2022年考研高等数学知识点总结 .docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导数公式：高等数学学问点总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tgxsec2 xarcsin x11x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ctgxsecxcsc2 secxx tgxarccos x11x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_csc xa x csc x a x ln actgx arctgx 121x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a x1x ln a arcctgx 11x2可编辑资料 - - - 欢

2、迎下载精品_精品资料_基本积分表：三角函数的有理式积分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tgxdxln cos xCdx cos2 xsec2xdxtgxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ctgxdxln sin xCdx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_secxdxln secxtgxCsin 2 xcscxdxctgxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_csc xdxln csc xctgxCsecxtgxdxsecxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxa2x21 arctg xC aacscxa x dxct

3、gxdx a xCcsc xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxx2a 2dx1 ln xaC 2axa1axshxdxln achxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2x2lnC2aaxchxdxshxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_adxarcsin xC22axdxx 2a 2ln xx2a 2 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nIsin n0xdx2cosn0xdxn1In 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

4、品资料_x2a 2 dxxx2a2 2xaln x 22a 2x2a2 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2a 2 dx22ax2a22x22ln x2a 2x 2a 2Cx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x dxax 2arcsinC2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinx2u2 ,cosx1 u22 ,utg x, dx2du2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 u1 u21 u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一些初等函数：两个重要极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双曲正弦: shxe

5、xe xlimsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2exe xx0x1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双曲余弦双曲正切: chx: thx2shxexe xchxexe xlim 1xxe2.718281828459045.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arshx archxarthxln xln x 1 ln 1x21）x21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角函数公式：诱导公式：函数sincostgctg角 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

6、-sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180 -sin -cos -tg -ctg 180 +-sin -cos tg ctg 270 -cos -sin ctg tg 270 +-cos sin -ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sin cos tg ctg 和差角公式：和差化积公式：sincossincoscoscoscossinsinsinsinsin2sin2cos2tgtg1tgtgtgsinsin2cos2sin2ctgctg ctgctgctg1coscoscosco

7、s2cos2sin22cossin22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_倍角公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2cos 22 sin2 cos22ctgcos1112 sin 2cos2sin 2sin3 cos33sin4 sin34cos33cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ctg 2tg 22ctg 2tg1tg 2tg33tgtg313tg 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_半角公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2tg1cos 21cos1cossincos2ctg1cos 21co

8、s1cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21cossin1 cos2 1cossin1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正弦定理：a sin Ab sin Bc2 Rsin C余弦定理： c2a 2b 22ab cosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反三角函数性质：arcsin xarccosx2arctgxarcctgx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品_精品资料_uv nnnC ku nk 0k vk 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u n vnu n1 vnn2.1) u n2) vnn1) n k.k1 u nk vk uv n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f bf af ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_柯西中值定理： f bF bf aF af F 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当F x曲率：x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2弧微分公式： ds1ydx,其中

10、 ytg可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平均曲率：K.: 从M 点到 Ms点,切线斜率的倾角变化量.s： MM弧长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M 点的曲率： Klimds 0sdsy1y.2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线： K0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_半径为a的圆： K1 . a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_01定积分的近似运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b矩形法：a bf xba yy nyn 1可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品_精品资料_梯形法：af xbban1 y02yn y1yn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0抛物线法： f xba yyn 2 y2y4yn 2 4 y1y3yn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3n定积分应用相关公式：功： WFs水压力： Fp A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_引力： Fk m1m2r 2,k为引力系数b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的平均值：yb1ba af xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均方根：1b a af 2t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载

12、精品_精品资料_空间解析几何和向量代数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间2点的距离： dM 1M 2x2x 2 y2y 2 z2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111向量在轴上的投影：Pr j u ABAB cos ,是AB与u轴的夹角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Pr j u a1a2Pr ja1Pr ja2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a bab cosaxbxay b

13、yazbz ,是一个数量 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两向量之间的夹角：cosaxbx22axayay by 2azazbz222bxbybz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c abijaxaybxbykaz , c bzab sin.例：线速度： vwr .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的混合积： abcab c代表平行六面体的体积 .axayazbxbybzcxcyczabc cos ,为锐角时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

14、品资料_平面的方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、点法式：A xx0 B yy0 C zz0 0,其中 n A, B, C,M 0 x0, y0 , z0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、一般方程： AxByCzD0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、截距世方程： xyz1abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面外任意一点到该平面的距离： dAx0By0Cz0D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2B 2C 2xx0mt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

15、_精品资料_空间直线的方程：x x0my y0nz z0pt,其中s m, n, p; 参数方程： yy0nt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次曲面：21、椭球面： xa 2x2y2z2b2c21y 2zz0pt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、抛物面：2 p2qz（,p, q同号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、双曲面：2单叶双曲面： xa 22双叶双曲面： xa 2y2z2b 2c2y2z2b 2c 21（1 马鞍面）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_多元函数微分法及应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_全

16、微分： dzz dx xz dy yduu dx xu dy yu dz z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_全微分的近似运算： 多元复合函数的求导法zdz：f x x, yxf y x, yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zf ut , vtdz dtzf ux, y, v x, yzuzvutvtzzuzvxuxvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当uu x, y, vv x, y时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_duu dx xu dy ydvv dx xv dy y可编辑资

