2022年空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案2 .docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1. 能够利用共线向量、共面对量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题；3. 培育用向量的相关学问摸索问题和解决问题的才能；【学问梳理】一、 空间向量的运算1、向量的几何运算1向量的数量积：已知向量,就0叫做的数量积,记作,即,使 ba 空间向量数量积的性质：；2向量共线定理：向量a a与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数2、向量的坐标运算1假设,就一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有

2、向线段的终点的坐标减去起点的坐标；2假设,就,；,（3）夹角公式：1 _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 4两点间的距离公式：假设,就二、空间向量在立体几何中的应用 2. 利用空间向量证明平行问题 对于平行问题,一般是利用共线向量和共面对量定理进行证明3. 利用空间向量证明垂直问题对于垂直问题,一般是利用 进行证明；4. 利用空间向量求角度1线线角的求法：设直线 AB、CD对应的方向向量分别为a、b,就直线 AB与 CD所成的角为线线角的范畴 00,900 2线面角的求法：设 n 是平面的法向量,是直线的方向向量

3、,就直线与平面所成的角为3二面角的求法：设 n1,n2 分别是二面角的两个面,的法向量,就就是二面角的平面角或其补角的大小如图5. 利用空间向量求距离1平面的法向量的求法：设 n=x,y,z,利用 n 与平面内的两个不共线的向 a,b 垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取 其一组解,即得到平面 的一个法向量如图 ；2 _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2利用法向量求空间距离a 点 A 到平面的距离：,其中,其中,是平面的法向量；的法向量；b 直线与平面之间的距离：,是平面c 两平行平面之间的距离：

4、,其中,是平面的法向量；【经典例题】【例 1】2022 全国卷 1 理正方体ABCD-A B C D 中, BB 与平面 AC D 所成角的余弦值为A2B3 C2 3D6333【解析】 D【例 2】2022 全国卷 2 文已知三棱锥 SABC 中,底面 ABC 为边长等于2 的等边三角形, SA 垂直于底面ABC ,B SA=3,那么直线AB 与平面SBC所成角的正弦值为A3 B 5C 7 D 3S 4444【解析】 DABCA B C 中,底面边长和侧棱长都相等,1 1 1A F E C 【例3】 2022 全国卷三棱柱BAA 1CAA 160,就异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为_；【

5、解析】6 63 _精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 【例 4】2022 重庆如图,在直三棱柱求异面直线 CC1 和 AB的距离；ABC-A1B1C1 中, AB=4, AC=BC=3,D为 AB的中点；假设AB1A1C,求二面角A1 CDB1 的平面角的余弦值；AC , D, 分别是棱BC,CC1上的点点 D 不同【解析】513【例 5】2022 江苏如图,在直三棱柱ABCA B C 中,A B 1于点 C,且 ADDE, 为B C 的中点A 1B 1F C 1求证：1平面 ADE平面BCC B ；A B D E

6、 2直线A F/平面 ADEC 【例 6】2022 山东在如下图的几何体中,四边形BD,CB=CD=CF求证： BD平面 AED；求二面角 F-BD-C 的余弦值1 【解析】二面角F-BD-C 的余弦值为5 5ABCD是等腰梯形, AB CD, DAB=60 , FC平面 ABCD,AE【例 7】2022 江西在三棱柱ABCA B C 中,已知 1 1 1ABACAA 15,BC4,点A 在底面 ABC 的投 1影是线段 BC 的中点 O ；1证明在侧棱AA 上存在一点 E ,使得 OE平面BB C C ,并求出 AE 的长；AA1OCB1C12求平面A BC 与平面BB C C 夹角的余弦值

7、；B【解析】5 ,530104 _精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 【例 8】2022 湖南四棱锥 P-ABCD中, PA平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5, DAB=ABC=90 , E 是 CD的中点 . 证明： CD平面 PAE；假设直线PB与平面 PAE所成的角和PB与平面 ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积 . 【解析】V1SPA1168 5128 533515CD PDAD , E 是 PB 中点,【例 9】2022 广东如下图,在四棱锥PABCD 中, AB平面 PAD ,A

