2022年线性代数知识点总结汇总 .docx

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1、精品_精品资料_（一）行列式概念和性质线性代数学问点总结1 行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、逆序数： 全部的逆序的总数2、行列式定义： 不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1） ）行列互换（转置） ,行列式的值不变（2） ）两行（列）互换,行列式变号（3） ）提公因式：行列式的某一行（列）的全部元素都乘以同一数k,等于用数 k乘此行列式（4） ）拆列安排：行列式中假如某一行（列）的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和.（5） ）一行（列）乘 k 加到另一行（列）,行列式的值不变.（6） ）两行成比例,行列式的值为 0.（二）

2、重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值 等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace绽开式：（A 是 m 阶矩阵, B 是 n 阶矩阵）,就7、n 阶（ n2）范德蒙德行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数学归纳法证明 8、对角线的元素为 a,其余元素为 b 的行列式的值：（三）按行（列）绽开9、按行绽开定理：（1） ）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2） ）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于 0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（ 1） |kA|=

3、k n|A|（ 2） |AB|=|A| |B|（ 3） |A T|=|A|（ 4） |A -1|=|A| -1（ 5） |A*|=|A|n-1（6） ）如 A 的特点值 1、2、 n ,就（7） ）如 A 与 B 相像,就 |A|=|B|（五）克莱姆法就11、克莱姆法就：（ 1 ） 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 行 列 式 不 为 0 , 那 么 方 程 为 唯 一 解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）假如非齐次线性方程组无解或有两个不同解,就它的系数行列式必为0（3） ）如齐次线性方程组的系数行列式不为0,就齐次线性方程组只有 0 解.假如方程组有非零解

4、,那么必有 D=0.2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法留意事项：（1） ）矩阵乘法要求前列后行一样.（2） ）矩阵乘法不满意交换律. （因式分解的公式对矩阵不适用,但如B=E,O,A-1, A*,fA时,可以用交换律）（3） ） AB=O不能推出 A=O 或 B=O.2、转置的性质（ 5 条）（ 1）（A+B） T=AT+BT（ 2）（kA）T=kAT（ 3）（AB）T=BTAT（ 4） |A| T=|A|（ 5）（AT） T=A（二）矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或 BA=E成立,称 A 可逆, B 是 A 的逆矩阵,记为 B=A-1注： A 可逆的充要条件是 |A| 0 4、逆的性质：（

5、 5 条）（ 1）（kA）-1=1/kA-1 k0（ 2）（AB）-1=B-1A-1（ 3） |A -1|=|A| -1（ 4）（AT） -1=（A-1）T（ 5）（A-1）-1=A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、逆的求法：（ 1） A 为抽象矩阵：由定义或性质求解（ 2） A 为数字矩阵：（A|E）初等行变换 （ E|A-1）（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：（1） ）两行（列）互换.（2） ）一行（列）乘非零常数 c（3） ）一行（列）乘 k 加到另一行（列）7、初等矩阵： 单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵.8、初等变换与初等矩阵的性质：（1） ）初

6、等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2） ）初等矩阵均为可逆矩阵,且 Eij -1=Eij（i,j 两行互换）.Ei-1（ c） =Ei（1/c）（第 i 行（列）乘 c） Eij-1（k）=Eij（-k）（第 i 行乘 k 加到 j）（四）矩阵的秩9、秩的定义： 非零子式的最高阶数注：（ 1） r（A）=0 意味着全部元素为 0,即 A=O（ 2） r（Ann）=n（满秩） |A| 0 A 可逆. r（ A） n|A|= 0A 不行逆.（ 3） r（A）=r（r=1、2、 n-1） r 阶子式非零且全部 r+1 子式均为 0.10、秩的性质：（7 条）（ 1） A 为 mn 阶矩阵

7、,就 r（A） min（m,n）（ 2） r（AB） r（ A）（ B）（ 3） r（AB） minr （ A）,r（B）（ 4） r（kA）=r（A）（k0）（ 5） r（A）=r（AC）（C 是一个可逆矩阵）（ 6） r（A）=r（AT）=r（ ATA）=r（AAT）（ 7）设 A 是 mn 阶矩阵, B 是 ns 矩阵, AB=O,就 r（ A） +r（B） n 11、秩的求法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） A 为抽象矩阵：由定义或性质求解.（ 2）A 为数字矩阵： A初等行变换 阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为 0）,就 r（A）=非零行的行数（五）

