2022年经济数学基础微分学部分综合练习及参考答案 .docx

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1、精品_精品资料_微积分考试复习题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、单项挑选题 1函数 yxlg x的定义域是（ D）D x11 且 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 以下各函数对中 , D ）中的两个函数相等 Df xsin 2 xcos2x , g x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 设f x1 , 就xf f x（ C ） C x 4 以下函数中 为奇函数的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ C） C y x0ln x

2、1 5已知x1f xx tan x1 ,当（ A）时,f x 为无穷小量 .A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 当 x时,以下变量为无穷小量的是（D sin xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 函数f xsin x , x x0 在 x = 0 处连续,就 k = C C 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k,x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 曲线 y1在点（ 0, 1）处的切线斜率为（ A ）A 1 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 曲线ysinx 在点0, 0处的切线方程为（ A）

3、 A. y = x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 设 yl g 2 x ,就 dy（ B） Bdx1xln1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 以下函数在指定区间 , 上单调增加的是（ B） Be x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 设需求量q 对价格 p 的函数为pq p32p,就需求弹性为Ep= （ B ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B32px2,5x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题 1函数f xx21,0x的定义域 -5, 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

4、料_2. 函数f xln x51的定义域是 -5, 2 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如函数f x10 x1x 22x5,就 f xx 26 10 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设 f x,就函数的图形关于 y 轴对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知生产某种产品的成本函数为Cq = 80 + 2 q,就当产量 q = 50 时,该产品的平均成本为 3.66. 已知某商品的需求函数为 q = 180 4p,其中 p 为该商品的价格,就该商品的收入函数 Rq = 45q 0.25q 2可编辑资料 - - - 欢迎下载

5、精品_精品资料_7. lim xxsin xx18已知f x1sin xx ,当 x0时,f x 为无穷小量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 已知f xx 21x1 ax1 ,如 fx1 x 在, 内连续,就 a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 曲线 yx 在点x11, 1处的切线斜率是y 10.5 11函数 yp3 x1) 2 的驻点 是p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12需求量 q 对价格 p的函数为q p100e 2 ,就需求弹性为 Ep2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

6、精品资料_三、运算题 1已知 y2 xcos x ,求xy x 2已知f x2x sin xln x ,求f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 已知 yc o s2 xsi nx 2 , 求y x 4 已知 yln 3 xe 5x , 求y x 5 已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y52 cos x ,求y .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6设 ydy ecos2 xxx ,求dy 7设 yesin xcos5x ,求dy 8设 yt anx32 x ,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

7、载精品_精品资料_四、应用题 1设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：C x1000.25x 26x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（万元） ,求：（ 1）当 x10 时的总成本、平均成本和边际成本.（2）当产量 x为多少时,平均成本最小？2某厂生产一批产品,其固定成本为2022 元,每生产一吨产品的成本为60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_元,对这种产品的市场需求规律为q100010 p（ q 为需求量, p 为价格）试求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 成本函数,收入函数（ 2）产量为多少吨时利润最大？ 3某厂生产某种产品 q 件时的

8、总成本函数为 Cq = 20+4q+0.01q2（元）,单位销售价格为p = 14- 0.01q（元 /件）,试求：（ 1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为C q0.5q236q9800 （元） .为使平均可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成本最低,每天产量应为多少？此时,每件产品平均成本为多少？2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知某厂生产 q 件产品的成本为 C q25020qq10（万元）问要使平均成本可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

9、品资料_最少应生产多少件产品？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、运算题 1解：y x2 xcos x 2 x ln 2x sin xcos x2 x ln 2xsin xcos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 解f x2 x ln 2sin x2x cos xxx2x21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 解y xsin 2x 2 x cosx 2 x 2 2 x sin 2 x ln 22 x cos x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 解：y x3ln 2xln xe 5x 5x3ln 2 x x5e 5

10、x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 解：由于 y52 cos x 52cos x ln 5 2cosx2 sin x52cosxln 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 y 22 sin 2 cos522ln 52 ln 511可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 解：由于 y2ecos 2 x sin 2 x3 x 2 所以dy 22ecos 2x sin 2x3 x 2 dx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 解：由于 yesin x sin x5 cos4xcosxesin x cos x5 cos4xsin x

11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 dyesin x cosx15 cos4 xsin xdx3 x 23 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 解：由于 ycos2x3 x32 x ln 2xcos 2 x32 x ln 2 所以 dycos 2 x32 x ln2) dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四 、 应 用 题 1 解 （ 1 ） 因 为 总 成 本 、 平 均 成 本 和 边 际 成 本 分 别 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C xC x100100x0.25x 20.25x6x6 , Cx0.5 x6

12、所以,C101000.25102610185可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C10100100.2510618.5 , C100.510611 （ 2）令C x100x 20.250 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得x20 （ x20 舍去）由于 x20 是其在定义域内唯独驻点,且该问题的确存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最小值,所以当 x20 时,平均成本最小 .2解（ 1）成本函数 C q = 60q +2022由于 q100010 p ,即 p1001 q , 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以收入函数 Rq

13、= pq =100110q q =100q1 q 2 101212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由于利润函数 L q = R q - C q = 100qq - 60 q +2022 = 40q -1010q -2022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且L q =40 q - 110q 2 -2022 =40-0.2 q 令 L q = 0,即 40- 0.2 q = 0 ,得 q = 200,它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是L q 在其定义域内的唯独驻点所以,q = 200 是利润函数 L q 的最大值点, 即当产量为 200 吨

14、时利润最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.（1）由已知 Rqpq140.01q14q0.01q 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利润函数 LRC14q0.01q2204q0.01q 210q200.02q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就L100.04q ,令 L100.04q0 ,解出唯独驻点 q250 .由于利润函数存在着可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最大值,所以当产量为250 件时可使利润达到最大,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 最大利润为L25010250200.0225022500201

15、2501230 （元）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4解由于CqCq0.5q369800q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_qq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C q0.5 q369800 0.59800令C q0 ,即 0.59800=0,得 q=140, q= -140可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2qq（舍去） .q 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q1 =140 是Cq 在其定义域内的唯独驻点,且该问题的确存在最小值 . 所以 q1=140 是平均成本函数 Cq 的最小值点,即为使平均成本最低,每

16、天产量应为 140 件. 此时的平均成本为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 1400.5140369800140176 （元/件）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5解由于 Cq = C q = 25020qC q = 25020q =2501可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_qq10q102q10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2令C q =0,即 25010 ,得 q150 , q2 =-50（舍去）, q1 =50 是Cq 在其定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q10义域内的唯独驻点所以, q1 =50 是Cq

17、 的最小值点,即要使平均成本最少,应生产50 件产品 积分学一、单项挑选题1. 在切线斜率为 2x 的积分曲线族中,通过点（ 1, 4）的曲线为 （ A y = x2 + 32. 以下等式不成立的是（ A exdxdex xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如 f xdxe 2c ,就 f x =（ D.1 e 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 以下不定积分中,常用分部积分法运算的是（C x sin 2xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如1f xe x dx1e xc ,就 f x =（ C 1x 2x可编辑资料 - -

18、- 欢迎下载精品_精品资料_6. 如F x 是f x 的一个原函数,就以下等式成立的是 Bf xdxaF xF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 以下定积分中积分值为0 的是（ A 1 ex 1edx 8以下定积分运算正确选项x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（Dsin xdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19以下无穷积分中收敛的是（C1 dx 10无穷限积分x211x3dx =（C 12可编

19、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题 1 d任意常数 x 2e dxe x2 dx 2函数f xsin 2 x的原函数是 -1 cos2x + c c 是2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 如f x存 在 且 连 续 , 就 df xf x4 如f xdxx1 2c , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xf x2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5如f x dxF xc ,就e x f ex dx =F ec 6 ddxe ln x 211dx0可编辑资料 - - - 欢迎

20、下载精品_精品资料_x17积分21 x1 2 dx08无穷积分0 x11 2dx 是收敛的 （判别其敛散性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9设边际收入函数为 R q = 2 + 3q,且 R 0 = 0,就平均收入函数为 2 +3 q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、运算题 1x 24x2dx 解x24x2dx=x2dx = 1 x222xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 运算sin 1x dxsin 1解x dx1 1cos 1c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x 2sindxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载

21、精品_精品资料_3. 运算2 x dx解x2 x dxx2 2 x dx2 2 xc ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 运算x sin xdx解x sinxdxxcos xcos xdxx cos xsin xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 运算 x1ln xdx 解 x11ln xdx =x 21 x21) 2 ln x1 x21 2dxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=212 e x x22 xln xxc 4122 ex21111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

22、资料_6. 运算e271 x 21dx 解dx 解1 x2 e2dx =1ex d1xe2dx =e xe11d1e 2ln x = 2 1e2ln x= 231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 1ln x1x 1ln x11ln x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 2 x cos2xdx解：2 x cos 2 xdx =xsin 2x 2 -12 sin 2 xdx= 1 cos2x 2 =1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_100202 0402可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e 19ln x01dx解法一e 1ln x

23、01dxx ln x1 0e 1xdx = e110x1e 1 110xdx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e=e1 xln x1e 1 lne=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0四、应用题 1投产某产品的固定成本为36万元 ,且边际成本为C x=2x +可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_40万元 /百台. 试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 当产量由 4 百台增至 6 百台时,总成本的增量C

24、100（万元）x62x440dx = x2640x=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 CxC xdx0xc0 = x 240x x36 = x4036x令 C x136x20 , 解得 x6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x = 6 是惟一的驻点,而该问题的确存在使平均成本达到最小的值所以产量为6 百台时可使平均成本达到最小 .2已知某产品的边际成本C x=2 （元 / 件）,固定成本为0 ,边际收益R x=12- 0.02x,问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么变化？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

25、_解 由于边际利润500L xR xC x =12- 0.02x2 = 10- 0.02x 令L x = 0,得 x =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x = 500 是惟一驻点,而该问题的确存在最大值 . 所以,当产量为 500 件时,利润最大.当产量由 500 件增加至 550 件时,利润转变量为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_550L105000.02xdx10x0.01x 2550500=500 -525 = - 25 （元）即利润将削减 25 元.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 生产某产品的边际成本为 C x=8x万元 /百台,边

26、际收入为 R x=100- 2x（万可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_元/百台）,其中 x 为产量,问产量为多少时,利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台,利润有什么变化？解 L x = R x - C x = 100 2x 8x =100 10x 令L x=0, 得 x = 10（百台）又 x = 10 是 Lx的唯独驻点,该问题的确存在最大值,故x = 10 是 Lx的最大值点,即当产量为 10（百台）时,利润最大 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12又 LL10 xdx121001010xdx100x5x 2 121020 即从利润最大时的产量再生产

27、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_百台,利润将削减 20 万元.4. 已知某产品的边际成本为C q4q3 万元/百台, q 为产量 百台,固定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成本为 18万元,求最低平均成本 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于总成本函数为Cq4 q3dq = 2q 23qc 当q = 0 时, C0= 18,得 c =18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 C q = 2q23q18又平均成本函数为A qCqq2q318q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

28、精品资料_令 A q218q 20 , 解得q = 3 百台该题的确存在使平均成本最低的产量 .所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以当 q = 3 时,平均成本最低 . 最底平均成本为A32331839 万元/百台可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 设生产某产品的总成本函数为C x3x 万元,其中 x 为产量,单位：百可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_吨销售 x 百吨时的边际收入为R x152x （万元/百吨）,求： 1 利润最大时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的产量. 2 在利润

29、最大时的产量的基础上再生产1 百吨,利润会发生什么变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化？解： 1由于边际成本为C x1,边际利润L xR xC x= 14 2x 令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_L x0 ,得 x= 7由该题实际意义可知, x= 7 为利润函数 Lx的极大值点,也可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_87是最大值点 . 因此,当产量为 7 百吨时利润最大 . 2当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时,利润转变量为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8L147元.2xdx14xx2 =11264 98 + 49= - 1 （万

30、元）即利润将削减 1 万可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线性代数 一、 单项挑选题 1设 A 为 3（ ）可以进行 .A AB2 矩阵, B 为 23 矩阵,就以下运算中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设A, B 为同阶可逆矩阵,就以下等式成立的是（B.AB TBT AT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 以下结论或等式正确选项（） C对角矩阵是对称矩阵4. 设 A是可逆矩阵,且 AABI ,就 A 1（ C. IB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 设 A12, B13 , I 是单位矩阵,就AT BI （D2325可

31、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12036设A0013,就 rA =（C2 7设线性方程组AXb 的增广矩阵通2413可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过初等行变换化为个数为（ A 113126013140002100000,就此线性方程组的一般解中自由未知量的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 线性方程组x1x2x1x21解的情形是（ A. 无解0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 如线性方程组的增广矩阵为 AB 1212210,就当 （）时线性方程组无解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 设线性方程组Am

32、n Xb有无穷多解的充分必要条件是（D r Ar An可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设线性方程组 AX=b 中,如 r A, b = 4 ,rA = 3 ,就该线性方程组（ B 无解正确答案： B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 设线性方程组 AXb 有唯独解,就相应的齐次方程组AXO （ C只有零解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题 1如矩阵 A =12 ,B = 231 ,就 ATB=231462可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设矩阵 A12,I 为单位矩阵,就 I 43AT ： 0422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设A, B 均为 n 阶矩阵,就等式 AB 2A22 ABB 2 成立的充分必要条件是A, B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是可交换矩阵102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设 Aa031231,当 a0时, A 是对称矩阵 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 设A, B 均为 n 阶矩阵,且 IB 可逆,就矩阵 ABXX 的解 X= IBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设 A为n 阶可逆矩阵,就 r A=n