2022年放缩法技巧全总结非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之 .docx

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1、精品_精品资料_2022 高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而布满摸索性和挑战性,能全面而综合的考查同学的潜能与后继学习才能,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观看所给数列通项的结构,深化剖析其特点,抓住其规律进行恰当的放缩.其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1.1求n22k 1 4k的值;2 求证:1n15 .2k 1 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:1由于24n 212n21 2n112n11n22n1,

2、所以n22k 1 4 k1112 n12n2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由于 114211,所以112 1111251可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nn 2144n 212n12n1k 1 k352n12 n133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇巧积存 :1 1n 244 n244n21122n112n121C 1 C22n1nn11nn11nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 Tr 1r1Cnn rn. r . n1r .nr11r .r r1n 1n1r11

3、 r2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 151 nn1111121321115n n12(6) 1n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n 2 n12n12nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 2n1n 91k n1kn12n111kknn11,n1 nn811 k212n12n311k1 nn12 n2 n11k11 2 n 12 n13 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 nn1 .1n .n11 .111n2 2

4、n12n12 22n 12n 12n1n122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn11222n2nnnn2n 1nn 111n 1nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2121 2121 2221 212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121 n 311nn1 n1n n1nn1n1n1n11n11n1n n2111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n1n113 2 n 1n12

5、 nn2 23n1 232nnnn321221312 n2n13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14k. kk21.k2.1k1 .1k2 .151n n1nn1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222222(15) i1j1ijij1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ijij i1j1i1j1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2.1 求证:11132522 求证: 111 2n171 26111n22 2n11可编辑资料 - -

6、 - 欢迎下载精品_精品资料_4(3) 求证: 116361 31 3 54n 224n1 3 5 2n12n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2(4) 求证：2 42n2 4 6111122 4 6113n2n2 2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:1由于12 n122n11 2n 1112 2n 112n 1,所以ni 1 2i11 211 12 312n 111 12 312n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 111416361

7、1 11224n4211 1112n4n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 先运用分式放缩法证明出1 3 52n11, 再结合1进行裂项 ,最终就可以得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 4 62n2n1n2nn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 第一 1n2 n1n2n1n,所以简单经过裂项得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n11111123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再 证12 2 n 1n2 n 12 22n12n12n1n2而 由

8、 均 值 不 等 式 知 道 这 是 显 然 成 立 的 , 所 以12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1112312n2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 求证: n6n1115211 2n149n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:一方面 :由于 1n 21n 21444 n21122n112n1, 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

9、品_精品资料_n11k2k 1另一方面 :1112 11351112 n1112n1112533111n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_49n 22334nn1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n3 时,nn16 nn1 2n,当 n11 时,n6n1111 ,1 2n149n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2 时, n6n6n1111 2n149111121 ,所以综上有n25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n12

10、n149n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.2022 年全国一卷 设函数f xxx ln x . 数列a 满意 0a1 . af a . 设 b a,1,整数a1b . 证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明: ak 1b .n1n 1n1ka1 ln b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:由数学归纳法可以证明an是递增数列 ,故存在正整数 mk, 使amb ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ak 1akb ,否就如 ambmk ,就由 0a1amb 1 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_am ln am

11、a1 ln ama1 ln b0 , ak 1akak ln akka1am ln amm 1,由于kam ln amm 1k a1 ln b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 ak 1a1k| a1 ln b |a1ba1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5.已知 n, mN , x1, Sm1m2m3mnm , 求证:nm 1m1 Snn1m 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:第一可以证明 : 1x n1nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

12、 - 欢迎下载精品_精品资料_nm 1nm 1 n1 m 1n1m 1n2 m 11m 10n km 1k 1 k1 m1 所以要证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nm 1m1Sn n1 m 11 只要证 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n k m 1k 1k1m 1 nm1k m k 1n1m 11 n1m 1nm 1nm 1n1m 12 m 11 m 1n kk 11 m 1km 1 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

13、下载精品_精品资料_只要证n k m 1k 1k1m 1nm1k m k 1n kk 11m 1k m 1 ,即等价于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k m 1 k1 m 1m1k mk1m 1k m ,即等价于 1m1k11 m ,1m11kk11 m 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而正是成立的 ,所以原命题成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n例 6. 已知 a4n2n ,Tn2na1a2,求证: T1anT241T34 n 213.Tn22 n 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

14、_精品资料_T解析:n4142434 n21222n 14123 4n12 12 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以Tn4 4n32n12 12n 4 n 132 n422n 132n4n 12332 n 14n 13 2n3 2n 123 2n2 2 2n 23 2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_322T从而 1T22 n2 n1 2n1T3Tn312 2n13112312n 11113712 n1132n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x例 7. 已知 x11,nnn2k1,

