2022年我的高考--椭圆知识点总结 .docx
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1、精品_精品资料_椭圆学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、 椭圆的定义平面内一个动点 P 到两个定点F1、F2 的距离之和等于常数 PF1PF 22aF1F2 ,这个动点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P 的轨迹叫椭圆 .这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意:如 PF1PF2F1F2 ,就动点 P 的轨迹为线段F1F2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 PF1PF2F1F2 ,就动点 P 的轨迹无图形 .可编辑资料 - -
2、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、 椭圆的标准方程1. 当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程:x 2y 2a 2b 21 a222b0 ,其中 cab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程:1 ab0 ,其中 c2a 2b 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2注: 1只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在椭圆的
3、两种标准方程中,都有ab0 和 c2a 2b 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为c,0 , c,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当焦点在 y 轴上时,椭圆的焦点坐标为 0, c , 0, c三、 椭圆的简洁几何性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2椭圆: xa 2y1 a2b 2b0 的简洁几何性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 1)对称性:对于椭圆标准方程
4、x 2y 2a 2b 21 ab0 说明:把 x 换成x 、或把 y 换成y 、或把 x 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y 同时换成x 、y 、原方程都不变,所以椭圆xa 22y1 是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 2)范 围:椭圆上全部的点都位于直线xa 和 yb 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
5、资料_xa , yb .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 3)顶 点: 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 椭圆 xa 22y1 a b 2b0 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1 a,0 , A2 a,0 , B10, b , B2 0,b线段A1 A2, B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,A1A22a ,B1B22b .a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.( 4)离心率:椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作 e2cc .
6、2aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 由于 ac0 ,所以 e的取值范畴是 0e1 . e越接近 1,就 c就越接近 a ,从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22bac越小,因此椭圆越扁.反之,e越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接近可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于 a ,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当 ab 时, c0 ,这时两个焦点重合,图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变为圆,方程为 x 2y2a .x 2y
7、2注:椭圆1的图像中线段的几何特点(如右图):a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1)PF1PF22a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1PF2e.(椭圆的其次定义)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PM 1PM 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PM 1PM 22a 2.c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2)BF1BF2a.OF1OF2c .ABA Ba2b2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
8、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12( 3)A1F1A2F2ac .A1F 2A2F1ac .acPF1ac .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2四、椭圆 xa 2y1 与 y22b 2a 22x1 ab b 20的区分和联系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准方程x 2y 2a 2b 21 ab0y 2x 2a 2b 21ab0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点F1 c,0 , F2 c,0F1 0,c ,F2 0,
9、c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦距F1F22cF1 F22c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_范畴xa , ybxb , ya可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点a,0 , 0, b性质0,a , b,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴长长轴长 = 2a ,短轴长 = 2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率ec 0 ae1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a2准线方程xcyc可编辑资料 - - - 欢迎
10、下载精品_精品资料_焦半径PF1aex0 ,PF2aex0PF1aey0 ,PF2aey0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22注:关于椭圆xay1 与 y2222bax1 a b2b0 的说明:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2相同点 :外形、大小都相同.参数间的关系都有ab0 和 ec 0 ae1 , a 222bc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不同点 :两种椭圆的位置不同.它们的焦点坐标也不相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
11、_规律方法:1、如何确定椭圆的标准方程?任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴.当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式.此时,椭圆焦点在坐标轴上.两个定形条件 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、椭圆标准方程中的三个量 a,b,c 的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆标准方程中,a,b, c 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的外形大小所确定的.分别表示可编辑资料 - -
12、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆的长半轴长、 短半轴长和半焦距长, 均为正数, 且三个量的大小关系为: ab0, ac0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 a 2b 2c 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可借助右图懂得记忆:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显:a,b,c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边, b、c 为两条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直角边.3、
13、如何由椭圆标准方程判定焦点位置椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判定焦点位置的方法是:看x2 , y2 的分母的大小,哪个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分母大,焦点就在哪个坐标轴上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、方程Ax 2By 2C A, B, C均不为零)是表示椭圆的条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax 2By 2x2By 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程 Ax2By2C 可化为1 ,即1,所以只有 A 、B、 C 同号,且 AB可编辑资料 - - - 欢
14、迎下载精品_精品资料_CCCC ABCCCC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,方程表示椭圆.当A时,椭圆的焦点在x轴上.当BA时,椭圆的焦点在y 轴上.B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、求椭圆标准方程的常用方法 : 待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定方程中的参数a, b, c 的值.其主要步骤是 “先定型,再定量 ”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 定义法:由已知条件判定出动点的轨迹是什么图形,然后再依据定义确定方程.6. 共焦点的椭圆标
15、准方程形式上的差异可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2共焦点,就 c 相同.与椭圆 x2y1 ab0 共焦点的椭圆方程可设为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2a 2my 2b2m1 mb 2 ,此类问题常用待定系数法求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 判定曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的依据 : 如把曲线方程中的 x 换成x ,方程不变,就曲线关于y 轴对称. 如把曲线方程中的y 换成y ,方程不变,就曲线关于x 轴对称. 如把曲线方程中的x 、 y 同时换成x 、y ,方
16、程不变,就曲线关于原点对称.8. 如何求解与焦点三角形 PF1F2(P 为椭圆上的点)有关的运算问题?思路分析: 与焦点三角形 PF1F2 有关的运算问题时, 常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理) 、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角形面积公式S PF1F 2PF12PF2sinF1PF2 相结合的方法进行运算解题.将有关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 段 PF1 、PF2 、F1F2, 有 关 角F1PF2F1PF2F1BF2 结 合 起 来 , 建 立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
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