概率论与数理统计知识点归纳.pdf

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1、概率论与数理统计 1 概率论与数理统计 知识点总结 一、随机事件与概率 1.1.随机事件随机事件 （1）事件间的关系与运算 事件的差：ABAABAB 对立事件：,AAAA 完备事件组：设 12 , n A AA是有限或可数个事件，如果其满足： ,1,2, ij AAiji j； i i A ，则称 12 , n A AA是一个完备事件组. （2）随机事件的运算律 求和运算： ABBA（交换律） ()()ABCABCABC（结合律） 求交运算： ABBA（交换律） ()()AB CA BCABC（结合律） 求和运算与求交运算的混合： ()()()A BCABAC（第一分配律） ()()()ABC

2、AB A C（第二分配律） 求对立事件的运算：( )AA（自反律） 和及交事件的对立事件： ABAB（第一对偶律） ABAB（第二对偶律） 2 2. .随机事件的概率随机事件的概率 （1）概率的公理化定义 概率论与数理统计 2 公理公理 1 1：( )1P ； 公理公理 2 2：对任意事件A，有( )0P A ； 公理公理 3 3：对任意可数个两两不相容的事件 12 , n A AA，有 11 ()() ii ii PAP A . （2）概率测度的其他性质 性质性质 1 1：()0P 性质性质 2 2（有限可加性（有限可加性） ： 12 , n A AA是两两互不相容的，则有 11 ()()

3、nn ii ii PAP A 性质性质 3 3：( )1( )P AP A 性质性质 4 4：()( )()P ABP AP AB 特别地，若AB，则()( )( )P ABP AP B；( )( )P AP B 性质性质 5 5：0( )1P A 性质性质 6 6：()( )( )()P ABP AP BP AB 推论：()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 3.3.古典概型与古典概型与几何概型几何概型 （1）古典概型 古典概型的概率测度：( )= AA P A 中元素个数使 发生的基本事件数 中元素个数基本事件总数 （2）几何概

4、型 几何概型的概率测度： ( ) ( ) ( ) S A P A S 4.4.条件概率条件概率 （1）条件概率的数学定义 () ()( ( )0) ( ) P AB P B AP A P A 概率论与数理统计 3 ()1()P B AP B A ()1()P B AP B A 条件概率测度满足概率的三条公理： 公理公理 1 1：()1PA； 公理公理 2 2：对任意事件B，有()0P B A ； 公理公理 3 3：对任意可数个两两不相容的事件 12 , n A AA，有 11 ()() ii ii PA AP A A . （2）乘法公式 ()( ) (), ( )0P ABP A P B A

5、P A ()( ) (), ( )0P ABP B P A B P B ()( ) () ()P ABCP A P B A P C AB 12121312121 ()() () ()() nnn P AAAP A P A A P A AAP A AAA （3）全概率公式 设 i A是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且 i i A ，则对任意事件 B，有( )() () ii i P BP A P B A. . （4）贝叶斯公式 设 i A是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且 1 i i A ，则对任意事件 B， ( )0P B ，有 () ()() () ( )()

6、 () ii i i jj j P A P B AP AB P A B P BP A P B A . . 5 5. .事件的独立性事件的独立性 （1）两个事件的独立性 ()( ) ( )P ABP A P B （2）有限个事件的独立性 概率论与数理统计 4 两两独立：()() () ijij P AAP A P A 相互独立： 1212 ()() ()() kk iiiiii P A AAP A P AP A （3）相互独立性的性质 性质性质 1 1：如果n个事件 12 , n A AA相互独立，则将其中任何(1)mmn个事件改为相应的 对立事件，形成的新的n个事件仍然相互独立. 性质性质 2

7、 2：如果n个事件 12 , n A AA相互独立，则有 111 1()1(1() nnn i ii iii PAP AP A （4）伯努利概型 伯努利定理：在一次试验中，事件A发生的概率为(01)pp，则在n重伯努利试验中，事 件A恰好发生k次的概率为：( ; , )Ck kn k n b k n pp q ，其中1qp . 在伯努利试验序列中，设每次试验中事件A发生的概率为p，“事件A在第k次试验中才首 次发生”(1)k ，这一事件的概率为 1 ( , ) k g k pqp . 二、随机变量的分布与数字特征 1.1.随机变量及其分布随机变量及其分布 （1）离散型随机变量的概率分布 离散型

