2022年空间向量知识点归纳总结 2.docx

《2022年空间向量知识点归纳总结 2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年空间向量知识点归纳总结 2.docx（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_uuur uuuruuurr OBOAABav b ;uuur BAuuur OAuuur OBr ar b ;uuur OPr aR运算律： 加法交换律： a加法结合律： ab cbabbac数乘安排律：abab运算法就：三角形法就、平行四边形法就、平行六面体法就3. 共线向量.（1） 假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量, a 平行于 b ,记作 a / b .（2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）, a / b 存在实数 ,使 a b（3） 三点共线： A、B、C 三点共线 ABACOC xOA y

2、OB其中xy1a（4） 与 a 共线的单位向量为a4.共面对量（1）定义：一般的,能平移到同一平面的向量叫做共面对量.说明：空间任意的两向量都是共面的.r rrrr（ 2）共面对量定理：假如两个向量a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的条件是存在实数rrrpxayb .（3）四点共面：如 A、B、C、P 四点共面 APx ABy ACOPxOAyOBzOC 其中 xyz1rr rr5.空间向量基本定理：假如三个向量a, b, c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个空间向量与立体几何学问点归纳总结一学问要点.1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量.注：（1

3、）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算.定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）.x, y 使唯独可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的有序实数组x, y,z,使 pxaybzc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r r rrr rr r r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如三向量a,b,c不共面,我们把 a, b, c叫做空间的一个基底,a,b, c叫做基向量,空间任意可编辑资料 - - - 欢

4、迎下载精品_精品资料_三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.推论：设 O, A, B, C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三个有序实数x, y, z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuuruuuruuuruuur使OPxOAyOBzOC .6. 空间向量的直角坐标系：（1） 空间直角坐标系中的坐标：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在空 间直 角坐 标系 Oxyz 中, 对空 间任 一点 A , 存在唯独的有序实数组 x,y, z , 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OAxi

5、yizk,有 序实 数组 x, y, z叫作向量 A 在空间直角坐标系Oxyz 中的 坐标 , 记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax, y, z, x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 点 A（x,y,z ）关于 x 轴的的对称点为 x,-y,-z,关于 xoy 平面的对称点为 x,y,-z.即点关于什么轴 / 平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反.在 y 轴上的点设为 0,y,0,在平面 yOz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中的点设为 0,y,zr r r可编辑资料 - - - 欢迎下载

6、精品_精品资料_（2） 如空间的一个基底的三个基向量相互垂直, 且长为1,这个基底叫单位正交基底, 用 i ,j , k 表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_示.空间中任一向量 axiy jzk=（x,y,z ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrr（3） 空间向量的直角坐标运算律：r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 arra1, a2 , a3 , bb1,b2 ,b3 ,就 abra1b1 , a2b2 , a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aba1r rb1, a2b

7、2 , a3b3 , aa1,a2,a3 R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a ba1b1rra2b2a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a / ba1b1,a2b2, a3b3R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rraba1b1a2b2a3b30 .uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 A x1, y1, z1 ,Bx2 ,y2 , z2 ,就 AB x2x1, y2y1, z2z1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的

8、坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 定 比 分 点 公 式 ： 如Ax1,y1, z1 ,B x2 ,y2 , z2, APPB , 就 点P坐 标 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x11x2 , y11y2 , z11z2 .推导：设P（x,y,z）就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1, yy1, zz1x2x, y2y, z2z , 明显,当 P为 AB中点时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x1x2 , y1y2

9、22, z1z2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ABC中, A（x1 , y1, z1）, B x2 ,y2 , z2 , C x3,y3 , z3 ,三角形重心P 坐标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x1x23x3 , y1y2 2y3 , z1z2 2z3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ABC的五心：心 P：切圆的圆心,角平分线的交点.AP AB ABAC AC（单位向量）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_外心 P：外接圆的圆心,中垂线的交点.PAPBPC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_垂心 P：

10、高的交点： PA PBPA PCPB PC（移项,积为 0,就垂直）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重心 P：中线的交点,三等分点（中位线比） 中心：正三角形的全部心的合一.AP1 AB 3AC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r（4） 模长公式：如 arrrra1,a2 , a3 , b222b1,b2, b3 ,rrr222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就| a |a aa1a2.rra3, | b | rrb bb1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ra ba1b1a2b2a3b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

