2022年数列知识点和常用的解题方法归纳 .docx

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1、精品_精品资料_数列学问点和常用的解题方法归纳一、 等差数列的定义与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义：an 1a nd d为常数 , a na1n1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差中项：x,A, y成等差数列2Axy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n前n项和Sa1an nn n1 na1d22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质： an 是等差数列（1）如mnpq,就amanapaq .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

2、品_精品资料_（ 2 ）数列a 2 n 1, a 2n, ka nb 仍为等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn ,S2 nSn ,S3nS2n 仍为等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）如三个数成等差数列,可设为ad,a,ad.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4 ）如 a , b是等差数列S , T为前n项和,就 amS2m 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnb mT2m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5） an为等差数列

3、San2bn（ a, b为常数,是关于n的常数项为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n0 的二次函数）Sn 的最值可求二次函数 Sn项,即：an2bn的最值.或者求出an中的正、负分界可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当a10, d0,解不等式组anan 10可得 S0n 达到最大值时的n值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当a10, d0,由可得 Sn 达到最小值时的n值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：等差数列anan , S

4、n1018,anan 1an 23,S31,就n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（由anan 1an 233an 13, an 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3又Sa1a3 33a1, a1232211 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1anSna 2an 1 n318可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n222n27）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、等比数列的定义与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义：a n 1q（ q为常数, q0）

5、 , aa q n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an等比中项：x、G、y成等比数列n1G 2xy,或Gxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前n项和： Sna1 1qnq1q（要留意 .）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质： an 是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 如mnpq,就am anap aq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）Sn ,S2nSn , S3 nS2 n仍为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

6、资料_三、求数列通项公式的常用方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、公式法2、 由Sn求an . （n3、求差（商）法11时, a11S1,n2时, an1SnSn 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： a n满意a1 22 a 22n a n22 n51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1时, 1 a215, a1411解：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 时, 1 a1 a1a2 n152可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2122212 n 1n 114 n1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

7、品资料_12练习得： n an22 , an52 n 1n2 n 1 n2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 a n满意 SnSn 1an 1, a134,求 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（留意到aSS代入得：Sn 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 1nSnn又S14 , Sn 是等比数列, Sn4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn2时, anSnSn 13 4n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、叠乘法例如：数列an 中, a13, an 1ann,求 a n1可编辑资料 - - -

8、 欢迎下载精品_精品资料_a2解： a1 a 3 a 2anan 11 2 23n1 , an1na1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又a13, an3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、等差型递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由anan 1f n,a1a0 ,求an ,用迭加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 时, a 2a1f 2a 3a2f 3两边相加,得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anan 1f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

9、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana1f 2f 3f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an练习a0f 2f 3f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 a n, a11, an3n 1an 1n2 ,求an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ an1 3n1 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、等比型递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ancan 1dc、 d为常数, c0, c1, d0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

10、_可转化为等比数列,设anxc an 1xancan 1c1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令c1xd, xdc1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aan1d是首项为c1d, c为公比的等比数列c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nadc1d cn 1a1c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aadc n 1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1c1c1练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 an满意a

11、19 , 3an 1an4 ,求an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ ann 1841）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、倒数法例如： a11, an 12an,求 an由已知得：1an211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an2,an 12 an2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1111为等差数列,11,公差为 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a n 1an2,ana12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n a n1 121 n122

12、a n,n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、 求数列前 n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现成对互为相反数的项.n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： an是公差为 d的等差数列,求k 1 ak ak 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由11111d0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：ak ak 1ak akddakak 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1 ak ak 1k

13、1 dakak 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_da 1a2a2a 3anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_da1an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习求和： 111211231123 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ a, S21）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn13、错位相减法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 an为等差数列,b n 为等比数列,求数列a

14、 nbn（差比数列）前 n项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和,可由 SnqSn求Sn,其中 q为 bn的公比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： Sn12x3x 24x3nxn 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x Snx2 x 23x 34 x4n1 x n 1nx n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12： 11x1时, Snx Snx n21nx nxx 2x n 1nx n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1xn n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精