8、随机变量的概率分布满足性质： ( )0,1,2, i p xi ( )1 i i p x 一旦知道一个离散型随机变量X的概率分布 i p x（ ），便可求得X所生成的任何事件的概率. 特别地，对任意ab，有()( ) iii iii a xba xba xb P aXbPXxP Xxp x . 一般地，若I是一个区间，则=( ) i i xI P XIp x . （2）分布函数 概率论与数理统计 5 随机变量的分布函数性质： 单调性，若 12 xx，则 12 ( )()F xF x； ()lim( )0 x FF x ， ()lim( )1 x FF x ； 右连续性，(0)( )F xF x

9、. （3）连续型随机变量及其概率密度 ( )( ) x F xP Xxf t dt ，( )f x为X的概率密度函数. 密度函数性质： ( )0,(,)f xx ； ( )1f x dx . ( )( )( ) b a P aXbF bF af x dx 0P Xx（连续型） ( ) ( )F xf x 2 2. .随机变量随机变量的数字特征的数字特征 （1）离散型随机变量的数学期望 1 = ii i EXx p （2）连续型随机变量的数学期望 ( )EXxf x dx （3）随机变量函数的数学期望 设X是一个随机变量，( )g x是一个实函数. 若X为离散型随机变量，概率分布为,1,2, i

10、i P Xxp i. 且 1 ( ) ii i g xp ，则()Eg X存在，且 概率论与数理统计 6 1 ()( ) ii i Eg Xg x p . 若X为连续型随机变量， f x是其密度函数，且( )( )g xf x dx ，则()Eg X存 在，且 ()( ) ( )Eg Xg x f x dx . （4）数学期望的性质 对任意常数a，有Eaa； 设 12 , 为任意实数， 12 ( ),( )g x gx为任意实函数，如果 12 (),()Eg XEgX均存在，则 11221122 ()()()()Eg XgXEg XEgX； 如果EX存在，则对任意实数a，有()E XaEXa.

11、 （5）随机变量的方差 离差：XEX 方差： 2 ()DXE XEX 标准差：DX 若X为离散型随机变量，其概率分布为,1,2, ii P Xxp i，则 22 ()() ii i DXE XEXxEXp 若X为连续型随机变量， f x为其密度函数，则 22 ()()( )DXE XEXxEXf x dx 22 ()DXEXEX 方差的基本性质： 设X的方差DX存在，a为任意常数，则 0Da ； ()D XaDX； 2 ()D aXa DX. （6）随机变量的矩与切比雪夫不等式 矩矩定义定义：X为一个随机变量，k为正整数，如果 k EX存在（即 k E X ） ，则称 k EX为X 概率论与数

12、理统计 7 的k阶原点矩，称 k E X为X的k阶绝对矩. 定理：定理：随机变量X的t阶矩存在，则其s阶矩（st为正整数）也存在. 推论推论：设k为正整数，C为常数，如果 k EX存在，则()kE XC存在，特别地， )kE XEX（存在. 中心矩中心矩定义定义：X为一个随机变量，k为正整数，如果 k EX存在，则称()kE XEX为X的k 阶中心矩，称 k E XEX为X的k阶绝对中心矩. 定理定理：设( )h x是x的一个非负函数，X是一个随机变量，且()Eh X存在，则对任意0， 有 () () Eh X P h X . 推论推论 1 1（马尔可夫不等式（马尔可夫不等式） ：设X的k阶矩

