2022年整式的加减及经典例题 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料 欢迎下载整式及整式的加减要点梳理及经典例题一、整式的有关概念1单项式（1）概念：留意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系,例如：x 可以看2成1 x ,所以 x 是单项式；而 2 表示 2 与 x 的商,所以 x 不是单项式,凡是分母中含有字2 2 x 2母的就肯定不是单项式 . （2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 . 例如：1x y 的系数是 2 1；2 22 r 的系数是 2 .留意：单项式的系数包括其前面的符号；当一个单项式的系数是 1 或 1时,“1”2 3通常省略不写,但符号不能省略 . 如：xy a

2、 b c等； 是数字,不是字母 . （3）次数：一个单项式中,全部字母指数的和叫做这个单项式的次数 . 3 2留意：运算单项式的次数时,不要漏掉字母的指数为 1 的情形 . 如 2xy z 的次数为5 2 3 21 3 2 6 ,而不是 5；切勿加上系数上的指数,如 2 xy 的次数是 3,而不是 8；2 x y的次数是 5,而不是 6. 2多项式（1）概念：几个单项式的和叫做多项式 的运算法就 . . 其含义是：必需由单项式组成；表达和（2）项：在多项式中,每一个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫常数项；一个 多项式含有几 个单项式 就叫几项式 . 例如：2 x 23 y 1 共含 有

3、有三项,分 别是2 22 x , 3 , 1,所以 2 x 3 y 1 是一个三项式 . 留意：多项式的项包括它前面的符号,如上例中常数项是 1 ,而不是 1. （3）次数：多项式中,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数 . 留意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆,而误认为多项式的次数是各项次数之和 . 例如：多项式 2 x y 2 23 x y 45 xy 中,22x y 的次数是 4,2 23x y 的次数是 5,45xy 2的次数是 3,故此多项式的次数是 5,而不是 4 5 3 12 . 3整式：单项式和多项式统称做整式 . 4降幂排列与升幂排列（1）降幂排列： 把一个多项式

4、按某一个字母的指数从大到小的次序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列 . （2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的次序排列起来叫做把这个多项式按名师归纳总结 这个字母的升幂排列. 第 1 页,共 8 页留意： 降（升） 幂排列的依据是： 加法的交换律和结合律；把一个多项式按降（升）幂重新排列,移动多项式的项时,需连同项的符号一起移动；在进行多项式的排列时,要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式2 xyx4y432 3x y23 x y 按 x 的升幂排- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 列为：y42 xy2 33 x y23 x y

5、学习资料欢迎下载4 y2 3 x y3xy223 x y4 x . 4 x ；按 y 的降幂排列为：二、整式的加减1同类项：所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项 . 留意：同类项与其系数及字母的排列次序无关 . 例如：2a b 与 2 33b a 是同类项；而 3 22 3 3 22a b 与 5a b 却不是同类项,由于相同的字母的指数不同 . 2合并同类项（1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项 . 留意：合并同类项时,只能把同类项合并成一项,不是同类项的不能合并,如2a3 b5ab 明显不正确；不能合并的项,在每步运算中不要漏掉. （2）法就：合并同类

6、项就是把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数保持不变 . 留意： 合并同类项,只是系数上的变化,字母与字母的指数不变,不能将字母的指数相加； 合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法安排律；两个同类项合并后的结果与原先的两个单项式仍是同类项或者是0. 3去括号与填括号（1）去括号法就：括号前面是“ ” ,把括号和它前面的“ ” 去掉,括号内的各项都不变号；括号前面是“ ” ,把括号和它前面的“ ” 去掉,括号内的各项都转变符号 . 留意：去括号的依据是乘法安排律,当括号前面有数字因数时,应先利用安排律运算,切勿漏乘；明确法就中的“ 都” 字,变符号时,各项都变；如不变符号,

7、各项都不变 . 例如：a b c a b c a b c a b c ；当显现多层括号时,一般由里向外逐层去括号,如遇特别情形,为了简便运算也可由外向内逐层去括号 .（2）填括号法就：所添括号前面是“ ” 号,添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“ ” 号,添到括号内的各项都转变符号 . 留意：添括号是添上括号和括号前面的“ ” 或“ ” ,它不是原先多项式的某一项的符号“ 移” 出来的；添括号和去括号的过程正好相反,添括号是否正确,可用去括号来检验 . 例如：abcabc;abcabc.4整式的加减整式的加减实质上是去括号和合并同类项,其一般步骤是：名师归纳总结 （1）假如有括号,那么先