8、B/ /1F 是DC上的点,且 DF AB , PH 为21证明： PH 平面 ABCD ；PAD 中 AD 边上的高；h112122假设PH1,AD2,FC1,求三棱锥 EBCF 的体积；3证明： EF平面 PAB【解析】三棱锥EBCF 的体积V1SBCFh11FCAD3326212【例 10】2022 新课标如图,直三棱柱ABCA1B1C1中, AC=BC= 1 AA1,D是棱 AA1 的中点, DC1BD2B 1B1证明： DC 1BC；C12求二面角A1BD C1的大小A1【解析】二面角A 1BDC 1的大小为 30DCA【例 11】如下图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,P

9、A平面 ABCD 点 E 在线段 PC 上, PC平面 BDE 1证明： BD平面 PAC ；P0,2假设PA1,AD2,求二面角BPCA 的正切值AED【解析】二面角BPCA 的平面角的正切值为3 BC【例 12】2022 天津如图,在四棱锥 PABCD 中, PA丄平面 ABCD ,AC 丄 AD ,AB 丄 BC ,ABC=45P5 _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - PA AD =2,AC =1 . 证明 PC 丄 AD ；求二面角APCD 的正弦值；BE与 CD所成的角为0 30 ,求 AE的长 . 设

10、 E 为棱 PA 上的点,满意异面直线【解析】30 ,61010【课堂练习】1、2022 上海假设 n 2 1, 是直线 l 的一个法向量,就 l 的倾斜角的大小为用反三角函数值表示2、 2022 四川如图,在正方体 ABCD A B C D 中, M 、N 分别是 CD 、CC 的中点, 就异面直线 A M 与 DN所成角的大小是 _；D 1 C 1A 1 B 1ND CMA B3、2022 全国卷如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA 底面 ABCD ,AC 2 2,PA 2,E 是 PC 上的一点,PE 2 EC ；P证明：PC 平面 BED ；设二面角 A PB

11、 C 为 90 ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小；E AB DC4、2022 辽宁理 已知三棱锥 PABC中,PA ABC,AB AC,PA=AC=.AB,N为 AB上一点, AB=4AN,M,S分别为 PB,BC的中点 . 证明： CMSN；求 SN与平面 CMN所成角的大小 . 5、2022 辽宁文如图,棱柱ABCA B C 的侧面BCC B 是菱形,B CA B6 _精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 证明：平面AB C 1平面A BC ；1 1设 D 是AC 上的点,且A B/平面B CD ,求A

12、D DC 的值 . 6、 2022 全国文 如图,直三棱柱 ABC-A1 B1C1 中,AC=BC, AA 1 =AB,D为 BB1 的中点, E 为 AB1 上的一点, AE=3 EB1证明： DE为异面直线AB1 与 CD的公垂线；平面 BCD,AB2 3；设异面直线AB1 与 CD的夹角为 45 , 求二面角 A1-AC1 -B 1 的大小7、 2022 江西理 如图 BCD与 MCD都是边长为2 的正三角形, 平面 MCD 平面 BCD,AB（1）求点 A 到平面 MBC的距离；（2）求平面 ACM与平面 BCD所成二面角的正弦值；8、2022 重庆文四棱锥 P ABCD 中,底面 A

13、BCD 为矩形, PA 底面7 _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - ABCD ,PAAB2,点 E 是棱 PB 的中点 . 证明：AE平面 PBC ；ECD 的平面角的余弦值. ADE沿直线 DE假设AD1,求二面角 BABCD中, AB=2BC, ABC=120 ； E为线段 AB的中点,将9、2022 浙江文如图,在平行四边形翻折成ADE,使平面 ADE平面 BCD,F 为线段 AC的中点；求证： BF 平面 ADE；设 M为线段 DE的中点,求直线 FM与平面 ADE所成角的余弦值；10、2022 重庆理四

14、棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为矩形, PA 底面 ABCD, PA=AB= 6 ,点 E是棱 PB的中点；1求直线 AD与平面 PBC的距离；P 2假设 AD= 3 ,求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值；E 11、2022 北京理如图,正方形ABCD和四边形 ACEF所在的平面相互垂直,A D B C CEAC,EF AC,AB= 2 ,CE=EF=1. 求证： AF 平面 BDE；求证： CF平面 BDE；求二面角 A-BE-D的大小；12、如图,弧 AEC是半径为 a 的半圆, AC为直径,点 E 为弧 AC的中点,点 B和8 _精品资料_ - - - - - - -第 8

