2022年最新冲刺高考数学二轮复习核心考点：利用函数的图像探究函数的性质 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 专题 03 利用函数的图像探究函数的性质【自主热身,归纳提炼】1、作出以下函数的图象：11 y 22 x；2 ylog 1 3 x2 ；3 3 y|log 1 x|. 2【思路点拨】：搞清各个函数与基本函数之间的关系,然后用图象变换法画函数图象3 作 ylog1x 的图象关于y 轴对称的图象,得ylog1x 的图象,再把x 轴下方的部分翻折到x 轴22上方,可得到y|log1 x| 的图象如图3. 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 作函数图象的一般步骤为

2、：1 确定函数的定义域2 化简函数【解析】式3 争论函数的性质如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等 以及图象上的特别点 如极值点、与坐标轴的交点、间断点等 、线 如对称轴、渐近线等 4 挑选描点法或图象变换法作出相应的函数图象2采纳图象变换法时,变换后的函数图象要标出特别的线如渐近线 和特别的点,以显示图象的主要特征,处理这类问题的关键是找出基本函数,将函数的【解析】式分解为只有单一变换的函数链,然后依次进行单一变换,最终得到所要的函数图象2、 假设函数的值域是 4, ,就实数 a 的取值范畴是【答案】： 1 a 2【解析】作出函数的图象,易知当 x2 时,要使 f x 的值域为 4,

3、 ,由图可知,明显 a 1 且,即 1 a23、 已知函 数 f x | 2 x2 x 1,2 ,就函数 yf x1 的值域为 _【答案】 0,2 解法 1 由于平移不转变值域,故只需要争论原函数的值域画出函数f x |2x2| 的图像由以下图易得值域为 0,22 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法 2 由于 x 1,2 ,所以2 x1 2,4 ,2x2 3 2,2 ,所以 |2x2| 0,2由于 yf x1是由 f x 向右平移 1 个单位得到的,所以值域不变,所以yf x1 的值域为 0,2 4、已知 f

4、x 是定义在 R 上的偶函数,且对于任意的 x0 , ,满意 f x2 f x假设当 x0,2 时, f x | x 2 x1| ,就函数 yf x1 在区间 2,4 上的零点个数为 _【答案】： 7 【解析】：作出函数 f x 的图像 如图 ,就它与直线 y1 在 2,4 上的交点的个数,即为函数 yf x 1 在 2,4 的零点的个数,由图像观看知共有 7 个交点,从而函数 yf x1 在 2,4 上的零点有7 个 5 、已知函数 f x 4,xm,假设函数 g x f x 2x 恰有三个不同的零点,就实数mx24x 3,xm.的取值范畴是 _【答案】 1,2 解法 1 问题转化为 g x

5、 0,即方程 f x 2x有三个不同的解,即xm,或xm,解解得42xx24x32x,得xm,或xm,或xm,由于方程f x 2x 有三个不同的解,所以2 m,1m,x2x 1x 3.3m,1m2.解法 2 由题意知函数g x 42x,xm,画出函数 y42x 和 yx22x3 的图像,可知x22x3,xm.函数 g x 的三个零点为3,1,2 ,因此可判定m在 1 与 2 之间当 m1 时,图像不含点1,0,不合题意；当 m2 时,图像包含点2,0 ,符合题意所以1m2.3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、

6、已知直线ykx1 与曲线f x x1 x x1 x恰有四个不同的交点,就实数k 的取值范畴为_【答案】1 8,0,12x,x 1,1 12x,1x0,【解析】：由题意得 f x xx xx是偶函数,且 f x 2x, 0 x02 2时,要使它们有四个公共点,就需 ykx1 与 yx x 1 有一个公共点,此时 kx1x,即方1程 kx 2x 20 有两个相等的实数解,从而 18k0,解得 k8；当 k0, 其中 e 为自然对数的底数 有 3 个不同的零点,就实x33mx2,x0数 m的取值范畴是 _【答案】 1 , 1解法 1 直接法 当 x0 时,令 fxex2 0,解得 x ln 20,此

