2022年数学归纳法及其应用举例数学归纳法教学设计教案 .docx

《2022年数学归纳法及其应用举例数学归纳法教学设计教案 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学归纳法及其应用举例数学归纳法教学设计教案 .docx（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_第三课时课题数学归纳法 三教学目标一、教学学问点1. 坚固把握数学归纳法的证明步骤,娴熟表达数学归纳法的证明过程.2. 对数学归纳法的熟悉不断深化.二、才能训练要求1. 会用数学归纳法证明与自然数有关的整除性问题或解析几何问题.2. 帮忙同学把握用不完全归纳法发觉规律,再用数学归纳法证明规律的科学思维方法.三、德育渗透目标1. 通过递推公式的探究 ,引导同学学习观看、类比、推测等合情推理方法,提高同学分析、综合、抽象、概括等规律思维才能.2. 通过教证明、教猜想,让同学领悟数学的严谨性和探究精神,培育同学实事求是的科学态度和积极参加的主动精神.3. 培育同学沟通意识 ,合作精神

2、 .培育同学动手操作才能.培育同学表达表达自己解题思路的才能 .教学重点数学归纳法的应用是教学的重点,本节课着重是运用数学归纳法证明整除性问题,证明与自然数 n 有关的几何问题 ,在解析几何中主要是探究递推关系,教会同学思维 ,离开讨论解答问题的思维过程几乎是不行能的.因此在日常教学中 , 特别是解题教学中 ,必需把教学集中在问题解答或解答问题的整个过程上.理清思路是教学的重点,即递推关系的探究发觉、创新等思 维过程的暴露 ,学问形成过程的揭示为教学重点.教学难点用数学归纳法证明整除问题 ,Pk Pk+1 的整式变形是个难点 ,找出它们之间的差异 , 从而打算 n=k 时,Pk做何种变形 .一

3、般的 ,将 n=k+1 时 Pk+1 的整式进行分拆配凑成 Pk的形式,再利用归纳假设和基本领实 .这个变形是难点 .用数学归纳法证明几何中的问题时 ,难点就是在 Pk Pk+1 递推时 ,找出 n=k 到 n=k+1时的递推公式 ,这是关键所在 .要分析增加一条曲线或直线后 ,点、线段、曲线段、平面块在Pk基础上净增多少 ,于是就找出了相应的递推关系 .教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.老师是教学的主导 ,同学是学习的主体 ,如何依据教材内容创设良好的教学情形,引导同学积极主动的参加课堂教学的全过程, 使同学在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中猎取新知,主动建构新学问

4、,这是教学目的 .在教学过程中 ,采纳启示式、谈话式的教学方法,引导同学进行合情推理可以使同学不知不觉的参与教学的全过程 .同学自觉、主动的要求猎取学问与老师向同学灌输学问的成效是截然不同的,启示引导同学 “想”与“说”是符合 “重视学问的产生、进展与深化过程”的现代教学原就的 ,是突破教学难点的有效方法.教具预备 教学过程 .课题导入师前两节课我们已经学习了数学归纳法及其运用.请问：用数学归纳法进行证明时要分哪几个步骤？生分为两步 .第一步 ,验证当 n=n0n0 是命题 Pn成立的最小正整数时 ,命题成立 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次步假设当 n=kkn0时命题成

5、立 ,即 Pk成立,依据这个假设要推出当n=k+1 时,命题也成立 .最终再给一个总结 .师这两步之间的关系是什么？生 这两步缺一不行 .证明白第一步 ,就获得了递推的基础 .但仅靠这一步仍不能说明结论的普遍性 .在第一步中 ,考察使结论成立的最小正整数就足够了.没有必要再考察几个正整 数,即使命题对这几个正整数都成立,也不能保证命题对其他正整数也成立.证明白其次步 ,就获得了递推的依据 .但仅有这一步而没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步的结论与 其次步的结论结合在一起,才能得出普遍性结论 .因此 ,完成一、二两步后仍要作一个总的结论.师 只有这样 ,才能保证递推关系的存在性,才真正是