13、存在（k为正整数） ，即 k E X ，则对任意 0有 k k E X P X . 推论推论 2 2（切比雪夫不等式（切比雪夫不等式） ：设X的方差存在，则对任意0有 2 DX P XEX . 推论推论 3 3：随机变量X的方差为 0 当且仅当存在一个常数a，使得=1P Xa. 3 3. .常用的离散型分布常用的离散型分布 离离 散散 型型 分分 布布 概率分布概率分布 期望（期望（EX） 方差（方差（DX） 退 化 分 布 1P Xa EXa 0DX 两 点 分 布 12 ,1,P Xxp P Xxp 01p 12 (1)EXpxp x 2 12 (1)()DXpp xx 0 0- -1 1

14、 分布分布： 特别地， 如果X服从 1 1x ，EXp (1)DXpp 概率论与数理统计 8 2 0 x 处的参数为p两点分布.即 1P Xp，0 1P Xp ， 01p. n 个 点 上 的 均 匀 分 布 1 =,1,2, i P Xxin n EXx 2 1 1 () n i i DXxx n 二 项 分 布 C(1), kkn k n P Xkpp 0,1,2,kn EXnp DXnpq 几 何 分 布 def 1 ( , ),1 k P Xkqpg k p k 1 EX p 2 q DX p 几何分布几何分布的无记忆性的无记忆性：设X服从几何分布，则对任意两个正整数,m n，有 P

15、Xmn XmP Xn. 超 几 何 分 布 12 CC ,0 C kn k NN n N P Xkkn 1 N EXn N 12 1 NNNn DXn NNN 泊 松 分 布 e,0,1,2, ! k P Xkk k 0为参数 EX DX 二项分布可作为超几何分布的近似，即 1212 CC C kn kkn k NN k n n N NN C NN .这一近似关系的严格 数学表述是：当N 时， 1 N ， 2 N ，且 1 N p N ， 2 1 N p N ，则对任意给 定的n和k，有 12 CC lim1 C kn k n k NN kk n n N N C pp . 概率论与数理统计 9

16、 泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为 n p（注意这与试验的次 数n有关） ，如果n时， n np（0为常数） ，则对任意给定的k，有 lim ( ; ,)e ! k n n b k n p k . 当二项分布( , )b n p的参数n很大，而p很小时，可以将它用参数为np的泊松分布来近 似，即有 () ( ; , )e ! k np np b k n p k . 4 4. .常用的连续型分布常用的连续型分布 连连 续续 型型 分分 布布 密度函数密度函数 分布函数分布函数 期望期望 （EX） 方差方差（DX） 均 匀 分 布 1 , ( ) 0, axb f xb

17、a 其他 记作 , X U a b 0, ( ), 1, xa xa F xaxb ba xb 2 ab EX 2 () 12 ba DX 指 数 分 布 e,0 ( ) 0,0 x x f x x 记作e( )X 1 e,0 ( ) 0,0 x x F x x 1 EX 2 1 DX 指数指数分布分布的无记忆性的无记忆性：非负连续型随机变量X服从指数分布的充要条件是：对任意实 数r和s，有P Xrs XsP Xr . 正 态 分 布 2 2 () 2 1 ( )e, 2 x x x 记作 2 ( ,)X N 2 2 () 2 1 ( )e 2 t x xdt EX 2 DX 标准正态分布标准

18、正态分布 概率论与数理统计 10 2 2 0 1 ( )e 2 x x 记作 (0,1)X N 标准正态分布标准正态分布表表 性质性质： 00 ()( )xx 00 ()1( )xx 00 ( )()1xx 0EX 1DX 正态分布 定理：定理：设 2 ( ,), ,XNYaXb a b 为常数，且0a ，则 22 (,)YN ab a. 推论推论 1 1：如果 2 ( ,)X N ，则(0,1) X N .通常称为X的标准化. 推论推论 2 2： 2 ( ,)X N 的充要条件是存在一个随机变量(0,1)N，使得X. 推论推论 3 3：设 2 ( ,),( ), ( )X Nxx 分别为其分

19、布函数与密度函数， 00 ( ),( )xx是标准正态 分布的分布函数和密度函数，则有 0 0 ( )(), 1 ( )(). x x x x 一般正态分布的概率计算： 【例例】已知 2 ( ,)XN ，求( )a. 解解 0 ( )( ) XaX aP XaPPbb 5 5. .随机变量函数的分布随机变量函数的分布 （1）离散型随机变量函数的分布 离散型随机变量离散型随机变量函数的函数的概率分布的一般方法：概率分布的一般方法：先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所 有可能取值，然后对Y的每一个可能取值(1,2,) i y i 确定相应的() ijji Cx g xy，则 有 (), , j