15、页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 点 C为线段 AD的三等分点,平面AEC外一点 F 满意 FC平面 BED,FB=5 a1证明： EB FD 2求点 B 到平面 FED的距离 . 13、2022 江苏卷如图,在四棱锥 P-ABCD中, PD平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB DC, BCD=90 0；1 求证： PCBC；2 求点 A 到平面 PBC的距离；PDC14、2022 上海如图,在四棱锥P- ABCD中,底面A16题图B2 , PA=2.ABCD是矩形, PA底面 ABCD,E 是 PCAB=2,AD=2求：1三角形 PCD的

16、面积；2异面直线BC与 AE所成的角的大小. APB90,PAB60, AB BC CA,平面 PAB平面 ABC ；15、2022 四川 如图, 在三棱锥 PABC 中,求直线PC 与平面 ABC 所成角的大小；P求二面角BAPC 的大小；CA B16、2022 安徽长方体ABCDA 1 B 1C 1 D 1中,底面A 1B 1 C 1D 1是正方形,O是 BD 的中点, E 是棱AA 上任意一点；9 _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 证明：BDEC 1；假如 AB =2, AE =2 ,OEEC 1, 求A

17、A 1的长；AC AB 的中点, 点 F 为线段 CD 上的一点,17、2022 北京文 如图 1,在 Rt ABC 中,C90,D E 分别为将ADE沿DE折起到A DE 的位置,使A FCD ,如图 2；AEB求证：DE/平面ACB ；求证：1AFBE；DEA1线段1A B 上是否存在点Q ,使AC平面DEQ？说明理由；F图1BCFDC图218、2022 湖南如图6,在四棱锥P-ABCD中, PA平面 ABCD,底面 ABCD是等腰梯形, AD BC,ACBD. 证明： BDPC；假设AD=4,BC=2,直线 PD与平面 PAC所成的角为30 ,求四棱锥P-ABCD的体积 . AB2,AC

18、2 3,19、如图,在三棱锥 PABC 中, PA 底面 ABC ,D 是 PC 的中点, 已知 BAC 2,PA2,求：1三棱锥 PABC 的体积10 _精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小结果用反三角函数值表示20、2022 安徽文如图,在四棱锥 OABCD中,底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形,ABCO4, OA底面 ABCD , OA2, M 为OA的中点；求异面直线AB与 MD所成角的大小；求点 B到平面 OCD的距离；MA DB C【课后作业】1. 202

19、2 全国如图,正四棱柱ABCD ABC D 中,AA 12AB4,点 E 在CC 上且C 1E3 EC证明：1AC平面 BED ；D 1 C1 A1 B1 求二面角A 1DEB 的大小E 2、2022 湖南四棱锥P- ABCD的底面 ABCD是边长为D C A B 1 的菱形, BCD60 , E 是 CD的中点, PA底面 ABCD,PA2. 证明：平面 PBE平面 PAB; 求平面 PAD和平面 PBE所成二面角锐角的大小 . 11 _精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 3、2022 福建如图,在四棱锥P-A

20、BCD中,就面 PAD底面ABCD,侧棱 PA=PD2 ,底面 ABCD为直角梯形,其中 BCAD, AB AD, AD=2AB=2BC=2, O为 AD中点 . 求证： PO平面 ABCD；求异面直线 PD与 CD所成角的大小；线段 AD上是否存在点 Q,使得它到平面 PCD的距离为 3？2假设存在,求出 AQ 的值；假设不存在,请说明理由 . QD4、2022 海南、宁夏理 如图,已知点P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的对角线 BD1上, PDA=60 ；1求 DP与 CC1所成角的大小； 2求 DP与平面 AA1D1D所成角的大小；D 1C1OO5、2022 湖南文、理如图1,已

21、知 ABCD是上、下底边长分别为2 和 6,高为A1PB 1DCAB3 的等腰梯形,将它沿对称轴_精品资料_ 折成直二面角,如图2；证明： ACBO1；求二面角OACO1 的大小；D O1 C B A D O1 C O 12 O B A 第 12 页,共 18 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 6、2022 安徽文、理 如图 , 在六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中, 四边形ABCD是边长为 2 的正方形 , 四边形A 1B 1C 1D 1是边长为 1 的正方形 ,DD1平面A 1B 1C 1D 1,DD1平面 ABCD, DD1=2；BA