8、去括号；（2）假如有同类项,再合并同类项. 第 2 页,共 8 页留意：整式运算的结果仍是整式. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料 欢迎下载经典例题透析类型一：用字母表示数量关系1填空题：1香蕉每千克售价 3 元, m 千克售价 _元；2温度由 5上升 t后是 _；3每台电脑售价 x 元,降价 10后每台售价为 _元；4某人完成一项工程需要 a 天,此人的工作效率为 _；思路点拨 ：用字母表示数量关系,关键是懂得题意,抓住关键词句,再用适当的式子表达出来；举一反三：变式 某校同学给“ 期望学校” 邮寄每册元的图书240 册,如每册图书的邮费为

9、书价的 5,就共需邮费_元；类型二：整式的概念2指出以下各式中哪些是整式,哪些不是；1 x1；2a2；3 ；4S R 2； 5；6总结升华 ：判定是不是整式, 关键是明白整式的概念,留意整式与等式、 不等式的区分,等式含有等号,不等式含有不等号,而整式不能含有这些符号；举一反三：变式 把以下式子按单项式、多项式、整式进行归类；x 2y,a b,xy25, 29, 2ax9b5, 600xz,axy, xyz1,；分析 ：此题的实质就是识别单项式、多项式和整式； 单项式 中数和字母 、字母和字母之间必需是相乘 的关系,多项式必需是几个单项式的和的形式；答案： 单项式有： x 2y, 29,600

10、xz,axy 多项式有：ab,xy 25,2ax9b5,xyz 1 整式有： x 2y,ab,xy 2 5, 29,2ax9b5,600xz ,axy,xyz名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料 欢迎下载1；类型三：同类项3如与是同类项,那么a,b 的值分别是（）（A）a=2, b=1；（ B）a=2, b=1；（C） a=2, b= 1；（ D）a=2, b=1；思路点拨 :解决此类问题的关键是明确同类项定义,要留意同类项与系数的大小没有关系；即字母相同且相同字母的指数相同,解析 ：由同类项的定义可得：a1=

11、 b,且 2a+b=3,解得 a=2, b= 1,应选 A；举一反三：变式 在下面的语句中,正确的有 x2yz 与 zx2y 是同类项； 1 与a 2b3 与a 3b 2 是同类项；是同类项；字母相同的项是同类项；A、1 个B、2 个a3bC、 3 个D、4 个2,3,b 的次数解析 ：中a 2b 3 与2 所含的字母都是a,b,但 a 的次数分别是分别是 3,2,所以它们不是同类项；中所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,所以x 2yz 与 zx 2y 是同类项；不含字母的项 常数项 都是同类项,正确,依据可知不正确；应选 B；类型四：整式的加减4化简 mn（ m+n）的结果是（）（A）0

12、；（B）2m；（C） 2n；（D）2m2n；思路点拨： 按去括号的法就进行运算,括号前面是“ ” 号,把括号和它前面的“ ”号去掉,括号里各项都转变符号；解析：原式 =m nmn=2n,应选（ C）；举一反三：变式 运算： 2xy+3xy=_；分析： 按合并同类项的法就进行运算,指数不变；留意不要显现 5x 2y 2 的错误；把系数相加所得的结果作为系数,字母和字母的答案： 5xy；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5（化简代入求值法）学习资料欢迎下载,求代数式 5x2y2xy23xy 2xy已知 x,y5x2y2x

13、y2 思路点拨： 此题直接把x、y 的值代入比较麻烦,应先化简再代入求值；解析 ：原式 5x2y2xy23xy2xy 5x2y2xy2 5xy ；当 x,y时,原式 5总结升华： 求代数式的值的第一步是“ 代入” ,即用数值替代整式里的字母；其次步是“ 求值”,即依据整式中指明的运算,运算出结果； 应留意的问题是： 当整式中有同类项时,应先合并同类项化简原式,再代入求值；举一反三：变式 1 当 x0,x,x-2 时,分别求代数式的 2x 2x1 的值；解：当 x0 时, 2x 2x 12 0 201 1；当 x时, 2x 2x12；当 x-2 时, 2x 2x12 （ -2）2（ -2） 12

14、 4+2111；总结升华： 一个整式的值,是由整式中的字母所取的值确定的,字母取值不同, 一般整式的值也不同； 当整式中没有同类项时,直接代入运算, 原式中的系数、指数及运算符号都不转变；但应留意,当字母的取值是分数或负数时,代入时,应将分数或负数添上括号；变式 2 先化简,再求值；32x2y3xy2xy2 3x2y,其中 x,y 1；23x2y 12解： 32x2y 3xy2xy23x 2y6x2y 9xy2xy6x2y9xy2 xy23x2y 9x2y10xy2； 1 10当x, y 1 时,原式9；总结升华 ：解题的基本规律是先把原式化简为9x2y10xy2,再代入求值,化简降低了运算难