20、i iii iij xC Yyg XyXC P YyP XCP Xx 从而求得Y的概率分布. （2）连续型随机变量函数的分布 概率论与数理统计 11 连续连续型随机变量函数的型随机变量函数的概率分布的一般方法：概率分布的一般方法：一般地，已知X的分布函数( ) X Fx或密度函数 ( ) X fx，为求()Yg X的分布函数，有 ( )() (), Yx F xP YxP g XxP XC 其中( ) x Ct g tx.而 x P XC往往可由X的分布函数( ) X Fx来表达或用其密度函数 ( ) X fx的积分来表达：( ) x xX C P XCft dt.进而，Y的密度函数，可直接从

21、( ) Y F x导 出. 三、随机向量 1.1.随机向量的分布随机向量的分布 （1）随机向量及其分布函数 1212 ,P xXxyYy 22122111 (,)( ,)(,)( ,)F xyF x yF xyF x y 由（联合）分布函数的定义得出性质： 0( , )1F x y； ( , )F x y关于x和y均单调非降、右连续； (, )lim( , )0, x FyF x y ( ,)lim( , )0, y F xF x y ( , )(,) (,)lim( , )0, x y FF x y ( , )(,) (+ ,+ )lim( , )1. x y FF x y ( , )F x

22、 y的边缘分布函数： ( ),( ,) X FxP XxP Xx YF x ， ( ),(, ) Y F yP YyP XYyFy. （2）离散型随机向量的概率分布 离散型随机向量的概率分布, ,1,2, iiij P Xx Yyp i j， ij p满足性质： 概率论与数理统计 12 0, ,1,2, ij pi j； 1 ij ij p . 边缘概率分布： ,1,2, X iiij j pP Xxp i ,1,2, Y jjij i pP Yypj （3）连续型随机向量的概率密度函数 二维连续型随机向量( , )( , ) xy F x yf s t dsdt ，( , )f x y为,X

23、 Y的概率密度函数或X与 Y的联合密度函数. ( , )f x y具有性质： ( , )0f x y ； ( , )1f x y dxdy ； 若D是平面上的一个区域，则,( , ) D PX YDf x y dxdy 边缘密度函数： ( )( , ) ( )( , ) X Y fxf x y dy fyf x y dx 均匀分布的密度函数： 1 , ( , ) ( )( , ) 0, x yG S Gf x y 其他 ，若,X Y服从G上的均匀分布，则对 任何平面区域D，有 1() ,( , )= ( )( ) DDG S DG PX YDf x y dxdydxdy S GS G . （4

24、）二元正态分布 密度函数： 22 1122 222 12 12 ()()() ()1 2 2(1) 2 12 1 ,e 21 xxyy x y ，记作 22 1212 ,(,;,; )X YN . 边缘密度函数分布： 2 1 2 1 () 2 1 1 ( )=,e 2 x X xx y dy ， 概率论与数理统计 13 2 2 2 2 () 2 2 1 ( )=,e 2 y Y yx y dx . 注意注意：比较联合密度函数, x y和边缘密度函数( ) X x，( ) Y y，当且仅当0时，对一 切, x y，有,( )( ) XY x yxy. 2 2. .条件分布与条件分布与随机变量的独

25、立性随机变量的独立性 （1）条件分布与独立性的一般概念 随机变量X和Y相互独立：( , )( )( ) XY F x yFx Fy 定理定理 1 1：随机变量X和Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独 立，即对任意实数集A和B，有, P XA YBP XA P YB. 定理定理 2 2：如果随机变量X和Y相互独立，则对任意函数 12 ( ),( )g x gy，均有 1( )g X与 2( ) g Y 相互独立. 相互独立： 12 , n X XX相互独立， 121122 ,( )()() nnn F x xxF x F xF x. （2）离散型随机变量的条件概率分布与独