6、数学归纳法证题.今日我们一起连续讨论解决一些与自然数有关的命题Pn. .讲授新课师学校我们学过 ,假如 a、 b 均为整数 ,有 a=bc,c 也是整数 ,请问 a、b 是何种关系？生 a=bc 说明 a 能被 b 整除 .师能否把它推广到两个多项式上来了？即对于两个多项式A、B 而言 ,什么叫做A能被 B 整除？生对于两个多项式A、B,假如 A=BC ,C 也是多项式 ,那么 A 能被 B 整除.师假如多项式A 能被多项式 C 整除 ,那么 PA 能被 C 整除吗？如 A、 B 都能被 C 整除,A+B,A-B 也能被 C 整除吗？ 其中 P、B 都是多项式 生可以 .也就是假如 A 能被

7、C 整除 ,那么 PA 也能被 C 整除.假如 A、B 都能被 C 整除,那么 AB 也都能被 C 整除 .师请看例 1：用数学归纳法证明x2n-y 2n 能被 x+y 整除 板书 .请问第一步怎么证明了？生当 n=1 时,x2 n-y 2n=x2 -y2=x-y x+y,所以 x-y x+y 能被 x+y 整除 .故 n=1 时命题成立 .师 n=k+1 时,我们要证的目标是什么了.生 x2k +1-y 2k +1能被 x+y 整除 .师归纳假设是什么？n=k+1 时 ,怎样才能凑成归纳假设了？生归纳假设是： 假设 n=k 时 x2k-y 2k 能被 x+y 整除,利用添项去项将 x2k+2

8、-y 2k+2 配成 x2k-y 2k的形式,再用归纳假设.事实上因为x2k+2-y 2k+2=x2x2k-y 2y2k=x2x2k-y 2k+x2 y 2k-y 2y 2k=x2x2k-y 2k+y 2kx2 -y 2,又由于 x2k-y2k 能被 x+y 整除 ,而 x2-y2 也能被 x+y 整除 ,故 x2k+2-y 2k+2 能被 x+y 整除 ,即 n=k+1 时也成立 .板书上述内容 师这里的配凑的意思就是凑成归纳假设x2k-y2k 才行 .如此题变为自然数n 满意什么条件 , xn+yn 才能被 x+y 整除？生甲任意自然数都可以.生乙不对 ,如 n=2 时, x2+y2 就不

9、能被 x+y 整除.师你认为应满意什么条件了？生我试验了一下 ,n=1,3,5 时都可 .我的结论是： n 为奇数时 ,xn+yn 能被 x+y 整除.师你能证明吗？如能,请到黑板上来写.生乙我试试看,写的不对的的方请大家赐予订正.证明： 1当 n=1 时,xn+yn =x+y,它能被 x+y 整除 ,所以 n=1 时命题成立 .2 假设 当 n=k时命题成立, 即 xk+y k 能 被 x+y整除 , 那 么 n=k+1时 ,xk+1+yk+1=xx k+y y k=xxk+yk+y ky- x,由归纳假设知 ,xk+yk 能被 x+y 整除 . xk+1+yk+1 能被 x+y 整除 ,即

10、 n=k+1 时,结论也成立 .由12 知命题对一切正奇数都成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_师请同学们看看生乙的证明是否正确 .生丙第一步是对的 ,其次步是错的 .归纳假设中 k 是正奇数 ,递推时 ,不是 k+1,而是 k+2. 由于 k 为奇数 ,它的后继奇数为 k+2, 而不是 k+1. 同时配凑时 ,yky- x 也不能被 x+y 整除 .它的证明过程是假数学归纳法 .正确的过程是：假设当 n=kk 为正奇数 时,命题成立 ,即 xk+yk 能被 x+y 整除 .当 n=k+2 时,xk+2+y k+2=x2xk+y2yk=x 2xk+yk+y 2yk-x2yk=

