2022年正多边形和圆讲义教案 .docx
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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -正多边形和圆一)一内容综述正多边形的有关运算方法、圆及简洁组合图形的周长与面积的运算方法, 是本单元的重点.实际上,这部分运算问题的解决大都是放在直角三角形(如下图 OAD )中解决的.把握这些学问,一方面可以为进一步学习打好基础,另一方面这些学问在生产和生活中经常用到,所以要赐予足够的重视.在正多边形的有关运算中,假如分别以 n、an、rn、Rn、Pn 和 Sn 表示正 nn 3,n 为整数 边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积,就有: n=. an=2Rnsin. rn=R n cos.+.
2、Pn=nan. Sn=Pnr n. Sn=nsin.(由于一个三角形的面积为:h OB )留意两点: 1、构造直角三角形(弦心距、边长的一半、半径组成的)求线段之间的关系等.2、精确记忆相关公式.在圆的有关运算中,假如用R 表示圆的半径,n 表示弧或弧所所对的圆心角的度数,L表示弧长,就有:圆周长: C=2 R.弧长: L=圆面积: S=R2扇形面积:S 扇形 =LR弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来运算需依据不同的情形作出不同的处理:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 13 页 - - - - -
3、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -( 1)当弓形所含弧为劣弧时,S 弓=S 扇-S( 2)当弓形所含弧为优弧时,S 弓 =S 扇+S( 3)当弓形所含弧为半圆时,S 弓 =S 圆圆柱与圆锥的侧面积可以转化为运算侧面绽开图的面积二例题分析:例 1.正六边形两条对边之间的距离是2,就它的边长是()A 、B、C、D、解:如图 1, BF=2 ,过点 A 作 AG BF 于 G,就 FG=1 , 又 FAG=60 ,应选 B.说明:正六边形是正多边形中最重要的多边形,要留意正六边形的一些特别性质
4、.例 2.如图 2,两个同心圆被两条半径截得的的长为 6cm,的长为 10 cm,如AB=12cm, 求图中阴影部分的面积.解:设 O= ,由弧长公式得6 =, 10 =, OA=, OB=.又 AB=OB-OA, 12=-, =60 , OA=18, OB=30.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 阴影部分的面积为:-=96说明:此题主要
5、考察弧长、扇形面积的有关运算,要熟记公式,正确运用. 例 3.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.分析 :外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而每个小三形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证 .证明 :设外切多边形周长为P,内切圆 O 半径为R,连结 O 与正多边形的各顶点及切点,如图 OM AB,ON BC, S OAB =OM AB RAB,S OBC =ON BCR BC, 正多边形ABCD面积为S=RAB+BC+=R P.说明:圆的外切(或内接)正多边形的周长.面积的运算要通过所分成的n 个等腰三角形进行, 这也是由复杂到
6、简洁的一种转化,象四边形的问题一样,正 n 边形的问题第一应转化为三角形的问题,转化是解决数学问题的关键.例 4.已知如图 O1 为含 120弧的弓形的直径最大的内切圆,求证: 这个内切圆的周长等于弧长的.分析:欲证内切圆的周长和含此内切圆弓形的弧之间的关系,需求出:内切圆O1 的周长 2 r,及弓形的弧AB 的长,找到r 与 O 的半径 R 的关系,结论易证.证明:设 O1 切弓形于C、D ,OA=R ,O1C=r , AOB=120 ,的长 = R,又 OAB=180 -120=30 , OC=OA=R, r=OD-OC=R-R=R,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料
7、 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -又 O1 的周长 =2 r=2 R= R, O1 的周长等于弧长的.例 5.已知如图半径OA=6cm,C 为 OB 的中点 , AOB=120 ,求阴影部分面积S 阴影 ABC .分析 :欲求 S 阴影 ABC ,从图形上看是不规章图形,所以问题的关键是将不规章的图形转化为规章图形面积的和或差,观看图形会发觉S 阴影=S 扇形 OAB -S ACO ,故可求得
8、.解:由图示可知S 阴影 ABC =S 扇形-SACO ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 S 扇形 OAB =12 cm2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S ACO =6 3 sin60=cm2, S 阴影 ABC =12 -cm2.说明: 求阴影部分的面积,最关键的就是将不规章图形的面积转化为规章图形的面积的和或差,以上为例,S 阴影可以折分为S 扇形 OAB 与 SDAOC 的差,也可以折分为SDABC 与 S 弓 形 AB的和,但由于这两个面积,求起来较繁锁,所以究竟用哪种方法,要有所挑选.例 6.如图 ,如正六边形的面积为6,求正六边形内切圆的内