26、立性 概率分布：, ,1,2, ijij P Xx Yyp i j i j p（当0 i P Yy时） ： , ij ii ij Y ij P P Xx Yy P Xx Yy P YyP 性质：性质：0 i j p；1 i j i p . 已知 j Yy的条件下X的条件概率分布：,1,2, iii j P Xx Yypi； 已知 i Xx的条件下Y的条件概率分布：,1,2, iiji P Yy Xxpj. XY ijijjii j ppppp 定理定理：设,X Y是离散型随机变量，其联合概率分布为,( ,1,2,) ijij P Xx Yyp i j， 边缘概率分布分别为 X i p和 Y j

27、 p( ,1,2,)i j ，则X与Y相互独立的充要条件是 , ,1,2, XY ijij pp pi j. （3）连续型随机变量的条件密度函数与独立性 概率论与数理统计 14 在Yy的条件下X的条件分布： 0 ( , ) , lim ( ) x y Y f u y du P Xx yyYy P Xx Yy P yyYyfy 条件分布和条件密度函数 条件分布函数条件分布函数 条件密度函数条件密度函数 ( , ) () ( ) x X Y Y f u y Fx ydu fy ( , ) () ( ) X Y Y f x y fx y fy ( , ) () ( ) y Y X X f x t F

28、y xdt fx ( , ) () ( ) Y X X f x y fy x fx 密度函数的乘法公式： ( , )( )()( )() XYY XX Y f x yfx fy xfy fx y 定理定理：设连续型随机向量,X Y的密度函数为( , )f x y，边缘密度函数分别为( ) X fx和 ( ) Y fy，则X与Y相互独立的充要条件是( , )( )( ) XY f x yfx fy. 3 3. .随机向量的随机向量的函数的分布与数学期望函数的分布与数学期望 （1）离散型随机向量的函数分布 (,) (, ),1,2, ijk kkij g x yz P ZzP g X YzP Xx

29、 Yyk 设,X Y是两个相互独立的随机变量，分别服从参数为 1 和 2 的泊松分布，则XY的分 布为 12 12 e,0,1,2, ! k k k ,可见XY服从参数为 12 的泊松分布.结论： 泊松分布具有独立可加性. 求解过程求解过程 0 0 =, = k i k i PkP XYk P Xi Yki P Xi P Yki 概率论与数理统计 15 12 12 12 12 0 12 0 12 =ee !()! =e !()! =e,0,1,2, ! ik i k i ik i k i k iki i ki k k （2）连续型随机向量的函数分布 分布函数：( ) (, )(, )( , )

30、 z Zz D FzP ZzP g X YzPX YDf x y dxdy， 其中 z D=( , )( , )x y g x yz. 密度函数： ( )=( ) Z Z fzF z. 随机变量的和：随机变量的和：设(, )X Y的联合密度函数为( , )f x y，则XY的密度函数为 ( )=(, ) Z fzf zy y dy 或 ( )=( ,) Z fzf x zx dx 特别地，如果X和Y是相互独立的随机变量，则有(卷积公式) ( )=( )() ZXY fzfx fzx dx 或 ( )=()( ) ZXY fzfzy fy dy 即，( )=* ( )*( ) ZXYYX fzf

31、fzffz. 求解过程求解过程 对任意z，令( , ) z Dx y xyz，则 ( ) ( , ) ( , ) (, ) (, ) z Z D z y z z FzP ZzP XYz f x y dxdy dyf x y dx dyf uy y du f uy y dy du 于是有( )=(, ) Z fzf zy y dy 或交换积分次序 ( )=( ,) Z fzf x zx dx 概率论与数理统计 16 独立正态随机变量之和：设随机变量 22 1122 (,),(,)XNYN ，且X与Y独立，则 22 1212 (,)XYN ，即 2 12 22 12 () 2() 22 12 1