11、x2xk+yk+y ky 2-x2= x2xk+yk+y ky+ xy- x.由归纳假设知 ,xk+yk 能被 x+y 整除 ,y+ xy- x也能被 x+y 整除 . x2xk+y k+y ky+ xy- x能被 x+y 整除 ,即 xk+2+y k+2 也能被 x+y 整除 .故对 n=k+2 时也成立 ,即第 k+1 个奇数也成立 .师完全正确；同学们掌声勉励.课堂气氛热闹而不乱 再看例 2：用数学归纳法证明对于任意自然数 n,数 11n+2+122n+1 是 133 的倍数 .你们看如何证明？生板演证明：1当n=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,11n+2+122n

12、+1=113+123=11+1211 2-11 12+122=23 121+144-132=23 23133 能被 133 整除 ,即 n=1 时命题成立 .2假设当 n=k 时命题成立 ,即 11k+2+122 k+1 能被 133 整除 ,133,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n=k+1 时,11k+1+2 +12 2k+1+1 =11 11k+2+12 2122k+1=11 11k+2+12 2k+1+12 2122k+1-11 122k+1=1111k+2+122k+1+12 2k+1144-11=11 11k+2+122k+1+12 2k+1133.由归纳假设知1

13、1k+2+12 2k+1 及 133 都能被 133 整除. 11 k+1+2 +12 2 k+1+1 能被 133 整除,即 n=k+1 时命题也成立 .依据 12, 可知命题对一切自然数都成立.师请同学看看他证明的对不对.众生 齐声说 正确 .生 突然说 第一步的初始值不对 ,其余各步都正确 .由于自然数中包括0,所以第一步应验证 n=0,而不是 n=1. 当 n=0 时,11n+2+12 2n+1=112+121=121+12=133, 故 n=0 时命题成立 .师同学们 ,他说明的对吗？缄默一会儿 ,教室内掌声雷鸣 ,这种宽松和谐的氛围 ,正是我们广大老师所追求的此题第一步证明n=1

14、时命题成立 ,一者运算量较大 ,二者也不符合自然数集的新定义.后一位同学改证n=0, 既便利、削减运算量又科学更严密.一般情形 ,有时为了简化运算常将证明n=1 改证 n=0 或 n=-1,这种技巧称之 “提前起点 ”提,前起点的前提是n 为整数 ,否就递推无法进行.另外 ,利用数学归纳法证明整除问题,由归纳假设 Pk能被 p 整除,证 Pk+1能被 p 整除,也可运用结论： “Pk+1- Pk能被 p 整除Pk+1 能被 p 整除 . ”师请看以下问题：平面内有3 条直线 ,任何两条不平行 ,且又不交于一点 .交点的个数为多少？生 3 个.师 如是 4 条直线 ,任何两条不平行 ,任何三条不

15、过同一点 ,它们的交点个数为多少了？生 6 个.师如直线条数为5,6,7 时了？稍等片刻 生 5 条直线时 ,交点个数有 10 个. 6 条时 ,有 15 个交点. 7 条时 ,有 21 个交点 .师你是怎样运算的了？生 4 条直线时已有 6 个交点 ,第 5 条直线与前四条都相交 ,且又无三线共点 ,故新增加4 个交点 ,故有 6+4=10 个.再增加一条直线时 ,它与前 5 条都相交也无三线共点 ,净增加交点个数为 5 个,故有 10+5=15 个交点.再增加一条直线时 ,它与前 6 条都相交 ,也无三线共点 ,净可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增加交点个数为 6 个,故

16、7 条直线时共有交点个数为15+6=21 个.师同学们 ,假如已有 k 条直线 ,任何两条不平行 ,任何三条直线不共点 ,它们的交点个数为 ak.那么再增加一条直线时 ,交点个数为多少了？生第 k+1 条直线与前 k 条直线都相交 ,且无三线共点 ,故新增加交点个数为k 个.这样 k+1 条直线时有交点个数为ak+1=ak+k.师你们能求出这个数列的通项公式吗？生可以利用逐差求和法.a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4, ,an-an-1=n-1.相加得 a3-a2+a4-a3+ a5-a4+ +an-an-1=2+3+4+ +n-1,即 an-a2=2+3+ +n-1.又 a2=1

