2022年概率论与数理统计知识点总结4 .docx

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1、_精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -第 1 章 随机大事及其概率（1）排列n P mm .从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数mn .组合公式Cn mm .从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数n .mn加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n （2）加法某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,其次种方法可由 n 种方法来完成,就这件事可由m+n 种方法来完成；和乘法原乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）： m n 理某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,其次个（3）一些 常见排列步骤可由 n 种

2、方法来完成,就这件事可由 m n 种方法来完成；重复排列和非重复排列（有序）对立大事（至少有一个）次序问题（4）随机 试验和随机大事假如一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果 不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果,就称这种试验为随机试验；试验的可能结果称为随机大事；在一个试验下,不管大事有多少个,总可以从其中找出这样一组事 件,它具有如下性质：每进行一次试验,必需发生且只能发生这一组中的一个大事；（5）基本 大事、样本空间和 大事任何大事,都是由这一组中的部分大事组成的；这样一组大事中的每一个大事称为基本领件,用来表示；基本领件的全体,称为试验的样本空间,用表

3、示；一个大事就是由中的部分点（基本领件）组成的集合；通常用大写字母 A,B,C, 表示大事,它们是的子集；为必定大事,. 为不行能大事；不行能大事（ .）的概率为零,而概率为零的大事不肯定是不行能事 件；同理,必定大事（ ）的概率为 1,而概率为 1 的大事也不肯定 是必定大事；（6）大事关系： 第 1 页,共 28 页 假如大事 A 的组成部分也是大事B 的组成部分,（A发生必有大事B 发生）：AB假如同时有AB,BA,就称大事 A 与大事 B 等价,或称 A等于 B：A=B；的关系与运算A、B 中至少有一个发生的大事：AB,或者 A+B；_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ 属于 A 而不属

4、于 B 的部分所构成的大事,称为A 与 B 的差,记为A-B,也可表示为 A-AB或者AB,它表示 A 发生而 B 不发生的大事； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -A、B同时发生： AB,或者 AB；AB=.,就表示 A 与 B 不行能同时发生,称大事 相容的；A 与大事 B 互不相容或者互斥；基本领件是互不-A 称为大事 A 的逆大事,或称A 的对立大事,记为A ；它表示A不发生的大事；互斥未必对立；运算：结合率： ABC=ABC A BC

5、=ABC 安排率： AB C=ACBC A BC=ACBC 德摩根率：i1A ii1A iABAB,ABAB设为样本空间,A 为大事,对每一个大事A 都有一个实数PA ,如满意以下三个条件：1 0 PA 1,（7）概率2 P =1 A ,A , 有3对于两两互不相容的大事的公理化定义PA iP A ii1i1常称为可列（完全）可加性；就称 PA为大事 A 的概率；（8）古典11,2n,n =1 n；Pm2 P1P2P设任一大事 A ,它是由1,2m组成的,就有概型PA =12mP1P2mA所包含的基本领件数n基本领件总数如随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称,（9）几何 概型

6、（ 10）加 法公式同时样本空间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述,就称此随机试验为几何概型；对任一大事A,PA LA；其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） ；LPA+B=PA+PB-PAB 当 PAB0 时, PA+B=PA+PB PA-B=PA-PAB （ 11）减当 BA时,PA-B=PA-PB 第 2 页,共 28 页 法公式当 A= 时, P B =1- PB _名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - -

7、- - -定义 设 A、B 是两个大事,且 PA0,就称PAB为大事 A 发生条PA （ 12）条件下,大事 B发生的条件概率,记为PB/APAB；A2件概率PA（ 13）乘条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率；例如 P /B=1P B /A=1-PB/A 乘法公式：PABPAP B/A更一般地,对大事A1,A2, An,如 PA1A2 An-10,就有P A 1A2AnPA 1 PA2|A 1 P A3|A 1A2 PAn|A 1法公式An1 ；两个大事的独立性设大事 A 、B 满意PABPAPB,就称大事 A 、B 是相互独立的；（ 14）独 立性如大事 A 、 B 相互独