32、( )e 2 z X Y fz ，结论：独立正态分 布的和服从正态分布. 推论推论：X与Y相互独立且分别服从正态分布 2 11 (,)N 和 2 22 (,)N ，则其任意非零线 性组合仍服从正态分布，且 2222 1212 (,)aXbYN abab.进一步地， 12 , n XXX相互独立， 2 (,) iii XN ，则 22 111 (,) nnn iiiiii iii a XNaa . 随机变量随机变量的商：的商：设二维随机向量(, )X Y的密度函数为( , )f x y，则 X Z Y 的密度函数为 ( )=( )(, ) Z Z fzFzy f zy y dy . 最大值与最小

33、值：最大值与最小值：设,X Y的分布函数分别为( ),( )F x G x，密度函数分别为( ), ( )f x g x，且X 与Y相互独立，令max , ,min , MX YNX Y，则有 内容内容 M N 分布函数分布函数 ( )( ) ( ) M FzF z G z ( )1 1( )1( ) N FzF zG z 密度函数密度函数 ( )( ) ( )( ) ( ) M fzf z G zF z g z ( )( )1( )( )1( ) N fzf zG zg zF z （3）随机向量函数的数学期望 二维离散型随机向量的数学期望： , (, )( ,) ijij i j EZEg

34、X Yg x yp. . 二维连续型随机向量的数学期望：(, )( , ) ( , )EZEg X Yg x y f x y dxdy . . (, )g X YXY型： , , ( , ), ijij i j x y pX Y EXY xyf x y dxdyX Y 若为离散型 若为连续型 （4）数学期望的进一步性质 （1）对任意两个随机变量,X Y，如果其数学期望均存在，则()E XY存在，且 ()=E XYEXEY 概率论与数理统计 17 （2）设,X Y为任意两个相互独立的随机变量，数学期望均存在，则EXY存在，且 =EXY EXEY 推广：推广： （1） 12 , n X XX是任意

35、n个随机变量，数学期望均存在，则 12n E XXX存 在，且 1212nn E XXXEXEXEX （2）设 12 , n X XX是个相互独立的随机变量，且数学期望均存在，则 12n E X XX存 在，且 1212nn E X XXEX EXEX. 4 4. .随机变量的数字特征随机变量的数字特征 （1）协方差 协方差：cov,X YEXEXYEY 内容内容 概率分布概率分布、密度函数密度函数 协方差协方差 离散型离散型 , iiij P Xx Yyp ,1,2,i j , cov, iiij i j X YxEXyEY p 连续型连续型 ( , )f x y cov,X YxEXyEY

36、 f x y dxdy cov,X YEXYEXEY 定理：定理： （1）cov,X XDX （2）cov,cov,X YY X （3）cov,cov, ,aX bYabX Ya b为任意常数 （4）cov,0,C XC为任意常数 （5） 1212 cov,cov,cov,XX YX YX Y （6）如果X与Y相互独立，则cov,0X Y 推论：推论：设,X Y为任意两个随机变量，如果其方差均存在，则XY的方差也存在，且 2cov,D XYDXDYX Y. 概率论与数理统计 18 2cov,D XYDXDYX Y 特别地，如果X与Y相互独立，则 D XYDXDY. 定理：定理： 设 12 ,

37、n X XX是n维随机向量，如果1,2, i Xin的方差均存在，则对任意实向量 12 , n ， 1 n ii i X 的方差必存在，且 2 111 2cov, nn iiiiijij iiij n DXDXX X . 特别地，如果 12 , n X XX两两独立，则 2 11 nn iiii ii DXDX . （2）协方差矩阵 记 T 12 , n XXXX，其协差阵通常记作DX.对任意实向量 T 12 , n ，有 TT DD XX. 对任意实向量 T 12 , n ， TT 0DDX X. （3）相关系数 , cov, = X Y X Y DXDY ， , 1 X Y 定理定理：设,

38、X Y是一个二维随机向量，,DX DY均存在且为正，则 , 1 X Y 的充要条件是 X与Y具有线性关系，即存在常数0a 及常数b，使得 1P Yaxb. 而且，当0a 时， , 1 X Y ；当0a 时， , 1 X Y . 如果,DX DY均存在且为正，那么X与Y不相关等价以下条件： cov,0X Y ； EXYEXEY； 概率论与数理统计 19 D XYDXDY； , 0 X Y . 5 5. .大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 （1）依概率收敛 定义定义：设 12 , n X X XX是一列随机变量，如果对任意0，恒有 lim0 n n P XX ， 则称 n X依概率收敛

