2022年空间向量及其运算知识总结 .docx

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1、精品_精品资料_空间向量及其运算1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2. 空间向量的运算定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OBOAABab ; BAOAOBab ; OPaR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算律：加法交换律：加法结合律：a bbaab cabc DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数乘安排律：3. 平行六面

2、体：ababABa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平行四边形 ABCD平移向量 a到A B C D的轨迹所形成的几何体,DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_叫做平行六面体,并记作：ABCD A形,每个面的边叫做平行六面体的棱4. 平面对量共线定理B C D它的六个面都是平行四边AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数,使 b a .要留意其中对向量a的非零要求5共线向量假如表示空间向量

3、的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量叫做共线向量或平行向量 a 平行于 b 记作 a / b 当我们说向量 a 、 b 共线（或 a / b ）时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同始终线, 也可能是平行直线6. 共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、b （ b 0 ）,a /b 的充要条件是存在实数,使 a b .推论：假如 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线,那么对于任意一点O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t 满意等式OPOAt a 其中向量 a叫做直线 l 的方向向量 .空间直线的向量参数表示式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

4、精品资料_OPOAt a 或 OP1OAt OBOA 1t OAt OB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中点公式 OPOA2OB b BpP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 向量与平面平行：已知平面和向量 a ,作 OAa , 假如直线 OA平行于或在内,那么我们说向量 a 平行于MaA A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面,记作： 叫做共面对量a /通常我们把平行于同一平面的向量,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：空间任意的两向量都是共面的8共面对量定理：假如两个向量a,b 共面的充要条件是存在实数Oa, b 不共

5、线,p 与向量x, y使 pxayb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论： 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对或对空间任一点 O ,有 OPOMxMAyMB x, y ,使 MPxMAyMB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 OPxOAyOBzOM , xyz1上面式叫做平面 MAB 的向量表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 空间向量基本定理：假如三个向量a, b, c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯独的有序可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实数组x, y, z,使 pxaybzc可编

6、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如三向量a,b,c不共面,我们把 a, b, c叫做空间的一个基底,a, b,c 叫做基向量,空间任意三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个不共面的向量都可以构成空间的一个基底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论：设O, A, B, C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三个有序实数x, y, z,使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OPxOAyOBzOC10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ,在空间任取一点 O ,作OAa,OBb

7、 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作a, b.且规定 0a, b,明显有a,bb , a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如a,b,就称 a 与 b 相互垂直,记作： ab .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 向量的模：设 OAa ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作：| a | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 向量的数量积：已知向量a, b ,就 | a

8、| |b| cosa ,b叫做a,b 的数量积,记作a b ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b| a | |b | cos a ,b已知向量 ABa 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量, 作点 A 在 l 上的射影 A ,作点 B 在 l上 的 射 影 B , 就 A B叫 做 向 量 AB 在 轴 l 上 或 在 e 上 的 正 射 影 .可 以 证 明 A B的 长 度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| A B| | AB | cosa,e| a e | 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 空间向量数量积的性质：可

9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） a e| a | cosa, e（ 2） aba b0 （ 3） | a |2a a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 空间向量数量积运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） a ba ba b （ 2） a bba （交换律） 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） abca ba c （安排律）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1空间直角坐标系：空间向量的直角坐标及其运

10、算zAx,y,z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为 1,这个基底叫单位正交k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基底,用 i,j, k表示.i O jy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）在空间选定一点 O和一个单位正交基底 i ,j , k,以点 O 为原点,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分别以i, j , k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、 z 轴,它zDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz,

11、点 O叫原点,向量 i , j ,k 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称AB为 xOy 平面, yOz 平面, zOx平面.2. 空间直角坐标系中的坐标：DCy在空间直角坐标系 Oxyz 中,对空间任一点 A,存在唯独的有序实数ABxy组 x, y, z ,使 OAxiyjzk,有序实数组 x, y, z 叫作向量 A在空间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直角坐标系 Oxyz 中的坐标,记作z 叫竖坐标常见坐标系A x,y, z , x 叫横坐标,叫纵坐标,z A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正方体：如下列图,正方体ABCDA B C D 的

12、棱长为 a ,一般选BD yOCx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_择点 D 为原点, DA 、 DC 、 DD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D xyz , 就各点坐标为亦可选 A点为原点 . 在长方体中建立空间直角坐标系与之类似 .正四周体： 如下列图, 正四周体 A BCD 的棱长为 a ,一般挑选 A 在 BCD 上的射影为原点, OC 、 OD （或 OB ）、 OA所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz ,就各点坐标为正四棱锥：如下列图,正四棱锥 P ABCD 的棱长为 a ,一般挑选点 P 在平面 A