17、, an=1+2+3+4+ +n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n n=21n 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_师正确；假如是这样一道命题：平面内有nn2条 直线 ,其中任何两条不平行 ,任何可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三条不过同一点 ,证明交点的个数为fn=nn21 你们能用数学归纳法证明吗？1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_生可以；板书 1 当 n=2 时,两条直线的交点只有一个,f2=时,命题成立 .22-1=1, 因此 ,当 n=22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设当 n=k k 2时 命

18、题成立 ,就是说 ,平面内满意题设的任何k 条直线的交点的个数fk1等于kk-1. 现在来考虑平面内有k+1 条直线的情形 .任取其中的一条直线 ,记为 l. 如图 2 22所示 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 2 2由上述归纳法的假设 ,除 l 以外的其他 k 条直线的交点个数为fk=1kk-1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另外 ,由于已知任何两条直线不平行,所以直线 l 必与平面内其他 k 条直线都相交 有 k 个交点 ;又由于已知任何三条直线不过同一点,所以上面的 k 个交点两两不相同,且与平面内其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

19、_1他的kk-1 个交点也两两不相同, 从而平面内交点的个数是211kk-1+ k=21k k-1+2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= k+1 k+1-1 .2这就是说 ,当 n=k+1 时,k+1 条直线的交点个数为f k+1=依据 12, 可知命题对任何大于1 的正整数都成立 .师写得很具体,也较规范严谨 .1k+1 k+1-1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如平面内有 nn2条 直线 ,其中任何两条不平行 ,任何三条不过同一点 ,线段的条数为 bn ,射线的条数为cn.你们能探求出来吗？ 稍等片刻 生射线的条数为cn=2n.线段的条数要找递推

20、规律.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=2 时,b2=0.当 n=3 时,第三条直线与前两条直线都相交,由题设知 ,新增加三条线段 , 其中原有的两条射线各自分出一条线段,而新增的两个交点之间又有一条线段,故 b3=b2+3.当 n=4 时,第四条直线与前三条直线都相交,新增加三个交点 ,而每个交点将原先的线段或射线一分为二 ,即增加三条线段,又第四条直线上的三个交点将直线分为四段, 其中有两条线段 , 故b4=b3+3+2. 依此类推 ,当有 k 条直线时线段条数为bk,再增加一条直线 ,它与前 k 条直线都相交 , 且无三线共点 ,这样原先的 k 条直线上各增加一条线

21、段,而第 k+1 条直线上有 k 个点 ,分为 k+1 条线段或射线 ,其中有 k-1 条线段 ,这样新增加线段的条数为k+k-1=2 k-1,所以 bk+1=bk+2k-1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用逐差求和法可得bn - b2=3+5+7+ +2n-3, 又 b2=0, bn n232n32nn2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即符合条件的线段的条数为bn=nn-2n 2.师分析及求解过程都是正确的.如将问题变为：这n 条直线将平面分成的平面区域的块数为gn,求 gnn1.生利用上述的思想方法.n=1 时,g1=2 由于一条直线将平面分成了两部

22、分. n=2 时,新增加一条直线就等于新增加2 条线段或射线 .一条线段或射线将原先平面区域一分为二,即新一块平面区域这样就新增加两块平面区域,即 g2=g1+2.n=3 时,第三条直线与前两条都相交 ,这第三条直线有 3 条线段或射线 ,新增加的平面区域有 3 块,这样 g3=g2+3.依此类推 ,设 k 条直线将平面分成 gk块平面区域 ,第 k+1 条直线与前 k 条都相交且无三线共点 ,这样第 k+1 条直线上新增加 k 个交点 ,分成 k+1段线段或射线 ,每段将原先的平面区域一分为二 ,即净增一块 ,共计增加 k+1块, gk+1=g k+ k+1.可编辑资料 - - - 欢迎下载