15、品_精品资料_x1时, Sn123n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、倒序相加法：把数列的各项次序倒写,再与原先次序的数列相加.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sna 1a2an 1an相加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sna nan 1a 2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2S n练习a1anx 2a 2an 1a 1an 111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知f x1 x 2,就f 1f 2ff 32ff 4f34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

16、_精品资料_22（由f xf1x21xx 212221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x11x1x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式f 1f 2f12f 3f13f 4f14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11113 1 ）22例 1 设 an 是等差数列,如 a2=3 , a 7 =13 ,就数列 an 前 8 项的和为（）A 128B 80C64D 56 （福建卷第 3 题）略解： a2 +a 7 = a 1 +a 8 = 16, an 前 8 项的和为 64,故应选 C可编辑资料 -

17、 - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 已知等比数列 an 满意 a1a23,a2a36 ,就 a7（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 64B 81C 128D 243（全国卷第 7 题） 答案： A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 已知等差数列等于（）an中,a26 , a515 ,如 bna2 n ,就数列bn的前 5 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 30B 45C 90D186 （北京卷第 7 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解：a 5 -a 2 =3d=9, d=3 , b 1 = a26, b

18、5 =a 10 =30 , bn故答案是 C的前 5 项和等于 90,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 记等差数列的前 n 项和为Sn ,如 S24, S420 ,就该数列的公差 d（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2B 3C 6D 7 （ OLE_LINK1 a r* MERGEFORMAT广东卷第 4 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解： S4S2S24d12,d53 ,应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a例 5 在数列 an 中, n4naaaan 2bn12n2,*, nN,其中a, b 为可编辑

19、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常数,就 ab（安徽卷第 15 题） 答案： 1aaln11 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 在数列 an 中,a12 ,n 1nn,就 an（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2ln nB 2 n1ln n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 2答案： An lnnD 1nln n （江西卷第 5 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7设数列第 16 题）an中, a12,an 1ann1,就通项 an （四川卷可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此题重点考查由

20、数列的递推公式求数列的通项公式,抓住系数相同是找到方法的突破口an 1ann1 中 an1 ,an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解： a12, an 1ann1 anan 1n11 , an 1an 2n21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 2an 3n31 , a3a221 , a2a111 ,a1211 将以上各式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an相 加 , 得n1n2n321n1EMBEDEquation.DSMT4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1 nn n1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

21、资料_n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22,故应填12+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8如 x+ 2 x n 的绽开式中前三项的系数成等差数列,就绽开式中x4 项的系数为A 6B 7C 8D 9 重庆卷第 10 题答案： B使用挑选题、填空题形式考查的文科数列试题,充分考虑到文、理科考生在才能上的差异,侧重于基础学问和基本方法的考查,命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主,如,例4 以前的例题例5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特别函数的懂得.例6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的才能.例8

22、 就考查二项绽开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第1 题,浙江卷第 4 题,陕西卷第 4 题,天津卷第 4 题,上海卷第 14 题,全国卷第19 题等,都是关于数列的客观题,可供大家作为练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 已知 an是正数组成的数列,a1=1,且点（an , an1 ）（ nN* ）在函数 y=x2+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的图象上 . 求数列 an的通项公式. 如数列 bn满意b1=1, bn+1=bn+ 2an ,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证： bn bn+2 b2n+1. （福建卷第 20 题

23、）略解：（）由已知,得an+1-an=1,又 a1=1, 所以数列 an是以 1 为首项,公差为1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的等差数列故 an=1+ n-1 1=n. 由（）知,an=n, 从而 bn+1-bn =2n, bn=bn-bn-1+ bn -1 -bn -2+ +（ b2-b1） +b1=2n-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21+2n-2 +2+1=2 n-1 . bn.bn+2 -b n21 =2 n-12 n+2-1-2 n+1 -12= -2n 0, bn bn+2 b n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于第（）

24、小题,我们也可以作如下的证明：22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b2=1, bnbn +2- bn1 =bn+1-2 nbn+1+2 n+1- b n1 =2n+1bn+1-2n bn+1-2n 2n+1 2n（ bn+1-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n +12n+1） =2n（bn+2n -2n+1） =2n（ bn -2n） =2n （b1-2） =-2n0, bn-bn+2b2.nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10 在数列an中, a11 , an 12an2 （）设bn2 n 1证明：数列可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_bn是等差数列. （）求数列an的前 n 项和Sn （全国卷第 19 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaa2a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解：（）bn 1n 1nn 1bn = 2n2n 1 =2nn= 2n =1,就bn为等差数列,b11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bnn ,an2n 1nS1 202 21n1 2n 2n 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 Sn1 212 22n1 2n 1n 2n两式相减,得可编辑资料 -

26、 - - 欢迎下载精品_精品资料_nSnn 21 20212 n 1n 2n2n1= n12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于例10 第（）小题,基本的思路不外乎推出后项减前项差相等,即差是一个常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数可以用迭代法,但不行由b2-b1=1 , b 3 -b 2 =1 等有限个的验证归纳得到bn为等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列的结论,犯“以偏盖全”的错误第（）小题的“等比差数列”,在高考数列考题中显现的频率很高,求和中运用的“错项相减”的方法,在教材中求等比数列前n 项和时给出,是“等比差数列”求和时最重

27、要的方法一般的,数学学习中最为重要的内容经常并不在结论本身,而在于获得这一结论的路径赐予人们的有益启示例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型,类似的题目仍有浙江卷第 18 题,江苏卷第 19 题,辽宁卷第 20 题等,其共同特点就是以等差数列或等比数列为依靠构造新的数列主要考查等差数列、等比数列等基本学问,考查转化与化归思想,考查推理与运算才能考虑到文、理科考生在才能上的差异,与理科试卷侧重于理性思维,命题设计时以一般数列为主,以抽象思维和规律思维为主的特点不同.文科试卷就侧重于基础学问和基本方法的考查,以考查详细思维、演绎思维为主可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

28、精品资料_例 11 等差数列 an 的各项均为正数,a13 ,前 n 项和为Sn , bn为等比数列 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b11 ,且b2S264,EMBEDEquation.DSMT4b3S3960 求 an与 bn. 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和： S1S2Sn （江西卷第 19 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略 解 ： 设 an 的 公 差 为 d, bnd的 公 比 为 q, 依 题 意 有6,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S2b26d

29、q64,d2,40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S3b393d q2960.解 之 , 得qq8; 或.3 舍 去 , 为 什 么 ？ 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a32n12n1,b8n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn（）Sn352n1nn2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S1S2Sn132435nn2EMBEDEquation.DSMT4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 11111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

30、料_232435nn2EMBEDEquation.DSMT4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 111132n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22n1n242n1n2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“裂项相消”是一些特别数列求和经常用的方法使用解答题形式考查数列的试题,其内容仍往往是一般数列的内容,其方法是讨论数列通项及前 n 项和的一般方法,并且往往不单一考查数列,而是与其他内容相综合,以表达出对解决综合问题的考查力度数列综合题对才能有较高的要求,有肯定的难度,对合理区分较高才能的考生起到重要的作用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

31、资料_anS2a2na , a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12设 数 列的 前 n 项 和 为nn,（ ） 求 14 .（ ） 证 明 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 12an是等比数列. （）求an的通项公式 （四川卷第 21 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aS , 2aS2a2,S22aS2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略 解 ：（ ） 1111, 所 以 11 由nn知 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 aS2n 1aS2n 1aS2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

32、精品资料_n 1n 1n 1n得, n 1n EMBED Equation.DSMT4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aS222226, S8aS2382316, S24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212,323,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4a4S3240 a2aS2n 1S2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ ） 由 题 设 和 式 知 ,n 1nnnEMBED可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Equation.DSMT4（）2n 12n2 n , an 12 an是首项为 2,公比为 2 的等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa2a2 a2a2 n 2 a2a2n 1 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn 1