8、立,且PA 0,就有PB|A PABP APBP BPAPA如大事 A 、 B 相互独立,就可得到A 与 B 、 A 与 B 、 A与 B 也都相互独立；必定大事和不行能大事 . 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥；多个大事的独立性 设 ABC是三个大事,假如满意两两独立的条件,PAB=PAPB ；PBC=PBPC；PCA=PCPA 并且同时满意 PABC=PAPBPC 那么 A、B、C相互独立；对于 n 个大事类似；（ 15）全设大事B1 ,B2,B n满意PB i0 i,12 ,n,1B1,B2,B n两两互不相容,2AnBi, （分类争论的概公式i1就有（ 16）贝PAPB1 P

9、 A|B 1PB2P A|B2PBnPA|Bn；设大事B ,B , ,B 及 A 满意0,i1,2, ,1B ,B , ,B 两两互不相容,P Bin,叶斯公式n求缘由2Ai1Bi,PA0,（已经知道结果就_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 28 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -P B i/A nP B iP A/B ij,i=1 ,2, n；P BjP A/Bj 1此公式即为贝叶斯公式；P iB ,（i 1, 2 , ,

10、 n ）,通常叫先验概率；P B i / A ,（i2 , , n）,通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“ 因果” 的概1,率规律,并作出了“ 由果朔因” 的推断；我们作了n次试验,且满意（ 17）伯 努利概型（ 1 ） 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布律每次试验只有两种可能结果,A 发生或 A 不发生；n次试验是重复进行的,即A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的, 即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的；这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验；用p表示每次试验A 发生的概率,就A 发生的概率为1pq,用Pnk表示n重伯努利试验中A 显现k0kn次的概率,Pn

11、kCkpkqnk,k0,1,2 ,n；n其次章随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为 Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即大事 X=Xk 的概率为 PX=xk=p k,k=1,2, ,就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律； 有时也用分布列的形式给出：PXxk|x 1,x2,x k,；Xp 1,p2,pk ,明显分布律应满意以下条件：（ 2 ） 连 续 型 随机 变 量的 分 布 密度（1）pk0,k,12 ,（2）k1pk1；设Fx是随机变量 X 的分布函数,如存在非负函数f x ,对任意实数x,有Fxxfx dx,就称 X 为连续型随机变量；f x 称为 X 的概率密度

12、函数或密度函数,简称概率密度；密度函数具有下面 4 个性质：_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ 1f x 0；1； 第 4 页,共 28 页 2fx dx - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -（ 3 ） 离PXxPxXxdxfxdx散 与 连续 型 随积分元fxdx在连续型随机变量理论中所起的作用与PXx kpk机 变 量的关系在离散型随机变量理论中所起的作用相类似；（ 4 ） 分设 X 为随机变量, x 是任意实数,就函数布函数FxPXx 称为

13、随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数；PaXbFb Fa可以得到 X 落入区间a,b的概率；分布函数Fx表示随机变量落入区间（, x 内的概率；分布函数具有如下性质：10Fx,1x；xFx1 F2x；2Fx是单调不减的函数,即x 1x 2时,有1；3Flim xFx0,Flim xF4Fx0Fx,即Fx 是右连续的；5PXx FxFx0；对于离散型随机变量,Fxxkxp k；x（ 5 ） 八对于连续型随机变量,Fxfx dx；0-1 分布PX=1=p, PX=0=q 大分布_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共

14、28 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -二项分布 在 n 重贝努里试验中, 设大事 A 发生的概率为 p ；大事 A发生的次数是随机变量,设为0,1,2 ,n；X ,就 X 可能取值为P X k P n k C n kp kq n k,其 中q 1 p , 0 p 1 , k 0 1, 2, , , n,就称随机变量 X 听从参数为 n , p 的二项分布；记为X B n , p ；当 n 1 时,P X k p k q 1 k,k 0 . 1,这就是（ 0-1 ）分布,所以（ 0-1 ）分布是二项

