插值计算与插值多项式.ppt

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1、第6章插值计算与插值多项式,Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式)； 牛顿（Newton）插值及余项、差商的定义与性质; 埃尔米特(Hermite)插值公式及余项； 等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条插值。,插值问题描述,设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值： 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。,y=f(x),y=p(x),简单的说，插值的目的就是根据给定的数据表，寻找一个解析形式的函数p(x)，近似代替f(x),6.1 插值法的数学描述 设函数y=f(

2、x) 在区间a, b上连续, 是 a, b上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 ,即 若存在一个f(x)的近似函数 ,满足 则称 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点 xi为插值节点, R(x)= 称为插值余项, 区间 a, b称为插值区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插,插值的几何意义,6.2 拉格朗日（Lagrange）插值 为了构造满足插值条件 (i=0,1,2,n ) 的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形, 然后再推广到一般形式。 6.2.1 线性插值与抛物插值 （1）线性插值 线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数

3、 f(x)在两个互异的点 ， 的值， ,现要求用线性函数 近似地代替f(x)。选 择参数a和b, 使 。称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数 。,线性插值,线性插值多项式,由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为 它也可变形为 显然有：,记,可以看出,的线性组合得到，其系数分别为 ，,称 为节点 , 的线性插值基函数,线性插值基函数,满足下述条件,并且他们都是一次函数。,注意他们的特点对下面的推广很重要,于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合,例6.1 已知 , , 求,解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线性插值,例6.2 已知y=f(x)的

4、函数表 求线性插值多项式, 并计算x=1.5 的值,X 1 3 y 1 2,解: 由线性插值多项式公式得,这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点 的抛物线 近似代替曲线 , 如下图所示。因此也称之为抛物插值。,（2） 抛物插值 抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2，要构造次数不超过二次的多项式,使满足二次插值条件：,抛物插值函数,因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。,为了与下一节的Lagrange插值公式比较,仿线性插值,用基函数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题： 求二次式 ,使其满足条件

5、：,这个问题容易求解。由上式的后两个条件知: 是 的两个零点。于是,再由另一条件 确定系数,从而导出,P(x)的参数 直接由插值条件决定， 即 满足下面的代数方程组：,该三元一 次方程组 的系数矩阵,的行列式是范德蒙行列式，当 时， 方程组的解唯一。,类似地可以构造出满足条件： 的插值多项式,及满足条件： 的插值多项式,这样构造出来的 称为抛物插值的基函数,取已知数据 作为线性组合系数,将基函数 线性组合可得,容易看出,P(x)满足条件,例6.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式,求,(x0 x1)(x0 x2),(xx1)(xx2),y0,+,(x1x0)(x1x2),(

6、xx0)(xx2),y1,+,(x2x0)(x2x1),(xx0)(xx1),y2,p2(7) =,x0=1, x1=4, x2=9,y0=1, y1=2, y2=3,(14)(19),(74)(79),* 1,+,(41)(49),(71)(79),* 2,+,(91)(94),(71)(74),* 3,= 2.7,p2(x) =,例6.4 已知函数y=f(x)在节点上满足 x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2 使之满足 p(xi) = yi i=0, 1, 2 解: 用待定系数法, 将各节点值依次代入所求多项式, 得,解上述

7、方程, 将求出的a0, a1, a2 代入 p(x) = a0 + a1x + a2x2 即得所求二次多项式,我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式p2(x) 。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式pn(x) ，如下所示：,已知n+1个节点处的函数值,求一个n次插值函数,满足,6.2.2 拉格朗日插值多项式,构造各个插值节点上的基函数 满足如下条件,与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项式 的插值问题,使其在各节点 上满足,即:,由条件 ( )知, 都是n次 的零点,故可设,其中 为待定常数。

8、由条件 ,可求得,于是,代入上式,得,称 为关于基点 的n次插值基函数(i=0,1,n),以n+1个n次基本插值多项式 为基础,就能直接写出满足插值条件 的n次代数插值多项式。 事实上，由于每个插值基函数 都是n次值多项式,所以他们的线性组合,是次数不超过n次的多项式 , 称形如上式的插值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为,例6.5 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式,解:由Lagrange 插值公式,（给定的三个点在一条直线上）,例6.6 已知f (x)的观测数据 x 0 1 2 4 f (x) 1 9 23 3 构造Lagrange插值多项式,解 四个点可构造三次

9、Lagrange插值多项式:基函数为,Lagrange插值多项式为,为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式可改写成,例6.7 已知f(x)的观测数据,x 1 2 3 4 f(x) 0 -5 -6 3,构造插值多项式,解: 四个点可以构造三次插值多项式, 将数据 代入插值公式，有,这个例子说明p(x)的项数不超过n+1项，但可以有缺项。,x0 x1 xixi+1 xn-1 xn,y=f(x),y=p(x),a,b,在插值区间a, b上用插值多项式p(x)近似代替f(x), 除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。,若记 R (x) = f(x) - p(x) 则 R(x) 就

10、是用 p(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称 插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。,6.2.3 插值多项式的误差,定理 设f(x)在a, b有n+1阶导数， x0, x1, xn 为 a, b上n+1个互异的节点, p(x)为满足 p(xi) = f(xi) (i=1,2, , n)的n 次插值多项 式， 那么对于任何x a, b有插值余项,其中,ab 且依赖于x,0，使得| | x(a,b),由于 (x)一般无法确定，因此式R(x)只能用作余项估计。如果,在区间(a,b)上有界，即存在常数,则有余项估计,对于线性插值，其误差为 对于抛物插值（二次插值），其误差为,例6.8 已知 =100, =121, 用线性插值估计 在x=115时的截断误差,解: 由插值余项公式知,因为,例6.9 已知x0=100, x1=121, x2=144,当用抛物插值求 在x=115时的近似值，估计其的截断误差,解,=,例6.10 设f(x)=x4, 用余项定理写出节点 -1, 0, 1, 2的三次插值多项式,解: 根据余项定理,