2022年文科立体几何知识点方法总结高三复习 2.docx

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1、精品_精品资料_立体几何学问点整理一直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行方法二：用面面平行实现./l /l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l方法三：用平面法向量实现.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符号表示：l如 n 为平面的一个法向量, nl 且 l,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 线面相交就 l /.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 面面平行：lA方法一：用线线平行实现.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符号表示：nll / l 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 线在面内l二平行

2、关系：符号表示：用线面平行实现.lm/ m l , ml , m/且相交且相交/方法二：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.线线平行：方法一：用线面平行实现.lm /ml , ml/且相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ll /lml / mmm三垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：用面面平行实现.llACmlABl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l/ACABA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_llmm/ mAC , AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

3、资料_方法三：用线面垂直实现.方法二：用面面垂直实现.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 l, m,就 l / m .ml可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法四：用向量方法：l如向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合,就 l / m .CABl m,l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 线面平行：方法一：用线线平行实现.l / m2. 面面垂直：方法一：用线面垂lC直实现.mAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m l /l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lll(1) 定义： 直线 l 上任取一点 P（交点除

4、外） ,作 PO 于O,连结 AO ,就 AO 为斜线 PA在面 内的射影, PAO 图中 为直线 l 与面 所成的角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：运算所成二面角为直角.P3. 线线垂直：O方法一：用线面垂直实现.A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lllm mm(2) 范畴：0 ,90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：三垂线定理及其逆定理.PPOlOAlPAlAO当0时, l或 l /当90 时, l(3) 求法：方法一：定义法.步骤 1：作出线面角,并证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l步骤 2：解三角形

5、,求出线面角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法三：用向量方法：如向量 l 和向量 m 的数量积为 0,就 lm .三夹角问题.一 异面直线所成的角：三二面角及其平面角1定义：在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作l 的垂线（射线） m、n,就射线 m 和 n 的夹角为二面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 范畴：0 ,90 l的平面角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 求法：方法一：定义法.步骤 1：平移,使它们相交,找到夹角.Pn

6、 mPlAOn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_步骤 2：解三角形求出角. 常用到余弦定理 余弦定理：(2) 范畴：(3) 求法：0 ,180 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosac222abc方法一：定义法.步骤 1：作出二面角的平面角三垂线定理 ,并证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2abb运算结果可能是其补角方法二：向量法.转化为向量的夹角运算结果可能是其补角：步骤 2：解三角形,求出二面角的平面角.方法二：截面法.步骤 1：如图,如平面POA 同时垂直于平面和,就交线 射线 AP 和

7、AO 的夹角就是二面角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosAB ACABAC步骤 2：解三角形,求出二面角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 线面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P和等面积法.换点法 A2线面距、面面距均可转化为点面距.O3异面直线之间的距离方法三：坐标法 运算结果可能与二面角互补.方法一：转化为线面距离.mn1n2n如图, m 和 n 为两条异面直线, n且 m /,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_步骤一：运算cosnnn1 n2就异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直线m 与平面可编辑资料 - -

8、- 欢迎下载精品_精品资料_12n1n2之间的距离.方法二：直接运算公垂线段的长度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_步骤二： 判定与四距离问题.n1 n2的关系, 可能相等或者互补.方法三：公式法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BaAm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1点面距.方法一：几何法.Pc dnDmbC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图, AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段,OA就异面直线 m 和 n 之间的距离为：m/ m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

9、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_步骤 1：过点 P 作 PO于 O,线段 PO 即为所求.步骤 2：运算线段 PO 的长度. 直接解三角形.等体积法d c 2a 2b 22ab cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA1CDC1BB1高考题典例考点 1点到平面的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 如图,正三棱柱ABCA1B1C1 的全部棱长都为2 , D 为 CC1 中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求证：AB1 平面A1BD .（）求二面角AA1DB 的大

10、小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求点 C 到平面A1BD 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答过程 （）取 BC 中点 O ,连结 AO ABC 为正三角形,AO BC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正三棱柱ABCA1 B1C1 中,平面 ABC 平面BCC1 B1 ,AA1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AO 平面的中点,BCC1B1 连结B1O BD ,B1O ,在正方形AB1 BD BB1C1C 中, O, D 分