11、_精品资料_（5） 夹角公式：cos a br222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | |b |a1a2a3b1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC中AB . AC0 A为锐角AB . AC0 A为钝角,钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6） 两点间的距离公式：如 Ax1, y1 , z1 , B x2 , y2, z2 , uuuruuur 2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就| AB |ABx2x1 y2y1 z2z1,可编辑资料 - - - 欢

12、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A ,B212121或 d xx 2 yy 2 zz 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 空间向量的数量积.uuurrrr uuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量 a, b ,在空间任取一点 O ,作 OAa, OBb ,rrrrr r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就AOB 叫 做 向 量 a 与 b 的 夹 角 , 记 作a, b. 且 规 定 0a, b, 显 然 有可编

13、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a,bb , a.如 a,buuurr,就称 a 与b2uuur相互垂直,记作： ab .rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）向量的模：设 OAa ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作： | a |.rrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 向量的数量积：已知向量a,b,就 | a| | b| cosa, b叫做 a,b的数量积,记作 a b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrrr r即

14、a b|a | | b | cosa, b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rr（4） 空间向量数量积的性质：rrrr rrrr 2rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a e| a | cosa, e. aba b0 . | a |a a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrr（5） 空间向量数量积运算律：rrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a ba ba b. a bb a（交换律）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a bca ba

15、c（安排律）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不满意乘法结合率： 二空间向量与立体几何a bcab c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 线 线 夹 角（ 共 面 与 异 面 ） 0 O ,90O 两 线 的 方 向 向 量n1, n2的 夹 角 或 夹

16、 角 的 补 角 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_coscosn1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3-1 线面夹角0 O ,90O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量 n 的夹角,如为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_锐角角即可,如为钝角,就取其补角.再求其余角,即是线面的夹角 .sincosAP, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

17、下载精品_精品资料_3-2 面面夹角（二面角） 0O ,180O ：如两面的法向量一进一出,就二面角等于两法向量n1 , n 2 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_夹角.法向量同进同出,就二面角等于法向量的夹角的补角.coscosn1, n2uuru可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 点面距离 h ：求点P x0, y0到平面的距离： 在平面上去一点Q x, y ,得向量 PQ ; . 运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面 的法向量 n ;.hP

18、Q. nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离【典型例题】1. 基本运算与基本学问（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1.已知平行六面体 ABCD A B C D ,化简以下向量表达式,标出化简结果的向量.uuuruuur ABBC .uuuruuuruuur ABADAA . ABADuuuruuur1 uuuur2CC . ABADAA .1 uuuruuuruuur3MG例 2.对空间任一点 O 和不共线的三点uuur OPuuur xOAA, B, C ,问满意向

19、量式：yOBzOC （其中 xuuuruuuryz1 ）的四点 P, A, B,C 是否共面？.例 3 已知空间三点 A（0,2,3）, B（ 2, 1, 6）,C（1, 1, 5）.求以向量 AB , AC 为一组邻边的平行四边形的面积uuur uuur如向量 ra 分别与向量 AB, AC 垂直,且 | a | uuur uuurrS.3 ,求向量 a 的坐标.r2. 基底法（如何找,转化为基底运算）3. 坐标法（如何建立空间直角坐标系,找坐标）4. 几何法编号 03 晚自习测试. 17, 18 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.如图,在空间四边形 OABC中,OA

20、求OA与 BC 的夹角的余弦值.8 ,AB6 ,AC4 ,BC5 , OAC45o,OAB60o ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OACB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：由图形知向量的夹角易出错,如uuur uuur OA, AC135o易错写成uuur uuur OA, AC45o,切记；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5.长方体ABCDA1B1C1D1 中,ABBC4 , E 为A1C1 与 B1 D1 的交点, F 为 BC1 与B1C 的交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 AFBE ,求长方体的高 BB1

21、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【模拟试题】1. 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC , BD ,设M ,G 分别是BC , CD 的中点,化简以下各表达式,并标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuuruuuruuur出化简结果向量：（ 1） ABBCCD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）uuur AB1 uuuruuurBDBC . （3）2uuur AG1 uuuruuur ABAC .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知平行四边形 ABCD,从平面 AC 外一点 O引向量.uuuruuur uuuru

22、uur uuuruuur uuuruuurOEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD .（1） 求证：四点 E, F ,G, H 共面.（2） 平面 AC / 平面 EG .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.如图正方体 ABCDA B C D 中, B E111111D F111 A B ,求 BE 与 DF 所成角的余弦.411115.已知平行六面体 ABCDA B C D 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB4, AD3, AA5,BAD90 o ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BAADAA60 o ,求 AC 的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载