17、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_隐函数的求导公式：dyFd 2 yFFdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_隐函数F x, y0,dxx ,yFdx 2x xFyyx Fydx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_隐函数zF x, y, z0,xFx ,zFyFzyFz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_隐函数方程组：F x, y,u, v0Gx, y,u, v0J F,Gu,vF FuvFuFvG GGuG

18、vuv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u1 F,Gv1F ,GxJ x, vxJu, xu1 F,Gv1F , GyJ y,vyJu, y微分法在几何上的应用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x空间曲线 yzt t 在点M x0 t, y0, z0处的切线方程：xx0 t 0y y0 t0 z z0 t0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F x, y, z0Fy就切向量 TFzFz,Fx , FxFyG x, y, z0GyG zGzG xGxG y在点M处的法平面方程： 如空间曲线方程为：t0 x,x0 t0 yy0 t 0 zz0 0可编辑资

19、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲面F x, y, z0上一点M x0 , y0 , z0 ,就：1、过此点的法向量： n Fx x0 , y0, z0 , Fy x0 , y0 , z0, Fz x0 , y0 , z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、过此点的切平面方程：Fx x0 , y0, z0 xx0 Fy x0 , y0, z0 yy0Fz x0 , y0 , z0 zz0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、过此点的法线方程：x x0y y0z z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

20、品资料_方向导数与梯度：Fx x0 , y0 , z0Fy x0 , y0 , z0 Fz x0 , y0, z0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数z其中f x, y在一点p x, y沿任一方向为x轴到方向 l的转角.l的方向导数为： flf cos xf sin y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数zf x, y在一点p x, y的梯度： gradf x, yf if jxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它与方向导数的关系是 ：fl单位向量.grad f x, ye,其中ecosisinj ,为l 方向上的可编辑资料 - - - 欢迎下

21、载精品_精品资料_f 是gradf x, y在l上的投影.l多元函数的极值及其求法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 f x x0 , y 0 f y x 0 , y 0 0,令：f xx x 0 , y0 A,f xy x 0 , y 0 B ,f yy x 0 , y 0 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ACBA0时,A0 , x0 , y 0 为极大值0 , x0 , y0 为微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22就： ACB0时,无极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

22、_ACB0时 ,不确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重积分及其应用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, ydxdyf r cosDD, r sinrdrd22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲面zf x, y的面积 A1zzDxyx x, yddxdyy x, yd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面薄片的重心： xM xMD, x, y dDyM yDMD x, yd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面薄片的转动惯量：对于 x轴I xy 2 x, yd,D对于 y轴I yx2 x, ydD可编辑资料 -

23、- - 欢迎下载精品_精品资料_平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M 0,0, a, a0的引力： F Fx , Fy , Fz,其中：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Fxf x, y xd,3Fyf x, y yd,3Fzfa x, y xd3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D x2y2a 2 2D x2y 2a 2 2D x2y 2a2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_柱面坐标和球面坐标：xr cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_柱面坐标： yr sin, zzf x,

24、y, zdxdydzF r , zrdrddz,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中： F r , zf rcos, r sin, z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xr sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_球面坐标： yr sinsin ,dvrdr sinddrr 2 sindrd d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zr cos2r , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y, zdxdydzF r ,r 2 sindrd ddd000F r ,r 2 sin dr可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_重心： x1 Mx dv,y y Mdv,z z Mdv,其中 Mxdv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_转动惯量： I x y 2z2 dv,I y x2z2 dv,I z x2y2 dv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线积分：第一类曲线积分（对弧 长的曲线积分）：xt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设f x, y在L上连续, L的参数方程为：y,tt,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

26、载精品_精品资料_f x, ydsLf t ,t2 t 2 t dtx特别情形：yt t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次类曲线积分（对坐x标的曲线积分）： t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 L 的参数方程为y t ,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x ,Ly dxQ x ,y dy P t , t t Q t , t t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两类曲线积分之间的关系： PdxQdy P cosQ cos

27、 ds,其中和分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_L 上积分起止点处切向量LL的方向角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_格林公式：QDxP dxdy yPdxLQdy格林公式：QDxP dxdy yPdxLQdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 Py , Qx ,即：Q xP2时,得到yD 的面积：AdxdyD1 xdy2 Lydx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面上曲线积分与路径无关的条件：1、 G 是一个单连通区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 P x ,y ,Q x ,y 在G 内具有一阶连续偏

28、导数,且Q xP .留意奇点,如y 0 , 0,应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_减去对此奇点的积分,二元函数的全微分求积留意方向相反；：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QP在时,xyPdxQdy才是二元函数u x , y 的全微分,其中：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u x , y x , y P x , x 0 , y 0 y dxQ x ,y dy ,通常设x 0y 00.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲面积分：对面积的曲面积分：f x, y, z dsD xyf x, y

29、 , z x, y 1xz 2 x, y yz2 x , y dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对坐标的曲面积分：P x, y, z dydzQ x, y , zdzdxR x, y, z dxdy,其中：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R x, y, z dxdyD xyR x, y , z x, y dxdy,取曲面的上侧时取正号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x, y, z dydzD yzP x y, z,y , zdydz,取曲面的前侧时取正号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q x, y, z dzdxD zxQ x, y z, x , zdzdx,取曲面的右侧时取正号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两类曲面积分之间的关系： PdydzQdzdxRdxdy P cosQ cosR cos ds可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高斯公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -