2022年等差数列知识点及类型题.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、数列由 an 与 Sn 的关系求 a n学习好资料欢迎下载等差数列学问点及类型题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 Sn 求 an时,要分 n=1 和 n 2 两种情形争论,然后验证两种情形可否用统一的解析式表示,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如不能,就用分段函数的形式表示为S1anSnSnn1.1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1依据以下条件,确

2、定数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an分析：0, an222Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将无理问题有理化,而后利用an 与 Sn 的关系求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一种是利用定义,anan 1d 常数 n2 ,其次种是利用等差中项,即2anan 1an 1 n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、解挑选题、填空题时

3、,亦可用通项或前n 项和直接判定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）通项法：如数列a n 的通项公式为n 的一次函数,即an =An+B,就a n 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）前 n 项和法：如数列a 的前 n 项和S 是 SAn2Bn 的形式（ A, B 是常数）,就 a 是等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn列.注： 如判定一个数列不是等差数列,就只需说明任意连续三项不是等差数列即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知数列 a 的前 n 项和为S ,且满意 SS2SS0 n12,

4、 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求证： 1Snnn 是等差数列.nn 1nn 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求an 的表达式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n【变式】 已知数列 an的各项均为正数,a1 1.其前 n 项和 Sn 满意 2Sn 2pa2 an pp R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 -

5、- - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 an 的通项公式为 （二）等差数列的基本运算学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、等差数列的通项公式a= a +（ n-1 ） d 及前 n 项和公式 Sna1an nan n1) d ,共涉及五个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n212量 a1 , an , d,n,Sn , “知三求二”,表达了用方程的思想 解决问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而们表示已知和未知是常

6、用方法.a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 由于 Snd nadan1) d,故数列 Sn 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n222n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3已知数列 x 的首项x =3,通项 x2n pnqnN, p ,q为常数 ,且x , x , x 成等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求：（ 1）n1np, q 的值.145可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）数列 xn 的前 n 项和Sn 的公式.可编辑资料 - - - 欢

7、迎下载精品_精品资料_分析： （1）由x1 =3 与 x1 , x4 , x5 成等差数列列出方程组即可求出p, q .（ 2）通过xn 利用条件分成两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可求和的数列分别求和.（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,如 d0, 就数列递增.如d0,d0, 且满意an an 10,前 n 项和0Sn 最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 a10 ,且满意an an 10,前 n 项和0Sn 最小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）除上面方法外,仍可将an 的前 n 项和的最值问题

8、看作数的图象或配方法求解,留意nN.Sn 关于 n 的二次函数最值问题,利用二次函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4在等差数列an 中,a16a17a18a936 ,其前 n 项和为Sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求Sn 的最小值,并求出Sn 取最小值时n 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求 Tna1a2an .an0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：（ 1）可由已知条件,求出a1,d, 利用（ 2）将前面是负值的项转化为正值求解即可.例 5已知

9、数列 an 是等差数列.an 1求解,亦可用0Sn 利用二次函数求最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 am（ 2）如 Smn, an n, Snmmn, 求a m n ;mmn, 求Sm n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式】 已知数列 an 的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的n N* ,满意关系式2Sn 3an 3.1求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料

10、- - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设数列 bn 的通项公式是bn1log3anlog 3an1,前 n 项和为 Tn,求证：对于任意的正整数n,总有 Tn0 , an an 1 2,于是 an 是等差数列,故an 1 n 1 2.（二）等差数列的基本运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、等差数列的通项公式a= a +（ n-1 ） d 及前 n 项和公式 Sna1an nan n1d ,共涉及五个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

11、_精品资料_n1n122量 a1 , an , d,n,Sn , “知三求二”,表达了用方程的思想 解决问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而们表示已知和未知是常用方法.a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 由于 Snd nadan1) d,故数列 Sn 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n222n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3已知数列 x 的首项x =3,通项 x2n pnqnN, p ,q为常数 ,且x

12、 , x , x 成等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求：（ 1）n1np, q 的值.145可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）数列 xn 的前 n 项和Sn 的公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： （1）由x1 =3 与 x1 , x4 , x5 成等差数列列出方程组即可求出p, q .（ 2）通过xn 利用条件分成两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可求和的数列分别求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答 ：（ 1）由x1 =3 得 2 pq3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

13、料_又 x2 4 p4q , x25 p5q, 且xx2x,得 325 p5q25 p8q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_45154由联立得p1,q1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由（ 1）得 xn2 n n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,如 d0, 就数列递增.如d0, 就数列递减.如d=0, 就数列为常数列. 2、等差数列的简洁性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知数列 an 是等差数列,Sn 是其前 n 项和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

14、品_精品资料_（ 1）如 m+n=p+q,就 amanapaq , 特殊：如 m+n=2p,就 aman2a p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） am ,am k , am2k , am3k ,仍是等差数列,公差为kd;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - -

15、 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）数列Sm , S2 m -Sm , S3m -S2 m ,L也是等差数列.S 奇a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4如等差数列的项数为 2 n nN,就 S 偶S 奇nd,S 偶.a n 1S奇n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）如等差数列的项数为2n1 nN,就 S2n 12n1 an ,且 S奇S 偶a n ,S偶n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6） 假如数列a n , bn是等差数列,就数列can , can , a

16、nbn ,panqbn也是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（其中 c、p、q 均为常数）.典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1等差数列a n中, 如 Sn25, S2n100 ,就S3 n 225 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. （厦门）在等差数列an中,a2a84 , 就 其前 9 项的和 S9 等于（ A）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 18B 27C 36D 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、（全国卷理）设等差数列an的前 n 项

17、和为Sn ,如S972 , 就 a2a4a9 = 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、等差数列 a n的前 m 项和为30,前2m 项和为 100,就它的前3m 项和为 CA130B170C210D160可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 湖北卷 已知两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别为AnAn和 Bn ,且Bn7 n45n3,就使得an为整数的bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正整数 n 的个数是（D）A 2B 3C 4D5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、已知方程2 2x m x2 2xn 0 的四个根

18、组成一个首项为1的等差数列,就|m n|的值等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x4如下列图, 易知抛物线y x2 2xm 与 y x2 2x n 有相同的对称轴x 1,它们与 x 轴的四个交点依次为A、B、C、D .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 xA17, 就 xD . 4435可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又|AB | |BC | |CD|,所以 xB 4, xC 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故|m n| |14734 4514| 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、在等差数列an中, a1 3,11a5 5a8 13,就数列 an的前 n 项和 Sn 的最小值为 设公差为d,就 11 34d 5 3 7d13,. d 59 数列 an为递增数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 an 0, 3 n 15 0, n 32,95可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n N* .