8、相伴矩阵12、相伴矩阵的性质： （8 条）（ 1） AA*=A*A=|A|EA*=|A|A -1（ 2）（kA）*=kn-1A*（ 3）（AB）*=B*A*（ 4） |A*|=|A|n-1（ 5）（AT） *=（A* ）T（ 6）（A-1）*=（ A*）-1=A|A| -1（ 7）（A* ）*=|A|n-2A（ 8）r（ A*）=n （r（ A）=n）. r（ A*）=1（r（ A） =n-1）. r（ A*）=0（r（ A） n-1）（六）分块矩阵13、分块矩阵的乘法： 要求前列后行分法相同.14、分块矩阵求逆：3 向量（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（,）=T = T2、长度定义：|

9、 |=3、正交定义：（ ,） = T=T=a1b1+a2b2+anbn=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、正交矩阵的定义： A 为 n 阶矩阵, AAT=E （二）线性组合和线性表示-A1=AT ATA=E |A|=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、线性表示的充要条件：非零列向量 可由1,2, s 线性表示(1) 非齐次线性方程组（ 1,2, s）（x1, x2, xs） T=有解. 2 （r 1, 2, s）=r（ 1, 2, s,）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件： （明白即可）如1,2,s 线性无关, 1

10、, 2,s,线性相关,就 可由1, 2, s 线性表示.7、线性表示的求法：（大题其次步）设1, 2, s 线性无关, 可由其线性表示.（ 1, 2, s| ）初等行变换 （行最简形 | 系数） 行最简形：每行第一个非 0 的数为 1,其余元素均为 0（三）线性相关和线性无关8、线性相关留意事项：（1） ） 线性相关 =0（2） ） 1, 2 线性相关 1, 2 成比例9、线性相关的充要条件：向量组 1, 2, s 线性相关（ 1） 有个向量可由其余向量线性表示.（ 2） 齐次方程（ 1, 2, s）（x1,x2, xs）T=0 有非零解.（ 3）r（1,2, s） s 即秩小于个数特殊的,

11、n 个 n 维列向量 1, 2, n 线性相关（ 1） r（1,2, n）n（ 2） |1, 2, n |=0（ 3） （ 1,2, n）不行逆10、线性相关的充分条件：（1） ）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2） ）部分相关,就整体相关（3） ）高维相关,就低维相关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） ）以少表多,多必相关推论： n+1 个 n 维向量肯定线性相关11、线性无关的充要条件向量组 1, 2, s 线性无关（ 1） 任意向量均不能由其余向量线性表示.（ 2） 齐次方程（ 1, 2, s）（x1,x2, xs）T=0 只有零解（ 3） r（ 1,2, s）

12、=s特殊的, n 个 n 维向量1, 2, n 线性无关r（ 1, 2, n）=n|1,2, n | 0矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1） ）整体无关,部分无关（2） ）低维无关,高维无关（3） ）正交的非零向量组线性无关（4） ）不同特点值的特点向量无关13、线性相关、线性无关判定（1） ）定义法（ 2）秩：如小于阶数,线性相关.如等于阶数,线性无关【专业学问补充】（ 1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩 =列数）,矩阵的秩不变.在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变.（2） ）如 n 维列向量 1,2,3 线性无关, 1,2, 3 可以由其线性表示,即（ 1,2,3）=（1,2, 3）C,就

13、 r（ 1,2,3）=r（C）,从而线性无关.r（ 1, 2, 3） =3 （r C） =3 |C|0（四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯独15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩 :非零子式的最高阶数注:向量组 1, 2, s 的秩与矩阵 A=（1,2, s）的秩相等 16、极大线性无关组的求法（1） ） 1, 2, s 为抽象的：定义法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） 1, 2, s 为数字的：（ 1, 2, s）初等行变换 阶梯型矩阵就每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线

14、性无关组）变换公式：如1, 2, n 与1,2, n是 n 维向量空间 V 的两组基,就基变换公式为（ 1, 2, n）=（1,2, n）Cnn其中, C是从基 1, 2, n 到1, 2, n 的过渡矩阵.C=（1,2, n）-1（1,2, n）18、坐标变换公式：向量在基1,2, n 与基1,2, n 的坐标分别为 x=（x1,x2, xn）T,y=（ y1,y2, yn）T,即=x11 + x2 2 + +xnn =y11 + y22 + +ynn,就坐标变换公式为 x=Cy或 y=C-1x.其中, C是从基 1, 2,n 到 1, 2, n 的过渡矩阵. C=（1,2, n） -1（

15、1, 2, n）（六） Schmidt正交化19、Schmidt 正交化设1, 2, 3 线性无关（ 2）单位化（ 1）正交化令1=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一）方程组的表达形与解向量4 线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、解的形式： 1一般形式(2) 矩阵形式： Ax=b.3向量形式： A=（1,2, n）2、解的定义：如=（ c1,c2,cn）T 满意方程组 Ax=b,即 A=b,称是 Ax=b 的一个解（向量）（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1） ）只有零解 r（A）=n（ n 为 A 的列数或是未知数 x 的个数）（2） ）有非

16、零解r（A） n 4、非齐次方程组：（ 1）无解 r（A） r（A|b ）r（A）=r（A） -1（2） ）唯独解 r（ A） =r（A|b ） =n（3） ）无穷多解 r（A）=r（A|b ）n 5、解的性质：（1） ）如1,2 是 Ax=0的解,就 k11+k22 是 Ax=0 的解（2） ）如是 Ax=0 的解, 是 Ax=b 的解,就 +是 Ax=b 的解（3） ）如1,2 是 Ax=b 的解,就 1-2 是 Ax=0 的解【推广】（1） ）设1,2, s 是 Ax=b 的解,就 k11+k22+kss 为Ax=b 的解 （当ki=1）Ax=0的解 （当ki=0）（2） ）设1, 2,

17、s是 Ax=b 的 s 个线性无关的解, 就2- 1,3- 1, s- 1 为 Ax=0 的 s-1 个线性无关的解.变式： 1-2,3- 2, s-2 2 -1, 3- 2, s-s-1（三）基础解系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、基础解系定义：（1） ） 1, 2, s 是 Ax=0 的解（2） ） 1, 2, s 线性相关（3） ） Ax=0 的全部解均可由其线性表示基础解系即全部解的极大无关组注：基础解系不唯独.任意 n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系. 7、重要结论：（证明也很重要）设 A 施 mn 阶矩阵, B 是 ns 阶矩阵, AB=O（ 1） B

18、的列向量均为方程 Ax=0 的解（ 2） r（A）+r（B） n（第 2 章,秩） 8、总结：基础解系的求法（ 1） A 为抽象的：由定义或性质凑 n-r（ A）个线性无关的解（ 2） A 为数字的： A初等行变换 阶梯型自由未知量分别取 1,0,0.0,1,0.0,0,1.代入解得非自由未知量得到基础解系（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（全部解）设 r（ A） =r, 1, 2, n-r 为 Ax=0 的基础解系,就 Ax=0 的通解为 k11+k22+ +kn-rn-r （其中 k1,k2, kn-r 为任意常数） 10、非齐次线性方程组的通解设 r（ A） =r, 1, 2

19、, n-r 为 Ax=0 的基础解系, 为 Ax=b 的特解,就 Ax=b 的通解为 + k1 1+k22+ +kn-rn-r （其中 k1,k2,kn-r 为任意常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：假如既是方程组 Ax=0 的解,又是方程组 Bx=0 的解,就称 为其公共解12、非零公共解的充要条件：有非零解 方程组 Ax=0 与 Bx=0有非零公共解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13、重要结论（需要把握证明）（1） ）设 A 是 mn 阶矩阵,就齐次方程 ATAx=0与 Ax=0 同解, r（ ATA） =r（ A）（2） ）设 A 是 mn 阶矩阵, r（A）=n

20、,B 是 n s 阶矩阵,就齐次方程 ABx=0 与 Bx=0同解, r（AB） =r（B）5 特点值与特点向量（一）矩阵的特点值与特点向量1、特点值、特点向量的定义：设 A 为 n 阶矩阵,假如存在数 及非零列向量 ,使得 A= ,称是矩阵A 属于特点值 的特点向量.2、特点多项式、特点方程的定义：| E-A|称为矩阵 A 的特点多项式（ 的 n 次多项式）.| E-A |=0 称为矩阵 A 的特点方程（ 的 n 次方程）.注:特点方程可以写为 |A- E|=03、重要结论：（ 1）如为齐次方程 Ax=0的非零解,就 A=0,即 为矩阵 A 特点值=0的特点向量（ 2） A 的各行元素和为

21、k,就1, 1, 1T 为特点值为 k 的特点向量.（ 3）上（下）三角或主对角的矩阵的特点值为主对角线各元素. 4、总结：特点值与特点向量的求法（ 1） A 为抽象的：由定义或性质凑（ 2） A 为数字的：由特点方程法求解5、特点方程法：（1） ）解特点方程 | E-A|=0,得矩阵 A 的 n 个特点值 1, 2, n注： n 次方程必需有 n 个根可有多重根,写作 1=2= = s=实数,不能省略 （2） ）解齐次方程（ iE-A）=0,得属于特点值 i 的线性无关的特点向量,即其基础解系（共 n-r（ iE-A）个解）6、性质：（ 1）不同特点值的特点向量线性无关可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） k 重特点值最多 k 个线性无关的特点向量1n-r（iE-A） ki（3） ）设 A 的特点值为 1,2, n,就|A|= i, i= aii（4） ）当 r（A）=1,即 A=T,其中,均为 n 维非零列向量,就 A 的特点值为1= aii = T=T, 2=n=0（5） ）设是矩阵 A 属于特点值 的特点向量,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AAT（ ）AfA-1P-1AP（相A*似）-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f（）-1|A| 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/P-1（二）相像矩阵7、相像矩阵的

