟转化为代数形式来处理（ 2）通过对直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等详细曲线的争论,不仅要懂得和把握它们的一些基本性质和结论,更重要的是体会解析几何争论曲线性质的详细方法和思想（ 3）明白坐标系的平移、旋转,曲线的参数方程,极坐标系等等学问,体会解析几何解决问题的方法不是单一的,而是多种多样的例题 1类似于在平面上建立直角坐标系,我们在平面上建立一个斜角坐标系,使得 y 轴与 x 轴的夹角为 60设 P 为平面上任意一点,过P 分别作 y 轴、 x 轴的可编辑资料

6、- - - 欢迎下载精品_精品资料_平行线, 分别交 x 轴、 y 轴于P1、P2 点,就P1、 P2 点分别在 x 轴、 y轴上的坐标 x、y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称为点 P 在斜角坐标系 xOy 中的坐标, 记为 x , y 在坐标平面内, 方向与 x 轴和y轴正方向相同的两个单位向量分别记为i 和 j 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 A x1 , y1 及 Bx2 ,y2 ,用 x1 ,y1 、2x2, y表示 A、B 两yP 2P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点的距离 AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

7、精品资料_（ 2）设 M 1,2,O 为坐标原点, 求过点 M 且与 OM 垂OP 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直的直线 l 的方程, 由此推测直线 l 的一个方向向量并证明你的结论.（ 3 ）设抛物线C 是以原点O 为焦点,且以直线y1 为准线,试确定直线xy10 与抛物线 C 的交点个数三、把握争论解析几何问题的基本方法近几年解析几何的考题在难度、运算的复杂程度等方面都有所下降,突出对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

8、- - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解析几何基本思想和基本方法的考查,重点要把握解析几何的一些基本方法来解决问题,解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法课堂教学中挑选例题要突出题目的普遍性,解题方法要具有代表性, 即通性通法（ 1）加强解析几何基本学问、基本方法的训练,如熟识圆锥曲线有关概念的直接应用, 求轨迹方程的各种基本方法, 争论直线与曲线的交点或位置关系, 与圆锥曲线有关的取值范畴等问题, 能通过建立函数关系, 转化为求函数的值域、 最值等等x2y 2例题 2如图,点 A 、B 分别是椭圆

9、1长3620轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点 . 点 P 在椭可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆上,且位于 x 轴上方, PA（ 1）求点 P 的坐标.PF 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的距离等于| MB| ,求椭圆上的点到点M 的距离 d 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个考题具有肯定的代表性, 熟识椭圆的焦点等概念, 两条直线的垂直关系, 点到直线的距离,定点到曲线上的动点的距离的最值等基本要求（ 2）解析几何中有

10、很多解题技巧和各种各样的结论,假如死记硬背一些解题技 巧或结论, 这对分析问题、 解决问题才能的培育是很不利的,处理不当只会增加同学的心理负担,使其恐惧数学,从而厌倦数学,不能达到教学成效,同学也没有收成 一方面对这些技巧和结论可以少讲,挑选例题的时候目标很明确,使利用基本方法来解比利用技巧来解更有效.另一方面可以对这些技巧或方法进行分 析争论,指出它们的利弊可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 3已知曲线 x24 y 216 上有两点 P 和Q , O 为坐标原点, 又 OP 、OQ 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

11、资料_斜率之积为1 ,问 OP 242OQ是否为定值？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 4问题： “已知曲线C1 ： xy2 x20 与曲线C2 ： xxyya0 有两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个公共点,求经过这两个公共点的直线方程”的解法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：曲线C1 方程与曲线C 2 方程相加得 3xy2a0 ,这就是所求的直线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - -

12、 - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -理由：（ 1）两个方程相加后得到的方程表示直线. （2）公共点的坐标满意曲线C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程与曲线C 2 方程,就它就满意相加后得到的方程. （ 3）两点确定一条直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用上述方法解以下问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如曲线 x 22 y 21 与曲线 3 y 2axb 有且只有 3 个公共点, 且它们不共线, 就可编辑资料 - - -

13、 欢迎下载精品_精品资料_经过这 3 个公共点的圆的方程是四、关注争论性学习,培育探究精神和创新实践才能由于解析几何学问内容丰富, 与其它数学学问关系亲密, 所以值得争论的数学素材很多,复习时可以留意复习方式的改善（ 1）可以采纳专题争论学习的形式,老师设计一些专题,让同学去做争论和整理如让同学去整理总结过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点时,会有哪些有意义的结论. 如举例说明求动点的轨迹方程的方法.如探究求直线被曲线截得的线段的中点的轨迹的各种方法,又如可以争论与圆锥曲线有关的定值、定点问题等等,这种学习方法使同学不知不觉就翻阅了很多资料,懂得问题的才能得到锤炼（ 2）争论性课程已经作为新课