15、 kZ ,求证:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14 x2 x3n14 x4 x51n2k, kZ 14 x2n x2 n 12 n11nN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明:41x2n x2n 14 2n112n114 4n2114 4n 212n22 ,由于n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 nn所以n1 ,所以41112x2n x2 n 12 n12nn2 n2 111nn1n N *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x

16、2x34 x4 x54 x2 nx2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*二、函数放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8.求证：ln 2n2ln 33ln 44ln 3nn3n35n6 n6N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:先构造函数有ln x1 , 从而 ln 2ln 3ln 4ln 3n111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln xx 11xx234313n233n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111111123456789由于 111233

17、 n533993n 13n 1111nnn22135n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_66所以 ln 229ln 3318ln 4427ln 3nn32 3n 13n13n5n3 n665n66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9.求证 :12, ln 22ln 33ln n n2n22 nn1 n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:构造函数ln x , 得到 ln nln n 2 ,再进行裂项ln n 21111,求和后可以得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x函数构造形式 :xln xnn2x1, ln nn2

18、n12n 2nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10.求证 : 11231ln n1111n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:提示: ln n函数构造形式 :1ln xln n1nnn1x, ln x11 x2 ln n11nlnnn1ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当然此题的证明仍可以运用积分放缩学习必备欢迎下载y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图,取函数f x1 ,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

19、品资料_ABCFn第一: S1x,从而, 1 in1ln x |nnnxiln nln niDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取i1有, 1 nn iln nln nn i1 ,FCABOn-inx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以有 12ln 2 , 13ln 3ln 2 , ,1nln nln n1 ,1n1ln n1) ln n ,相加后可以得到 :11231ln n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n另一方面 S1 ,从而有1in 1ln x |nln nln ni可编辑资料 - -

20、 - 欢迎下载精品_精品资料_ABDExnixn i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n in i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取i1有,1 n1ln nln n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以有ln n 11121 ,所以综上有 11n231ln n1111n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11.求证 : 11 11 2.3.11 n.e 和 11 11 98111 e .32 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:构造函数后即可证明可编辑资料

21、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12.求证 : 112 1231n n1e2 n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:ln n n 1 132nn 1,叠加之后就可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数构造形式 :ln x 123 x0x 11 ln1 x x3 xx 1加强命题 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13.证明 : ln 2ln 3ln 4ln nn n1 nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

22、精品资料_3解析:构造函数4f x5ln xn 11) x411x1) ,求导,可以得到 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x121x 1xx ,令1f x0有 1x2 , 令f x0 有 x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f xf 20 ,所以ln x1x2 ,令 xn21 有, ln n2n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ln nn 1,所以 ln 2ln 3ln 4ln n

23、nn1) nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 12345n 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 14. 已知11 证明 ae2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11,an 11n2 an.nn2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:an 111nn1ann1211n n 11,2 n a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_然后两边取自然对数,可以得到ln an 1ln11n n 11n ln an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

24、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_然后运用ln1xx 和裂项可以得到答案 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_放缩思路：a n 111 n2n1n a n2ln an 1ln 11n 2n1n ln an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln an1n 2n1 .于是2 nln a n 1ln an1n 2n1 ,2n1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1ln a i 1ln ai n 11 i 2i12 i ln anln a11 1 12n11122 .n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1n即

25、ln aln a1i 12an12e2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：题目所给条件 ln1xx （ x0 ）为一有用结论,可以起到提示思路与探究放缩方向的作用.当然,此题仍可用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 nnn1n2) 来放缩：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 111nna n11nn1an 111 111n n an 11n 1n 111,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lnan 11lnan1ln1n n 1.nn 1 ln ai 1i 21ln ai1i 2i i1ln an1ln a2111n可编辑

26、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 ln an11ln 3an3e1e2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15.2022 年厦门市质检 已知函数f x 是在0, 上到处可导的函数 ,如xf xf x 在 x0 上恒成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(I) 求证：函数g xf x x在0,上是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(II) 当 x10, x20时,证明 :f x1 f

27、 x2 f x1x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(III) 已知不等式ln1xx在x1且x0 时恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：1 ln 22221 ln 32321 ln 4 24 21n 1 2ln n1 22nn1 n2nN* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:Ig xf x xx 2f x0 ,所以函数g xf x x在 0 ,上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 由于g xf x x在 0,上是增函数 , 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1 x1f x1x1f x 2 x2x2 x2f x1x1f x1 x2 x2x