7、时函数 fx 有 1 个零点,由于要求函数 fx 在 R上有 3 个不同的零点,就当 x0 时, f x x 33mx2 有 2 个不同的零点,由于 f x 3x 23m,令 f x 0,就 x 2 m0,假设 m0,就函数 f x 为增函数,不合题意,故 m0,所以函数 f x 在 ,m 上为增函数,在 m,0 上为减函数,即 f x max f m m m3m m22m m2,f 0 20,即 m1,故实数 m的取值范畴是 1 , 1解法 2 别离参数 当 x0 时,令 fx ex20,解得 xln 20,此时函数 fx 有 1 个零点,由于要求函数 fx 在 R上有 3 个不同的零点,就

8、当 x0 时, f x x 33mx2 有 2 个不同的零点,即 x 3 3mx2 2 2 2x 31 20,明显 x0 不是它的根,所以 3mx 2x,令 y x 2x x0 ,就 y 2xx 2x 2,当 x , 1 时, y0,此时函数单调递增,故 ymin 3,因此,要使 f x x 33mx 2 在 , 0 上有两个不同的零点,就需 3m3,即 m1. 解后反思 已知函数零点的个数,确定参数的取值范畴,常用的方法和思路：1 直接法：直接依据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范畴2 别离参数法：先将参数别离,转化成求函数值域问题加以解决,解法 2 就是此法它的本质就是

9、将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题加以处理,这样就可以通过这种动静结合便利地争论问题3 数形结合法：先对【解析】式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解这里采纳方法是 1 和 3 的结合【关联 6】、 已知函数 的图象恰好经过三个象限,就实数 a的取值范畴是【答案】：a0 或 a2【思路点拨】 ：由于是分段函数,当 a 0 和 a 0 时,一次函数的图象不同,故要分两种情形争论,由函数【解析】式结构特点知 a 0 时,函数图象过三个象限,问题就变成了考虑 a 0 的情形,也就是 由题意 的图象需经过第一、二象限,有两种思路：思路 1,别离参数后,转化两个

10、函数图象在 y 轴右侧的图象有公共点且不相切,找到临界切线位置；思路 2,转化不等式的存在性问题,别离参数后,转化求最值问题,最终求得 a 的取值范畴 . 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【 解 析 】 当a 0时 ,的 图 象 经 过 两 个 象 限 ,在0, +恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a0 时明显满意题意；当 a0 时,的图象仅经过第三象限,y P l 0 由题 意的图象需经过第一、二象限【解法 1】图像法与 yax 在 y 轴右侧的图象有公共点且不相切 O x 图 14 1如图, =,设切点坐

11、标为0l,y3 x21,就有,解得x01, 所以临界直线的斜率为 2,所以 a2 时,符合综上,a0 或 a28 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - g x在0,1单调递减,在1,2单调递增,又x2时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以 a 2,就实数 a 的取值范畴为 a0 或 a2解后反思： 填空题中的函数问题,可优先挑选利用数形结合思想,通过别离参数、别离函数等途径转化为两函数图像的关系问题处理解法一中也可以转化为：与 y a 在 y 轴右侧的图象有公共点且不相切 易求出此时 a2,就实数 a 的取值范畴

12、为 a 0 或 a 2例 3 、 已 知 函 数, 假 设 存 在 实 数a、b、c、d, 满 足fd,其中,就abcd的取值范畴是 . 【答案】：21,24【思路点拨】 ：由存在实数 a、b 、c 、d ,满意f d得,存在一条平行于x轴的直线与函数f x 的图象有四个不同的交点,从而得到a b c d 之间所存在的关系,利用这一关系求得abcd 的取值范畴；【解析】：如图,由图形可知0a1, 1b3,就,log b ,ab1,由于,所以3xx54或 6x7,由于 c,由得d ,且二次函数的图象的对称轴为cc ,故,故 34且d10易错警示：此题中最简单忽视的是c的取值范畴,从而导致出错；【

13、变式1】、已知函数假设存在实数9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - abc,满足,就【答案】：2e212的最大值是【思路点拨】：依据函数【解析】式,可以结合函数的图象得出转化为一元函数问题,进而利用导数学问解决 . 解题过程：作函数 f x 的图象如下：a , b , c 的关系,利用消元思想将问题根 据 题 意 , 结 合 图 象 可 得ab6,ec2 e, 且ec2 e以所,令就,易得g c在2 e , e上递增,又因 为,依据零点存在性定理可得存在唯独x 0e2 ,e,使得g x 00,从而函数gc的减区间是