11、FCODC1别 为 B C,C 1C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在正方形ABB1 A1 中,AB1 A1B ,AB1 平面A1BD BB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）设AB1 与A1B 交于点 G ,在平面A1BD 中,作GF A1 D于 F, 连 结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AF ,由（）得AB1 平面A1 BD AF A1 D , AFG 为二面角AA1 DB的平面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

12、- - 欢迎下载精品_精品资料_在 AA1 D 中,由等面积法可求得AF4 5 ,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 AG1AB12 ,sinAFGAG210 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2AF4 545可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以二面角AA1DB 的大小为arcsin10 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（） A1BD 中,BDA1D5,A1 B22,S A1 BD6 , S BCD1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在正三棱柱中,A1 到平面BCC1B1 的距离为3 可编辑资料 - - - 欢迎

13、下载精品_精品资料_设点 C 到平面A1 BD 的距离为 d 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由VA BCDVC A BD ,得 1 S31 Sd ,3S BCD2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 BCD33 A1BDdS A1BD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1点 C 到平面 A BD 的距离为2 2考点 2异面直线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 已知三棱锥 SABC ,底面是边长为42 的正三角形,棱SC 的长为 2,且垂直于底面 . E、D 分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 BC

14、、AB的中点,求 CD 与 SE 间的距离 .解答过程 ： 如下列图,取 BD 的中点 F,连结 EF , SF,CF ,EF 为 BCD 的中位线,EF CD ,CD 面 SEF ,CD到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离. 又线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的距离,设其为 h,由题意知, BC14 2 ,D 、E、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CD26, EFCD26 , DF2, SC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

15、 - - 欢迎下载精品_精品资料_VS CEF11EFDFSC116 323222233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 RtSCE中, SESC2CE 22 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 RtSCF 中, SFSC2CF 2424230可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又EF6,SSEF3由于 VCSEFVS CEF1S SEF3h ,即 13 h32323,解得 h33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 CD 与 SE 间的距离为 23 .3考点 3直线到平面的距离可编辑

16、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 如图,在棱长为 2 的正方体AC1 中, G 是AA1 的中点,求 BD 到平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路启发 ：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.D1CO11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答过程 ：解析一BD 平面GB1D1 ,A1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BD 上任意一点到平面GB1D1 的距离皆为所求,以下求HG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 O 平面B1D1GB1D1 的距离 ,A1C1 , B1D1A1

17、 A,B1D1DCO平面 A1 ACC1 ,AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又B1D1平面 GB1D1平面 A1ACC1GB1 D1 ,两个平面的交线是O1G ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作 OHO1 G 于 H ,就有 OH平面GB1 D1,即 OH 是 O 点到平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 O1OG 中,S O1OG11O1OAO222 .22可编辑资料 -

18、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 S O1OG1 OH 21O1G23 OH2 ,OH26 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 BD 到平面GB1D126的距离等于.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析二BD 平面GB1D1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BD 上任意一点到平面GB1D1 的距离皆为所求,以下求点B 平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

19、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 B 到平面GB1D1 的距离为 h,将它视为三棱锥BGB1D1 的高,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_VB GB1D1VD1GBB1,由于SGB 1D112236,2V D1 GBB1112224,323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h42 6 ,63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 BD 到平面GB1D126的距离等于.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结 ：当直线与平面平行时, 直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距

20、离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点, 转化为点面距离 .本例解析一是依据选出的点直接作出距离.解析二是等体积法求出点面距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点 4异面直线所成的角例 4 如图,在 RtAOB 中,OAB,斜边 AB64 Rt AOC可以通过 Rt AOB 以直线 AO 为轴旋转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到,且二面角 BAOC 的直二面角D 是 AB 的中点（ I）求证：平面 COD平面 AOB.（ II）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小解答过程 ：（ I）由题意, COAO ,

21、 BOAO , BOC 是二面角 BAOC 是直二面角,COBO ,又AOBOO,CO平面 AOB,又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOB（ II）作 DEOB ,垂足为 E ,连结 CE （如图）,就 DE AO ,CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角ADzOEB AC2D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 RtCOE 中, COBO2 , OE1 BO1 ,22CECOOE5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 DE1 AO3 在 RtCDE 中,

22、tanCDECE515 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arctanDE33OBy15 xC3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结 ： 求异面直线所成的角经常先作出所成角的平面图形,作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上挑选“特殊点” ,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二.补形法：把空间图形补成熟识的几何体,其目的在于简单发觉两条异面直线间的关系,如解析三 .一般来说, 平移法是最常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特殊留意异面直线所成的

23、角的范畴：考点 5直线和平面所成的角例 5 . 四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC底面 ABCD 已知 ABC0,.245 ,AB2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BC22 ,SASB3 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明 SABC .（）求直线 SD 与平面 SAB所成角的大小解答过程：（） 作 SO BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC DAB,得 SO 底面 ABCD 由于 SASB,所以 AOBO ,

24、CB底面AS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 ABC45, 故A O B为 等 腰 直 角 三 角 形 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AO BO,由三垂线定理,得SA BC （）由（）知SA BC ,依题设 AD BC ,DCOBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 SA AD ,由ADBC2 2 ,SA3 ,AO2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 SO1 , SD11 SA

25、B的面积 S11 ABSA221 AB2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连结 DB ,得DAB 的面积 S21 AB AD222sin1352可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 D 到平面 SAB的距离为 h ,由于VD SABVS ABD ,得 1 h S1 SO S ,解得 h2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 SD 与平面 SAB所成角为,就sinh222 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,直线 SD与平面 SBC所成的我为SDarcsin111122 11可

26、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结 ：求直线与平面所成的角时,应留意的问题是（1 ）先判定直线和平面的位置关系.（ 2）当直线和平面斜交时,常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角,证明论证作出的角为所求的角,运算常用解三角形的方法求角,结论点明直线和平面所成的角的值.考点 6二面角例 6 如图,已知直二面角PQ, APQ , B, C, CACB ,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BAP45 ,直线 CA 和平面所成的角为 30 （ I）证明 BC PQPAQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II）求二面角 BACP 的大小B可编辑资料 -

27、 - - 欢迎下载精品_精品资料_过程指引 ：（ I）在平面内过点 C 作 CO PQ 于点 O ,连结 OB CHPAQBO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于,PQ ,所以 CO , 又由于 CACB ,所以 OAOB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而BAO45 ,所以ABO45 ,AOB90 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 BO PQ ,又 CO PQ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 PQ 平面 OBC 由于 BC平面 OBC ,故 PQ BC （ II）由（

28、 I）知, BO PQ ,又 ,PQ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BO,所以 BO 过点 O 作 OH AC 于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知,BH AC 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BHO 是二面角 BACP 的平面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由（ I）知, CO ,所以CAO 是 CA 和平面所成的角,就CAO30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不妨设 AC2 ,就 AO3 , OHAO sin 303 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

29、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 RtOAB 中 ,ABOBAO45, 所 以B OA O3 , 于 是 在 Rt BOH中 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t a n BHOBO3OH322故二面角 BACP 的大小为 arctan2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结 ：此题是一个无棱二面角的求解问题. 解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,补形构造几何体发觉棱.解

30、法二就是利用平面对量运算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面对量运算的方法求出二面角的大小.考点 7利用空间向量求空间距离和角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 如图,已知ABCDA1B1C1D1 是棱长为 3的正方体,D1A11CB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 E 在 AA 上,点 F 在 CC 上,且AEFC1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（ 1）求证：11FEE, B, F, D1 四点共面.M2DA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如点 G 在 BC 上

31、, BG,点 M 在 BB1 上, GM BF ,3CH垂 足 为GB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_H ,求证： EM 平面 BCC1B1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）用表示截面EBFD 1 和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小,求tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过程指引 ：（ 1 ）如图,在DD1上取点 N ,使 DN1,连结 EN , CN ,D1A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 AEDN1 , CFND12 B1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精

32、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 AE DN , ND1 CF,所以四边形 ADNE , CFD 1N 都为平行四FNE M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_边形从而 EN AD ,FD1 CN DAH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 AD BC,所以 EN BC,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此CGB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推知 CN BE ,从而FD1 BE因此,E, B, F, D1 四点共面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

33、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如图, GM BF ,又 BM BC ,所以BGMCFB ,BC23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BMBG tan BGMBGtanCFBBG1 CF32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 AE BM ,所以 ABME 为平行四边形,从而AB EM 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 AB 平面BCC1B1 ,所以 EM 平面BCC1B1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）如图,连结 EH 由于 MH BF,EM BF,所以 BF 平面 EMH ,得 EHBF于是 EHM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_