15、分布的特例；泊松分布 设随机变量 X 的分布律为k超 几 何 分 布PXkk.e,0 ,k0 ,1,2,就 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为的 泊 松 分 布 , 记 为X或者 P ；泊松分布为二项分布的极限分布（np= ,n）；P XkCkCnk,k,1,0 2,lMNMCn NlminMn 随机变量X 听从参数为n,N,M 的超几何分布,记为Hn,N,M ；几何分布P Xkk q1p ,k,1 2 ,3,其中 p0,q=1-p；随机变量 X 听从参数为 p 的几何分布,记为 Gp ；_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第

16、 6 页,共 28 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -匀称分布设随机变量 X 的值只落在 a ,b 内,其密度函数fx在a ,b 上为常数b1a,即fx b1a,axb其他,0就称随机变量X在a ,b 上听从匀称分布, 记为 XUa,b ；分布函数为指数分布0,xb；当 ax1x2b 时,X落在区间（x 1, x 2）内的概率为Px 1Xx2x2x1；baex,x0, fx0, x0, 其中0 ,就称随机变量X 听从参数为的指数分布；X的分布函数为F x1,ex,x0, 0x0；记住积分公式：xne

17、xdxn .0_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 28 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -正态分布设随机变量X的密度函数为 x 2f x 1e 2 2,x,2其中、0 为常数,就称随机变量 X 听从参数为（ 6 ） 分下分位表：、的 正 态 分 布 或 高 斯 （ Gauss） 分 布 , 记 为XN,2；fx具有如下性质：1fx的图形是关于x对称的；2当x,时,f 1为最大值；2 x,就X的分布函数为e 2 2 2dt 2

18、；如 F XN1x 2参数0 、1时的正态分布称为标准正态分布,记为X N0 1, 1,其密度函数记为 e 2,x,x 2分布函数为x t 2 x 1e 2 dt；2 x 是不行求积函数, 其函数值,已编制成表可供查用； -x 1- x 且 0 1 ；201, ；假如 X N,2,就XNP x 1Xx 2x 2x 1；PX；位数（ 7 ） 函上分位表：PX；离散型已知 X 的分布列为数分布PXx ix 1 ,x2,xn ,Xp 1,p2,p nYg X的分布列（yigx i互不相等）如下：Ygx1 ,gx2 ,gx n,gix的P Y y i如有某些gp 1 , p 2 , , p n ,ix

19、 相等,就应将对应的ip 相加作为概率；_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 28 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -连续型先利用 X 的概率密度f Xx 写出 Y 的分布函数FYy PgX y ,再利用变上下限积分的求导公式求出fYy ；（ 1）联合离散型第三章二维随机变量及其分布,假如二维随机向量（X,Y）的全部可能取值为至多可列分布个有序对（ x,y ）,就称为离散型随机量；设=（X,Y）的全部可能取值为x i,yji,

20、j,1 2 ,且大事 =xiyj 的概率为 pij, 称P X,Yx i,yjpij i,j,1,2为=（X, Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律；联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：X Y y1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij这里 pij 具有下面两个性质：_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ （1） pij 0（ i,j=1,2, ）； 第 9 页,共 28 页 （2）p ij1 .ij - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - -

21、 - - - - - - -连续型对 于 二 维 随 机 向 量X,Y, 如 果 存 在 非 负 函 数fx,yx,yD,即,使对任意一个其邻边D=X,Y|axb,cyx1时,有 F（ x2,y ） Fx1,y;当 y2y1时,有 Fx,y2 Fx,y1; （3）F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的,即（ 4）离散（4）F,Fx ,yFx0 ,y,Fx,yFx,y0;x,ydxdyF,yFx ,0,F,1.（5）对于x 1x2,y 1y 2,x 1,y2Fx 1,y 10. fFx2,y2Fx 2,y 1FPXx,YyPxXxdx,yYydy型 与 连 续型的关系_名师严选资料_ _归