9、接正三角形的面积.分析:如下图,线段OC 是正六边形的边心距,由内接正三边形的边长,就线段OC 可以将两图形联系起来.解:如图 ,设 AB 是正六边形的一条边长,C 点为切点 ,CD 为正六边形内切O 的内接正三角形的一条边长,过 O 点作 OE CD 于 E,分别连结OA 、OB、OC 、OD. OC=R,AB=a 6,BC=a6, BOC=30 ,CD=a3,CE=a3,OE=r 3,COE=60 , S6=6 S OAB , S6=6a6 OC=6,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 13 页 - -
10、- - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - OC=BC cot30 , OC=a6, 6a6a6=6, a6 =2, OC=, OE=OC cos60 , OE=, CE=OC sin60 , CE=, CD=2CE=3, S3=3CD OE,S3=3 3=.说明 :1 此例涉及到正多边形的有关运算,其中涉及的是正六边形与正三角形.2 因此例的条件中涉及到正六边形的内切圆及内切圆的内接正三角形,所以它有一个图形之间相互转化问题,即正六边形的边心距是正三角形的半径,这种转化可以沟通两个正
11、多边形之间的关系 .例 7.如图 ,PA,PB 分别切圆O 于 A 、B,并且 AOB 是钝角 ,假如四边形PAOB 的周长和面积分别为81+和 16,求劣弧 AB 与两切线所夹部分的面积,即阴影面积 解:连结 OP, PA、PB 分别切 O 于 A、 B, OAP= OBP=90 ,又 PA=PB,AO=BO Rt PAO Rt PBO, Rt PAO 的面积 =四边形PAOB 的面积 =8.又 RtPAO 的面积 = AO PA, OA PA=16.已知 OA+PA= 81+=41+. OA 、PA 为方程 x 2-41+x+16=0 的两根,解得 x 1=4, x 2=4,但 AOB 是
12、钝角,PAOA, PA=4,OA=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在 RtPAO 中,tan POA=. POA=60 , AOB=120 ,扇形 OAB 的面积 =42 = . 劣弧 AB 与两切线所夹部分的面积为16- .说明 :求阴影部分的面积,第一要观看它的构成,是由四边形AOBP 的面积去掉扇形AOB的面积 .详细求它们的值
13、时,尚须连结 OP,构造直角三角形.例 8.如图 ,AOB=90 ,AC OB,OA=1,是以 O 为圆心的弧 ,是以 A 为圆心的弧 ,求图中阴影部分ABC 的面积 .分析:摸索怎样转化为规章图形的面积运算?规章图形的面积如何运算?解:连结 AB, AOB 为等腰直角三角形, AB=, C=90 ,OA=OB=1, S 扇 形 OAB = R2=,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S 扇形 ABC =2=,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S 弓形 AmB =S 扇形 OAB -S AOB =-AO BO=-.S 阴影=S 扇形 ABC -S 弓形 AmB=-=说
14、明:( 1)求阴影部分的面积,涉及到扇形、圆形、弓形、梯形、三角形面积及弧长、周长等学问.( 2)进行分析时,一般留意:第一: 求阴影部分的面积,因不是一个规章的图形,不易直接求, 需要从整体结构进行分析,将图形分解,转化为规章的能操作的基本图形,运用好面积的割补方法.其次:求阴影部分的面积,可转化为先求空白部分的面积,再进行面积的加减运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - -
15、 - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_测试挑选题1已知两圆的直径分别为20cm 和 8cm,一条外公切线为8cm,就这两圆的位置关系是()A 、相离B 、 外切C 、 相交D、内切 2以下说法正确选项()A 、各边相等的圆外切多边形是正多边形. B 、任何正n 边形都既是中心对称图形又是轴对称图形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C、任何一个正多边形绕中心旋转,都与原先的正多边形重合.D 、任何正多边形都相像.3假如一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的,就这个正多边形的边数为()A 、16B 、18C、20D 、224正六边形的
16、边长为1,就它的面积为()A 、3B 、2C、3D 、 5正六边形的内切圆的半径与外接圆的半径之比是()A 、1B、2C、1D、 2 6如图,已知点A 在两个同心圆的大圆上,ABC是小圆的割线,且AB AC=8 ,就圆环的面积为()A 、4B、8C、12D、16 7扇形的周长为28cm,面积为49cm2,就它的半径为()A 、7cmB、cmC、14+7cmD 、7cm 8扇形的圆心角是150,面积是 60 cm2, 就扇形的弧长为()A 、6 cmB、8 cmC、10 cmD 、12 cm 9正三角形的边心距、半径和高的比是()A 、1 2 3B 、1C、1 3D、 1 210如图 3,大的半
17、圆的弧长为a, n 个小圆的半径相等,且相互外切,其直径之和等于大半圆的直径,如n 个小半圆的总弧长为b, 就 a 与 b 之间的关系是()A 、a=bB 、a=nbC、a=bD、 a= b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -答案与解析答案: 1.C2.C3.D4.D5.D6.B7.A8.C9.A10.A解析:1.关键是求出O1 O2,O1O
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