14、程,另外近年来高考中增加了探干脆、争论性等才能型试题, 其本质是突出对探究精神,制造才能与综合素养的考查,老师细心设计问题进行争论性学习, 激发同学爱好, 启示同学思维, 引导同学主动参加到数学争论过程中,勉励同学自主学习,提出问题,合作探究,培育创新意识和实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_践才能,在此过程中猎取对学问和情感的亲身体验 例题 5 （ 2022 春季第 21 题）已知椭圆具有性质：如M、N 是椭圆 C 上关于原点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM、PN 的斜率都存在,并记可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品_精品资料_为 k PM、 kPN时,那么k PM与 k PN之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2a2b 21 写出具有类似特性的性质,并加以证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学解决这个问题不难, 用的方法也是很基本的, 关键是通过这个问题, 怎样让同学提出新的问题进行争论,进而不断有新的发觉和新的制造,从而使同学对数学入迷解决这个问题的过程中,同学先后提出了下面几个问题：问题 1：怎么会想到有这样的结论？问题 2：抛物线有类似的结论吗？ 问题 3：怎么会有这样的

16、结论？问题 4：关于二次曲线定义的争论？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -问题 1 的解决不困难,圆有直径所对的圆周角等于90 ,但椭圆中明显没有这个结论,可是把圆周角等于 90 改为两直角边所在直线的斜率乘积等于1时,就有题目的大胆猜想了问题 2,由于圆、椭圆、双曲线都是有对称中心的曲线,而抛物线没有,所以抛物线好像没有这方面的结论问题 3

17、 本身就是一个挺怪的问题, 这个问题是同学在课堂上提出的, 其他同学对此问题的反映是： 仍有这样的问题, 这就更加引起我的留意, 后来我是通过设计下面的问题来解决的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题6如 对一个 直 角坐标平面上的点x , y作 变换x x ,y 1 y2,可以将圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C : x2y2r 2 变为椭圆E : x 24 y 2r 2 设圆 C 的两条相互垂直的直径AB 和CD ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 AB 的斜率为 kk0,就在上述变换下,

18、AB 和CD 变换为过椭圆中心的弦A B和 C D 求弦 A B 和C D 所在的直线方程这道题目本身值得争论的东西很多,如争论这种变换的各种性质, 这里发觉可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通过变换之后, 圆变成椭圆,圆中的弦AB的斜率由 kk0变成k ,所以,在圆2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中的两条相互垂直的弦的斜率乘积等于1时,变换到椭圆的两条弦时,它们的斜率的乘积仍是定值, 只是这个定值与变换有关, 提出问题的同学对这样的说明是能够接受的 顺便的, 我在此基础上提出下面新的问题,让同学去探究这种变换的新的价值, 如这种变换可以很好的说明椭圆中的平行弦

19、的中点是过椭圆中心的一条弦,又如设计下面的问题来争论椭圆面积的运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 7已知点A 1, 0,点 B4,0,动点 P 到点 B 的距离等于到点 A 的距离的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两倍（ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程.（ 2）过动点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q ,点 M 是线段 PQ 的中点,求动点 M 的轨迹方程.（ 3）关于平面图形的面积有下面的定理（平面中的祖暅原理）：夹在两条平行直线之间的两个平面图形,用平行于这两条直线的任意直线截这两个图形,假如这条直线被这两个图形截得的线段长相等,那么这两个图形的

20、面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -相等22利用这个定理求椭圆xy1的面积,并说明你的推理过程312同学对能用这样的方法来求椭圆的面积感到很惊奇；又会纷纷提出类似于 “如何求二次曲线与直线围成的区域的面积的运算方法”等等问题,假如需要的话,下面这又是一个好问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 8已知抛物线y 22 px

21、 的一条弦 AB 的两端点坐标分别yA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 A x1 ,y1 ,B x2 , y2 ,过 AB 的中点作 x 轴的平行线交抛物线D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于 C （ 1）求证：S ABC3CMy1y2.16 pOxE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）分别过 AC 、 BC 的中点作 x 轴的平行线交抛物线于D 、 E ,试求ACD 和BCE 面积之和与ABC 面积的关系.B（ 3）再对 AD 、 CD 、CE 、 BE 接上法作图,并类似的始终连续下去,如将抛物线被AB 截得的封闭图像的面积定义为所做出

22、的三角形面积之和的极限,求这个面积关于问题 4,是一个同学在课后对我提出的问题,他说,解析几何教材中圆、椭圆、双曲线（它们的定义算相同） 、抛物线的几何定义都是各不相同的,能否将它们统一起来, 我反问,那么你对这个问题摸索到什么程度？为什么突然会问这个问题？他说, 课本中是给出了一种统一的定义,但是没有把圆包括进来, 今日又想到一种统肯定义,即与两个定点的两条连线的斜率乘积为定值的动点轨迹,但是它又不能包括抛物线, 这时候我想起阿波罗圆, 圆可以看成到两个定点的距离比值为定值的动点轨迹, 椭圆、双曲线也类似将就可以, 但是抛物线可以吗？究竟怎样才能将它们的定义统一起来了？这都是可以勉励同学进一步摸索争论的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载