22、C90 ,O 为 BC 中点 求证 :A 1C1与 AC共面,B 1D1与 BD共面 . 求证 : 平面A 1ACC 1平面B 1BDD 1; 求二面角ABB 1C的大小 . 7、2022 海南 如图,在三棱锥SABC中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,证明：SO平面 ABC ；SC求二面角ASCB 的余弦值OB A8、2022 四川理如图,PCBM 是直角梯形,PCB 90 , PM BC , PM 1, BC 2,又 AC 1, ACB 120 , AB PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 . 求证：平面PPAC 平面 ABC ; 求二面角MACB的大小 ;

23、求三棱锥MAC的体积 . 13 _精品资料_ - - - - - - -第 13 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 9、 2022 全国卷 如图,1l 、2l 是相互垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段. 点 A、 B在1l 上, C在2l 上,AMMBMN ； 证明ACNB；l2 假设ACB60O,求 NB 与平面 ABC所成角的余弦值；C l1A H N M B 10、2022 福建文、理如图,四周体 ABCD中,O、E 分别是 BD、BC的中点,CACBCDBD2,ABAD2.I 求证： AO平面 BCD； II 求异面直线AB与 CD所成角的大小；

24、AIII 求点 E到平面 ACD的距离；DO11、 2022 福建文如图,在长方体ABCD A 1B1C1D1 中, E,H分别是棱BECA1B1,D 1C1 上的点点E 与 B1不重合,且EH/A 1D1；过 EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G；I 证明： AD/ 平面 EFGH；II 设 AB=2AA1=2a；在长方体 ABCD-A 1B1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体 A1ABFE D 1DCGH内的概率为p；当点 E, F分别在棱 A1B1, B 1B 上运动且满意 EF=a 时,求 p 的最小值；14 _精品资料_ - - - - - - -第 14 页,

25、共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 12、如图,四棱锥PABCD 的底面是正方形,PD底面ABCD,点 E在棱 PB上. 求证：平面AEC平面PDB；. AD4,AB2. 以 AC 的中点当PD2AB且 E 为 PB的中点时,求AE与平面 PDB所成的角的大小13、在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA平面 ABCD ,PAO 为球心、 AC 为直径的球面交PD 于点 M ,交PC于点N. BzNOMCDy第 15 页,共 18 页1求证：平面ABM 平面 PCD ；P2求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小；3求点 N 到平面 ACM 的

26、距离 . A15 _精品资料_ x- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 14、如图 4,在正三棱柱ABCA B C 中,AB2AA；D是A B 的中点,点E 在AC 上,且 DEAE ；1证明平面 ADE平面ACC A 12求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值；【参考答案】【课堂练习】16 _精品资料_ - - - - - - -第 16 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1、arctan22、 903、 30o 4、SN与面 CMN所成角为 45 5 、A1D：DC1=1. 6、略7、215,2 5 5.

27、8、略 9 、略 10 、1 11 2、二面角 ABED 的大小为6. 12、42152113、点 A 到平面 PBC的距离等于2 ； 14、异面直线BC与 AE所成的角的大小是43915、直线PC二面角BAPC 的大小为 arctan 2 与平面 ABC 所成的角的大小为arctan1316、AEAC12AA122AA 132AOEA12217、略18、四棱锥 PABCD 的体积为V1SPA19412. 3319、略20、1 AB 与 MD 所成角的大小为2 点 B 到平面 OCD的距离为2 33【课后作业】1、二面角1ADEB 的大小为arccos14arccos15.AQ1. 422、平

28、面 PAD和平面 PBE所成二面角锐角的大小是53、异面直线PB与 CD所成的角是arccos6, 存在点 Q满意题意,此时3QD34、1 DP 与 CC 所成的角为 45 2 DP 与平面 AA D D 所成的角为 30 5、coscosn ,BO =|nBO 11|3.21n|BO46、二面角ABB1C 的余弦为1.57、二面角ASCB 的余弦值为338、二面角MACB 的平面角大小为arccos717 _精品资料_ - - - - - - -第 17 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - V P MACV A PCM11PCPMh11 1333262129、cosNBH= 6 32 4.6；10、异面直线AB与 CD所成角的大小arccos点 E 到平面 ACD的距离为21 . 745 .11、略 12、AE与平面 PDB所成的角的大小为13、所求角的大小为arcsin6所求距离为5 9h103 ,2714、线 AD和平面 AB C1所成角的正弦值为10 ；518 _精品资料_ - - - - - - -第 18 页,共 18 页