23、定义：设 A、B 均为 n 阶矩阵,假如存在可逆矩阵 P 使得 B=P-1AP,称 A 与 B 相像,记作 AB8、相像矩阵的性质（1） ）如 A 与 B 相像,就 f（A）与 f（ B）相像（2） ）如 A 与 B 相像, B 与 C相像,就 A 与 C相像（3） ）相像矩阵有相同的行列式、秩、特点多项式、特点方程、特点值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4） ）如 A 与 B 相像,就 AB 与 BA 相像, AT 与 BT 相像, A-1 与 B-1 相像, A* 与 B*也相像（三）矩阵的相像对角化9、相像对角化定义：假如 A 与对角矩阵相像,即存在可逆矩阵P,使得 P-1AP=,可

24、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称 A 可相像对角化.注： Ai=ii（i0,由于 P 可逆）,故 P 的每一列均为矩阵 A 的特点值 i的特点向量10、相像对角化的充要条件（ 1） A 有 n 个线性无关的特点向量（ 2） A 的 k 重特点值有 k 个线性无关的特点向量11、相像对角化的充分条件：（ 1） A 有 n 个不同的特点值（不同特点值的特点向量线性无关）（ 2） A 为实对称矩阵12、重要结论：（1） ）如 A 可相像对角化,就 r（A）为非零特点值的个数, n-r（A）为零特点值的个数（2） ）如 A 不行相像对角化, r（ A）不肯定为非零特点值的个数（四）实对

25、称矩阵13、性质（1） ）特点值全为实数（2） ）不同特点值的特点向量正交（ 3） A 可相像对角化,即存在可逆矩阵 P 使得 P-1AP=（ 4） A 可正交相像对角化,即存在正交矩阵Q,使得 Q-1AQ=QTAQ=6 二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一）二次型及其标准形1、二次型：（1） ）一般形式（2） ）矩阵形式（常用）2、标准形：假如二次型只含平方项,即 f（x1,x2, xn） =d x2+d2x22+dnxn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1） ）配方法：可编辑资料 -

26、- - 欢迎下载精品_精品资料_通过可逆线性变换 x=Cy（C 可逆）,将二次型化为标准形.其中,可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到.（ 2）正交变换法：22通过正交变换 x=Qy,将二次型化为标准形 1y12+ y 2+nyn2其中, 1, 2, n 是 A 的 n 个特点值, Q 为 A 的正交矩阵注:正交矩阵 Q 不唯独, i 与i 对应即可.（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p. 负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规范形： f=z12+z2-z2-z2 称为

27、二次型的规范形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、惯性定理：pp+1p+q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变.注：（ 1）由于正负惯性指数不变,所以规范形唯独.（2） ） p=正特点值的个数, q=负特点值的个数, p+q=非零特点值的个数 =r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B 均为 n 阶实对称矩阵,如存在可逆矩阵C,使得 B=CTAC,称 A 与 B 合同 7、总结： n 阶实对称矩阵 A、B 的关系（1） ） A、B 相像（ B=P-1AP）相同的特点值（2） ） A、B 合同（ B=CTAC

28、）相同的正负惯性指数 相同的正负特点值的个数（3） ） A、B 等价（ B=PAQ）r（ A） =r（B）注：实对称矩阵相像必合同,合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型 xTAx,假如任意 x 0,恒有 xTAx0,就称二次型正定,并称实对称矩阵A 是正定矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、n 元二次型 xTAx 正定充要条件：（ 1） A 的正惯性指数为 n（ 2） A 与 E合同,即存在可逆矩阵 C,使得 A=CTC或 CTAC=E（ 3） A 的特点值均大于 0（ 4） A 的次序主子式均大于 0（ k 阶次序主子式为前 k 行前 k 列的行列式） 10、n 元二次型 xTAx 正定必要条件：（ 1） aii0（ 2） |A| 011、总结：二次型 xTAx 正定判定（大题）（ 1） A 为数字：次序主子式均大于 0（ 2） A 为抽象： 证 A 为实对称矩阵： AT=A. 再由定义或特点值判定12、重要结论：（1） ）如 A 是正定矩阵,就 kA（k0）,Ak,AT,A-1, A* 正定（2） ）如 A、B 均为正定矩阵,就 A+B 正定可编辑资料 - - - 欢迎下载