15、度,使运算更加简便,表达了化繁为简,化难为易的转化思想；变式 3 求以下各式的值；名师归纳总结 12x2x1,其中 x第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料 欢迎下载22mn 3m32nmn,其中 mn2,mn 3；解析 ：1 2x2x1 2x2x1 x2x3x234x24 当 x时,原式 44945；2 2mn 3m32nmn 2mn6m6n 3mn 5mn6mn 当 mn2,mn 3 时 原式 5 36 2 27；类型五：整体思想的应用6已知 x2x 3 的值为 7,求 2x22x3 的值；思路点拨 ：该题解答的技巧在于先

16、求 体思想；x2x 的值,再整体代入求解,表达了数学中的整解析： 由题意得 x 2x37,所以 x 2x4,所以 2x 2 x8,即 2x 22x8,所以2x 22x3835；总结升华 ：整体思想就是在考虑问题时,不着眼于它的局部特点,而是将具有共同特点的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法；运用这种方法应从宏观上进行分析,抓住问题的整体结构和本质特点,全面关注条件和结论,加以讨论、解决,使问题简洁化；在中考中该思想方法比较常见,特别在化简题中常常用到；举一反三：变式 1 已知 x2x 10,求代数式x32x2 7 的值；分析： 此题由已知条件无法求出x 的值,故考虑整体代入；解析： x2

17、x10, x21x,px3x32x27x1x21x7xx22 2x7 -x2-x-5（ -x2-x+1）-6 =6；变式 2 当 x1 时,代数式px3qx1 的值为 2003,就当 x 1 时,代数式qx 1 的值为 A、 2001B、 2002C、 2003D、2001 分析 ：这是一道求值的挑选题,明显 求的值与已知值之间的关系；p,q 的值都不知道,认真观看题目,不难发觉所解析： 当 x1 时, px3qx1pq12003,而当 x 1 时, px3qx1 pq1,可以把 pq 看做一个整体,由pq1 2003 得 pq2002,于是 pq p名师归纳总结 q 2002,所以原式200

18、21 2001；应选 A ；21,就以下代数式中化简结果第 6 页,共 8 页变式 3 已知 A 3x32x 1,B3x22x1,C2x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为 3x37x22 的是 学习资料欢迎下载A、AB2C B、A B2C C、A B2C D、A B2C 分析 ：将 A, B,C 的式子分别代入 A ,B,C,D 四个选项中检验,如：A B2C3x 32x13x 22x122x 213x 32x13x 22x1 4x 223x 3 7x 22；故选 C；答案 ：C 变式 4 化简求值；13abc8abc7abc4a bc,其中 b2

19、2已知 ab2,求 2abab9 的值；分析 ：1常规解法是先去括号,然后再合并同类项,但此题可将 ab c,abc 分别视为一个“ 整体” ,这样化简较为简便；2如想先求出 a,b 的值,再代入求值,明显行不通,应视 ab 为一个“ 整体” ；解析 ：1原式 3abc7ab c 8abc4a bc 4abc4abc 4a 4b4c4a4b 4c 8b；由于 b2,所以原式8 2 16；2原式 2ab a b9 ab9 由于 ab2,所以原式 2911；类型六：综合应用7已知多项式3ax2 2x19x26x7的值与 x 无关,试求 5a 22a23a4的值；思路点拨 ：要使某个单项式在整个式子

20、中不起作用,一般是使此单项式的系数为 0 即可 . 解析： 3ax 2 2x19x 26x73ax 2 6x39x 26x73a9x 24；由于原式的值与 又由于 5a 22ax 无关,故 3a90,所以 a3；23a45a 22a 26a83a 26a8,所以当 a3 时,原式 3 326 3837；总结升华 ：解答此类题目肯定要弄清题意,明确题目的条件和所求,当题目中的条件或所求发生了变化时,解题的方法也会有相应的变化；举一反三：变式 1当 ax 0为何值时,多项式 3ax 2 2x19x 26x7的值恒等为 4；解析： 3ax 2 2x19x 26x73ax 2 6x39x 26x73a

21、9x 24；由于 3a9x 244,所以 3a9x 20；又由于 x 0,故有 3a90；即 a 3,所以当 a3 时,多项式 3ax 22x19x 26x 7的值恒等于 4；变式 2当 a3 时,多项式 3ax 22x19x 26x7的值为多少？解析： 3ax 2 2x19x 26x73ax 2 6x39x 26x7 3a9x 24,当 a 3 时,原式 3 39x 244；8已知关于 x 的多项式 a 1x 5x |b2|2xb 是二次三项式,就 a _,b名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料 欢迎下载_；分析 ：由题意可知 a10,即 a1,|b2|2,即 b 4 或 0,但当 b0 时,不符合题意,所以 b 4；答案 ：1, 4 举一反三：变式 如关于 的多项式：,化简后是四次三项式,求 m,n 的值答案： m=5,n=-1 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页