22、纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 28 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -（ 5）边缘离散型X 的边缘分布为分布PP Xx ijp ij i,j,1 ,2；Y 的边缘分布为连续型PjP Yyjy p iji,j,1 ,2；X 的边缘分布密度为if Xx fx ,dy；Y 的边缘分布密度为（ 6）条件离散型f Yyfx ,y dx .在已知 X=xi 的条件下, Y取值的条件分布为分布P Yyj|Xx ipij；pi在已知 Y=yj 的条件下,

23、 X取值的条件分布为连续型PXx i|Yyjp ijj,p在已知 Y=y 的条件下, X 的条件分布密度为fx|yfx ,y；fYy在已知 X=x 的条件下, Y 的条件分布密度为（ 7）独立一般型fy|x fx ,yfXxFX,Y=F XxF Yy性离散型p ijpipj有零不独立连续型fx,y=fXxfYy 直接判定,充要条件：可分别变量 正概率密度区间为矩形二维正态分fx ,y21112e2 112x1122x1y2y222,布1220 随机变量的 如 X1,X 2, Xm,X m+1, Xn 相互独立, h,g 为连续函数,就：函数 h（X1,X2, Xm）和 g（Xm+1, Xn）相

24、互独立；特例：如 X与 Y 独立,就： h（X）和 g（Y）独立；例如：如 X与 Y 独立,就： 3X+1 和 5Y-2 独立；_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 28 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -（ 8）二维 设随机向量（ X,Y）的分布密度函数为匀称分布fx,y1x ,yDX,Y）SD0,其他其中 SD为区域 D的面积,就称（ X,Y）听从 D上的匀称分布,记为（U（D）；例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.

25、3 ；y 1 O D11 x 图 3.1 y 1 D2O 1 2 x 图 3.2 y d D3c O a b x 图 3.3 _名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 28 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -（ 9）二维 设随机向量（ X,Y）的分布密度函数为正态分布fx ,y211112e|21x122x1y2y22121122,2其中1,0|,01 是 5 个参数,就称（ X,Y）听从二维正态分2,2布,记为（ X,Y） N

26、（1,2,2,2,.12由边缘密度的运算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,（10）函数即 XN（1,2,YN2,2.2）；12但是如 X N（1,2,YN2,2,X,Y未必是二维正态分布；12Z=X+Y 依据定义运算：FZz PZz P XYz 分布对于连续型, f Zz fx ,zx dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,212n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍听从正态分布；Z=max,min如Cii,n22 C i2iiXiX1,X2相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为X 1,X 2, X n Fx 1x ,Fx 2x Fx nx ,就Z=ma

27、x,minX 1,X 2, X n的分布函数为：_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ F maxx Fx 1x Fx2x Fnxxx 1F xnx 第 13 页,共 28 页 F minx 11F x 1x 1Fx2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -2 分布设 n 个随机变量X1,X2,Xn相互独立,且听从标准正态分布,可以证明它们的平方和WinXi21的分布密度为f1n1eu2 n ,u22u,0u nn222我们称随机变量0 ,n的u0 .

28、2 分布,记为 WW听从自由度为其中n0xn1exdx .22所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数；2 分布满意可加性：设Y i2n i,就t 分布ZkY i2n 1n22 n ,nk.i1设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且XN 0 1, ,Y可以证明函数TXnY/的概率密度为_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ n1n1. 第 14 页,共 28 页 ftn2n1t22tn2n 的 t 分布,记为Ttn ；我们称随机变量T 听从自由度为t 1n t n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -F 分布设X2n 1,Y2 n2,且X 与 Y 独 立,可 以 证明FyX/n 1的概率密度函数为n 1yn 111n 1yn12n 2,y0Y/n2n 1n2f2n 122n 1