平均变化率及其求法.ppt

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1、3.1.1 平均变化率及其求法,微积分的创立者-牛顿、莱布尼茨,牛顿（1643-1727）,莱布尼茨 （1646-1716）,微积分创立背景,微积分的创立主要与四类问题处理有关：,瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积,第一类问题,求物体瞬时速度、加速度及运动距离 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体任意时刻的速度和加速度；以及已知物体的加速度作为时间的函数，求速度和路程。,困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的距离除以运动的时间，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物

2、理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。,第二类问题,求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。,困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。,第三类问题,求已知函数的最大最小值。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。,困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出

3、现的问题，但新的方法尚无眉目。,第四类问题,求曲线长、曲面面积、物体重心及物体之间的引力 （求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。）,困难在于：欧多克斯的穷竭法虽然被阿基米德熟练地用来求出了很多图形的面积及几何体的体积，但它毕竟是一种有限且相当复杂的几何方法，已不能解决第四类问题。,问02时与221时， 哪段时间的成交额变化快,为什么?,问：怎么量化02时与221时成交额变化快 (图象陡峭)、慢(图象平缓)？,问：为什么0-t1图像比t1-t2“平缓”？,21-0=21(s),70-0=70(m),70/21=3.3 (m/

4、s),如何量化图象“平缓（变化慢）” “陡峭（变化快）”？,成交额随时间变化关系 Q = Q（t）,时间的改变量 t2- t1,成交额的改变量T2-T1,2-0=2(小时),21-2=19(小时),100-0=100(亿元),300-100=200(亿元),成交额差/时间差,100/2,200/19,= 50(亿元/小时),成交额变化快慢,快,慢,10.53(亿元/小时),两个变化率（快慢）问题,如何刻画一般的函数f(x)在区间x1，x2上随x变化（增加或减少）的“快”与“慢”？,(1)成交额t1 , t2平均变化率(快慢)问题：,(2)路程在t1 , t2平均变化率(快慢)问题：,亦即：,平

5、均变化率等于函数的增量与自变量的增量之比值。,割线斜率,这是平均变化率的几何意义,（ x1 ， f(x1 ) ）,（ x2 ， f(x2 ) ）,求函数f(x)平均变化率的步骤：,一、求自变量的增量x=x2-x1,二、求函数的增量y=f(x2)-f(x1),已知f(x)=2x2+1，求： (1)从x=1到x=2的平均变化率； (2)从x1到x2的平均变化率。,变式训练:求函数 在下列区间的平均变化率,(1) 1,1.0003 (2) 1,1.0002 (3) 1,1.0001,某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示 (1)求0s-3s的速度平均变化率？ （2）求3s-7s的速度平均变化率？ （3）求7s-14s的速度平均变化率？ （4）求14s-20s的速度平均变化率？,提示：,平均变化率的变化与函数图象的形状有何联系？,探究.拓展：,平均变化率是曲线陡峭程度的 数量化,曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化,例1变式训练：求函数,在下列区间的平均变化率： （1）1,1.0003 （2）1,1.0002 （3）1,1.0001,德国著名心理学家 艾宾浩斯的遗忘曲线,艾宾浩斯遗忘曲线,探究拓展,课后作业： 1、与同学交流你探究“气球膨胀率问题”及“跳水问题”的心得。,谢谢大家,