13、BCD 的射影为原点, OA（或 OC ）、OB（或 OD ）、OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ,就各点坐标为z正三棱柱： 如下列图, 正三棱柱ABCA B C 的底面边长为 a ,P高为 h ,一般挑选 AC 中点为原点, OC（或 OA）、OB 、OE （ E 为 O在 A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系 Oxyz ,就各点坐标为3. 空间向量的直角坐标运算律：CxAO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 如 aa ,a, a , bb ,

14、 b, b ,就By可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123abab , ab, ab123zA ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112233E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aba1b1, a2b2, a3b3 , a a1,a2,a3 R ,CBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a ba1b1a2b2a3b3 ,a/ ba1b1, a2b2 ,a3b3 R ,O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aba1b1a2b2a3b30 CBy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 如A x1,y1, z1

15、,B x2 , y2 , z2 ,就 AB x2x1, y2y1, z2z1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4模长公式 ：如 a a1,a2, a3 , bb1, b2 ,b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就| a |a aa1a2a3, |b |b bb1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 夹

16、角公式 ： cos a ba ba1b1a2b2a3b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | | b |a 2a 2a 2b 2b 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 两点间的距离公式 ：如A x1, y1, z1 ,Bx2,y2 , z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就| AB|AB x2x1 y2y1z2z1,或 dA ,B x2x1 y2y1 z2z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

17、空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 在空间直角坐标系中,由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A x1,y1, z1 与 B x2 , y2 , z2 确定直线 AB 的方向向量是 AB x2x1, y2y1, z2z1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面法向量假如 a,那么向量 a 叫做平面的法向量 .法向量的求解 :.二、证明平行问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 线线平行 ：证明两直线平行可用a/ bab,ab , ab R 或 a / ba1a2a3.可编辑资料 - - - 欢

18、迎下载精品_精品资料_112233b1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 线面平行 ：直线 l 的方向向量为a ,平面的法向量为 n ,且 l,如 an 即 a n0 就 a/.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 面面平行 ：平面的法向量为三、证明垂直问题n1 ,平面的法向量为n2 ,如n1 / n2 即 n1n2 就/.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 线线垂直 ：证明两直线垂直可用aba ba1b1a2b2a3b30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 线面垂直 ：直线 l 的方向向量为 a ,平面的法向量为

19、n ,且 l,如 a / n 即 an 就 a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 面面垂直 ：平面的法向量为四、求夹角n1 ,平面的法向量为n2 ,如 n1n2 即 n1n20 就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 线线夹角 ：设 aa1,a2,a3 bb1,b2,b30 ,90 为一面直线所成角,就：a b |a| |b| cosa,b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosa, ba b| a | |b |a1b1a2a 2a2b2 a 2a3b3b2b 2. cos| cosb2a,

20、b| .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1231232. 线面夹角 ：如图,已知 PA 为平面的一条斜线, n 为平面的一个法向量,过 P 作平面的垂线 PO,连结 OA就PAO 为斜线 PA 和平面所成的角,记为易得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin|sin 2OP, AP | cosOP, AP|P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| cosn, AP| cosn, PA| n PA |n.| n |PA|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 面面夹角 ：设 n 、 n 分别是二面角两个半平面、的法向量,OA12可编辑资料

21、- - - 欢迎下载精品_精品资料_当法向量n1 、 n2 同时指向二面角内或二面角外时,二面角的大小为n1, n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当法向量五、距离n1 、 n2 一个指向二面角内,另一外指向二面角外时,二面角的大小为n1, n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 点点距离 ：设A x , y , z , B x , y , z , d xx 2 yy 2 zz 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111222A,B212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|

22、AB |ABAB xx 2 yy 2 zz 22121212. 点面距离 ： A为平面任一点, 已知 PA 为平面的一条斜线, n 为平面的一个法向量,过 P作平面的垂线 PO,连结 OA就PAO 为斜线 PA和平面所成的角,记为易得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PO| | PA | sin| PA | | cosPA, n| PA| PA n | PA | | n | PA n|.| n|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 线线距离： 求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接运算.设两条异面直线 a 、 b 的公垂线的方向向量为 n , 这时分别

23、在 a 、b 上任取 A、 B 两点, 就向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线 a 、 b 的距离 .即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的数量积的肯定值与公垂线的方向向量模的比值.直线 a 、 b 的距离 d| ABn| AB n|.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| n|n|4. 线面距离 ：一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离 .直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5. 面面距离 ：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载