39、依概率收敛到X，记作 P n XX 或lim n n PXX . （2）大数定律 定理定理： 伯努利大数定律伯努利大数定律：设 n 是n重伯努利试验中事件A发生的次数，已知在每次试验中A发生 的概率为01pp，则对任意0，有 lim0 n n Pp n ， 即 P n p n 或lim n n Pp n . . 切比雪夫大数定律：切比雪夫大数定律：设 12 , n 是一列两两不相关的随机变量，它们的数学期望 i E 和方差 i D均存在，且方差有界，即存在常数C，使得1,2, i DC i，则对任意 0，有 11 11 lim1 nn ii n ii PE nn . 推论推论：设 12 , n

40、 是一列独立同分布的随机变量，其数学期望和方差均存在，记 = i E，则对任意0，有 1 1 lim1 n i n i P n . 即 1 1 n P i i n . 概率论与数理统计 20 辛钦大数定律：辛钦大数定律：设 12 , n 是一列相互独立同分布的随机变量，且数学期望存在，记 = i E，则有 1 1 lim1 n i n i P n . （3）中心极限定理 定理：定理：林德伯格-列维 设 12 , n 是一列相互独立同分布的随机变量，且= i E， 2 =0,1,2, i Di则有 2 1 2 1 lime 2 n ti x i n n Pxdt n . 定理：定理：设,01,

41、n Xb n pp则 2 2 1 lime 2 t x n n Xnp Pxdt npq . 四、数理统计的基础知识 1 1. .总体与样本总体与样本 样本与样本分布 总体X的分布函数为 F x，则样本 12 , n X XX的分布函数为： 12 1 , n nni i Fx xxF x ， 称之为样本分布. 特别地，若总体X为连续型随机变量，其密度函数为 f x，则样本的密度函数为 12 1 , n nni i fx xxf x . 若总体X为离散型随机变量，概率分布为 p xP Xx，x取遍X所有可能取值，则样 本的概率分布为 概率论与数理统计 21 121122 1 , n nnnni

42、i px xxP Xx XxXxp x . 常用分布： 设总体X服从正态分布 2 ,N ，则样本密度为 22 12 2 11 1111 ,expexp 2222 n nn i nni ii x fx xxx 总体X为伯努利总体，如果它服从以01pp为参数的伯努利分布，即 1,01P Xp P Xp . 则样本 12 , n X XX的概率分布为 1122 ,1 n n n s s nn P Xi XiXipp ，其 中1 k ikn取 1 或 0，而 12nn siii，它恰等于样本中取值为 1 的分量之总数. 设总体X服从参数为的泊松分布， 12 , n X XX为其样本，则样本的概率分布为

43、 1122 11 12 ,ee ! ! kn is nn n nnk kk kn P Xi XiXiP Xi ii ii ，其中 1 k ikn取非负整数，而 12nn siii. 2 2. .统计量统计量 常用的统计量 统计量统计量 表达式表达式 样本均值样本均值 12 1 =+ n XXXX n 样样 本本 方方 差差 未修正未修正 22 0 1 1 () n i i SXX n 修正修正 222 0 1 1 () 11 n i i n SSXX nn 样本标准差样本标准差 2 1 1 () 1 n i i SXX n 概率论与数理统计 22 样本原点矩样本原点矩 1 1 ,1 n k ki i AXk n 样本中心矩样本中心矩 1 1 () ,1 n k ki i BXXk n 3 3. .常用的统计分布常用的统计分布 （1）分位数 上侧分位数上侧分位数：设随机变量X的分布函数为 F x，对给定的实数(01)，如果实数F 满足P XF，即1 F F或1F F ，则称F为随机变量X的分布的 水平上的上侧分位数. 有关等式： 1 P XF 1 22 1P FXF 推论：