2022年导数知识点总结.docx

《2022年导数知识点总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年导数知识点总结.docx（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_导 数学问要点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导数的概念导数导数的运算导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数的运算法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导数的应用函数的极值函数的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0 是函数 yf x 定义域的一点,假如自变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_量 x 在 x0 处有增量x ,

2、就函数值 y 也引起相应的增量yf x0xf x 0 .比值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 0xxf x 0 x称为函数 yf x 在点 x 0 到 x0x 之间的平均变化率. 假如极可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_限 limyx0xlimx0f x0xf x0 x存在,就称函数 yf x 在点x 0 处可导,并把这个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极 限 叫 做 yf x在x0处 的 导 数 , 记 作f x 或x0, 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

3、 - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 =limyx0xlimx0f x0xf x0 .0xy |x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： x 是增量,我们也称为 “转变量 ”,由于 x 可正,可负,但不为零 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知函数 yf x 定义域为 A , yf x 的定义域为 B ,就 A 与 B 关系为 AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 函数 yf x 在点x0 处连续与点x0 处可导的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

4、 欢迎下载精品_精品资料_函数 yf x 在点x0 处连续是 yf x 在点x0 处可导的必要不充分条件 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以证明,假如 yf x 在点x0 处可导,那么 yf x 点 x0 处连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_事实上,令 xx0x,就 xx0 相当于 x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 limf xlimf x0xlim f xx0 f x0 f x 0

5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xlim x 0f x0x0xf x0 xf xx00 limf x0xf x0 limlimf x 0 f x0 0f x0 f x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0xx0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 yf x 点x0 处连续,那么 yf x 在点x0 处可导,是不成立的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： f x| x |在点 x00 处连续,但在点 x00 处不行导,由

6、于y|x | ,当 x xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 时,y1.当 x 0 时, y xx1 ,故limx0y 不存在.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yf x 在点x0 处的导数的几何意义就是曲线yf x 在点x 0 ,f x 处的切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的斜率,也就是说,曲线 yf x 在点 P x0 , f x 处的切线的斜

7、率是f x ,切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程为 yy0f x xx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、几种常见的函数导数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 0 （ C 为常数） xn nx n 1 （ nR ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ s ilnxn x c o xs1 c oxs l o gx s i nx1 l o g e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x e x e xaa x xaa x

8、 ln a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 求导数的四就运算法就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ uvu vyf 1 xf 2 x.f n xyf1 xf 2 x.f n x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ uv vu v u cvc vcvcv （ c 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uvuvv u v0 v 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：u,v必需

9、是可导函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如两个函数可导,就它们和、差、积、商必可导.如两个函数均不行导,就它们的和、差、积、商不肯定不行导 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：设f x2 sin x2 , gx xcosx2 ,就xf x, gx 在 x0 处均不行导,但它们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0和 f xgxsin xcosx 在 x0 处均可导 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 复合函数的求导法就：f x

10、 xf u x或 y xy uu x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复合函数的求导法就可推广到多个中间变量的情形.7. 函数单调性：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数单调性的判定方法： 设函数 yf x 在某个区间内可导, 假如f x 0,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 为增函数.假如f x0,就 yf x 为减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常数的判定方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如函数 yf x 在区间 I 内恒有f x =0,就

11、yf x 为常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：f x0 是 f（x）递增的充分条件, 但不是必要条件, 如 y2x3 在, 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并不是都有f x0 ,有一个点例外即 x=0 时 f（ x） = 0,同样f x0 是 f（ x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递减的充分非必要条件 .一般的, 假如 f（x）在某区间内有限个点处为零, 在其余各点均为正 （或负） , 那么 f（x）在该区间上仍然是单调增加（或单调削减）

12、的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 极值的判别方法： （极值是在x0 邻近全部的点,都有f x f x0 ,就f x0 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 f x 的极大值,微小值同理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当函数f x 在点x0 处连续时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如在x0 邻近的左侧f x 0,右侧f x 0,那么f x0 是极大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如在x0 邻近的左侧f

13、 x 0,右侧f x 0,那么f x0 是微小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也就是说x0 是极值点的充分条件是x 0 点两侧导数异号, 而不是f x =0. 此外,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数不行导的点也可能是函数的极值点. 当然,极值是一个局部概念, 极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比微小值小（函数在某一点邻近的点不同） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 如点x0 是可导函数f x 的极值点,就f x=0. 但反过来不肯定成立 . 对可编辑资料 - - - 欢迎下载

14、精品_精品资料_于可导函数,其一点 x0 是极值点的必要条件是如函数在该点可导, 就导数值为零 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：函数 yf xx 3 , x0 使 f x=0,但 x0 不是极值点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：函数 yf x| x |,在点 x0 处不行导,但点 x0 是函数的微小值点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 极值与最值的区分：极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较 .注：函数的极值点肯定有意义 .可编辑资料 - - -

15、欢迎下载精品_精品资料_导数练习一、挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 设函数f x在 R 上可导, 其导函数f x , 且函数f x 在 x2 处取得微小值 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就函数yxfx 的图象可能是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设 a0,b0,e 是自然对数的底数（）A. 如 ea+2a=eb +3b, 就 ababB. 如 ea+2a=eb +3b, 就 abD. 如 ea-2a=eb -3b, 就 a0, b0.（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

16、品资料_A. 如 2a2aC如 2a2a2b3b , 就 abB如 2a2a2b3b , 就 abD如 2a2a2b3b , 就 abb23b , 就 a0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. 已知函数f x1 x31a x2axaa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(I) 求函数32f x 的单调区间 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(II) 如函数f x在区间 2,0 内恰有两个零点 , 求a 的取值范畴 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

17、品_精品资料_(III) 当 a1 时, 设函数f x在区间t ,t3 上的最大值为M t , 最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mt , 记gtM tmt , 求函数gt 在区间 3, 1 上的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18. 设函数f n xxnbxcnN,b,cR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 设n2 , b1,c1 , 证明:f x 在区间 1 ,1n2内存在唯独的零点 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 设 n 为偶数,f 11 ,f 11 , 求 b+3c 的最小值和最大值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载