14、e , x 0,增区间是10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 x 0,e,又因为,就所以在e,e 2上的最大值是2 e212解后反思：此题以分段函数为背景,考查了导数学问在解决函数综合问题中的应用,以及数形结合,化归与转化等重要数学思想. 假设存在【 变式2 】、已知函数x x 2R ,当1时,解得x 18,当x 18,就x f x 2的取值范畴为【解析】： 由于,令时,画出函数f x 的图象,易知1x 13,所以就此时取得最大值256 27,33x 11时取得最小值3,256 27】、设函数所以x f x

15、 2的取值范畴是3,【关联,假设存在x 1x 21,0,使fx和gx成立,就实数a 的取值范畴为. 【答案】：,14的值域, 再依据条件建立这两个函数值域之间的关系并求出【思路点拨】 ：先分别求出函数实数a的取值范畴 . 【 解 析 】： 对 于 函 数fx, 当x0 ,1时 ,； 当x11, 时 ,22,从而当x01, ,函数fx的值域为D 10 1,；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于函数g x,由于0x1,所以,从而当x0 1,函数gx的值域为1a40；时由于存在x 1x20 1,使,就2,所以,

16、 a0或2a1,解之得0a1或a假设,2所以当fx时,1a4,即所求是实数a 的取值范畴是,14. 和函数gx出色点评：此题求函数的值域并不困难,关键在于先求实数a的取值范畴, 再用补集的思想实数a的取值范畴, 从而得到此题的最终【答案】,这种正难就反的思想期望同学们把握. 假设 abc 且 f a f b f c ,就 ab1c的|log 4x ,04,取值范畴是 _. 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1|2 x3| ,1 x2,例 3、已知函数f x是定义在 1 , 上的函数,且f x 1 2f1 2

17、x ,x2,就函数y2xf x 3 在区间 1,2 015上的零点个数为_【答案】 11 32x 2,1 x2,x解法 1 由题意得当 1 x2 时, f x 3设 x 2 n 1,2 n n N * ,就 2n 142x,2x2. 1 11,2 ,又 f x2 n1f 2 n 1x ,当 2 n 1 1,x 32时,就 x2 n1, 3 2 n2 ,所以 f x 2 1n1f 2 1n1x 2 1n1 22 1n1x2 ,所以 2xf x 3 2x2 1n1 22 1n1x2 30,整理得 x 22 2 n 2x3 2 2n4x3 2 n2 或 x 2 n 2. 由于 x2n1, 3 2 n

18、2 ,所以 x3 2 n2；13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 下面证明：当x 2n1,2n 时, y2xf x3 只有一个零点当 x2 n 1, 3 2 n 2 时, yf x 单调递增, yg x 单调递减, f 3 2 n2 g3 2 n 2 ,所以 x 2 n1,3 2 n2 时,有一零点 x3 2 n2；当 x3 2 n 2, 2 n 时, yf x 2 1n12 n 1 12 xn23 ,k1f x 1 3 3 1 3 n2 2n3,gx 2x,k2g x2x 2 3 2 2n3,2 2n1 ,所

19、以 k10,全部解的和为 _【答案】 10 000 【思路点拨】时,留意到留意到方程f x x1 5的解可以看做函数yf x 与 yx1 5的图像交点的横坐标,同f x f x1 1 具 有“ 周期性” 的特点,由此可作出的图像,由图像得到解的规律,进而得到全部解的和14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分别作出函数yf x 与 yx1 5的图像 如图 当 x 0,1 时,令 f x x12 2 x1 1 x1 15,即 x 2x50,此时两根之和为 1；由图可知,当 x1,2 ,x2,3 时,它们的两个根的和组1001 121001 成公差为 2 的等差数列,从而当 x0,100 时,全部的解的和为2 10 000. 解后反思 应用数形结合的方法争论解的个数或与解相关的问题,是一种常用的策略,也是简化问题求解的一种手段,要娴熟地把握15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页