23、精品_精品资料_由逐差求和法知 ,g n- g1=2+3+4+ n-1+ n= n1 n2.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ gnn 2n222n2n2.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_师上述各个变题 ,利用数学归纳法完全可以证明,大家说说看 ,关键是什么？生关键是找出递推关系.师再看一个变题：平面内有n 个圆 ,任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一点 ,求证：这 n 个圆将平面分成 f n= n2-n+2 个部分 .如何证明了？生证明： 1 当 n=1 时,一个圆将平面分成两个部分,且 f1=1-

24、1+2=2. 因此,n=1 时命题成立 .2假设 n=k 时命题成立 ,即 k 个圆把平面分成 fk=k2-k+2 个部分 ,就 n=k+1 时,在 k+1 个圆中任取一个圆C,剩下的 k 个圆将平面分成 fk个部分 ,而圆 C 与k 个圆有 2k 个交点 ,这 2k 个交点将圆C 分成 2k 段弧 ,每段弧将它所在的平面部分一分为二,故共增加了 2k 个平面部分 ,因此,fk+1= fk+2 k=k2-k+2+2k=k+1 2-k+1+2. n=k+1 时命题也成立 .由12 知对一切 nN *,命题都成立.师用数学归纳法证明这类几何问题,关键是弄清从k k+1 的变化规律 ,也就是找出新增

25、加的相应元素的个数. .课堂练习一课本练习二补充练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_某一种运算装置 ,有一数据入口 A 和一个运算出口 B,依据某种运算程序 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当从 A 口输入自然数1 时,从 B 口得到11,记为 f1=;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当从 A 口输入自然数 nn2时,在 B 口得到的结果 f n是前一结果 fn-1的2n112n13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_倍.试问 :1 当从 A 口输入自然数 2 和 3 时,从 B

26、口分别得到什么数.试猜想 fn的关系式 ,并证明你的结论 .2要想从 B 口得到 2303 的倒数 ,就应从 A 口输入什么样的自然数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:1 由已知得f n2n12n11 f n 31 n 2n, N *.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=2 时,当 n=3 时,f 21 ;15f 31 .35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_猜想 f n 2n11 2n1.以下用数学归纳法进行证明:1可编辑资料 - - - 欢迎

27、下载精品_精品资料_当 n=1 时,f 1,猜想成立 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 n=kk2时 猜想成立 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f k2 k1,1 2 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么当n=k+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时, f k12l12k3f k 2k12 k32k11 2k12 k11 2 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k111 2k,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

28、- 欢迎下载精品_精品资料_即当 n=k+1 时,猜想也成立 .综合 ,对一切 n N*,猜想f n2 n11 2n均成立 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2要想从 B 口得到 2303 的倒数 ,即即 4n2-1=2303, 4n2=2304. n2=576.n=24,即从 A 口输入自然数 24 即可 . .课时小结2n11 2n11,2303可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_本节课我们主要学习了运用数学归纳法证明整除问题和几何中的问题, 运用从特别到一般的探究、归纳、猜想及证明的思维方式进行求解.在证明整除

29、时 ,为了得到相等的式子 ,同时添加一些项 ,再去掉一项 ,用数学归纳法证明几何问题,证题的关键是弄清增加一条直线能够增加多少个不同的交点,解此类问题常运用几何图形的性质,可留意加以运用 . .课后作业课本 P685,6,7.板书设计 2.1.3 数学归纳法 三1. 假如 a 能被 c 整除 ,那么 pa 也能被 c 整除.假如 a、b 能被 c 整除 ,那么 a+b 或 a-b 也能被 c 整除a、 b、c、p 是多项式 .2. 几何中问题用数学归纳法.问题 1：求证： x2n-y 2n 能被 x+y 整除 .变题： n 满意什么条件时 ,xn+yn 能被 x+y 整除？问题 2：对于任意的自然数n,数 11n+2+122n +1 是 133 的倍数 .问题 3:平面内有 nn2条 直线 ,其中任何两条不平行 ,任何三条不过同一点 ,证明交点的个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数为 f n变题 1.变题 2.变题 3.n n1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载