2022年第四章圆与方程知识点总结及习题答案.docx

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1、精品_精品资料_第四章 圆与方程1、圆的定义： 平面内到肯定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、圆的方程2（ 1）标准方程xa22ybr,圆心a, b,半径为 r.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 M x , y 与圆 xa 2 yb2r 2 的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00当 xa2 yb2 r 2 ,点在圆外00当 xa2 yb2 = r 2 ,点在圆上00当 xa2 yb2 r 2 ,点在圆内00可编辑资料 - -

2、- 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）一般方程x2y2DxEyF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 D 2当 D 2当 D 2E 24 FE 24FE 24F0 时,方程表示圆,此时圆心为0 时,表示一个点.0 时,方程不表示任何图形.D ,E22,半径为 r1 D 22E 24F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法： 先设后求. 确定一个圆需要三个独立条件,如利用圆的标准方程, 需求出 a, b, r.如利用一般方程,需要求出D, E,F.另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3、直

3、线与圆的位置关系：22直线与圆的位置关系有相离,相切,相交 三种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 设直线l : AxByC0 ,圆 C : xaybr 2 ,圆心C a, b到 l 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 dAaBbC,就有 drl与C相离 .drl 与C相切 .drl 与C相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2B 2（2） 过圆外一点的切线 ： k 不存在,验证是否成立k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离 =半径,求解 k,得到方程【肯定两解】3 过圆上一点的切线 方程： 圆x-a 2+y-b 2=r 2,

4、圆上一点为 x0,y0,就过此点的切线方程为2x0 -ax-a+y 0-by-b= r22224、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设圆 C1 : xa1yb1r 2 , C:xayb2R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定.当 dRr 时两圆外离,此时有公切线四条.当 dRr 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 RrdRr时两圆相交,连心线

5、垂直平分公共弦,有两条外公切线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 dRr 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线.当 dRr 时,两圆内含.当 d0 时,为同心圆.留意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上.已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的帮助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点圆的方程基础自测1. 方程 x +y +ax +2ay +2a +a-1=0 表示圆,就（222a 的取值范畴是A. a-2 或 a 23B.-2 a03C.-2 a0D.-2 a 23答案D2. （ 2022河南新郑模拟是（）圆 x +y +2x -4 y+1=0 关于直线222ax- by +

6、2=0（a、b R）对称,就 ab 的取值范畴A.,1B.140,4C.14,0D.1,4答案A3. 过点 A（ 1,-1 ）, B（ -1 , 1）,且圆心在直线A. （x -3 ） + y+1 =4C. （x -1 ） + y -1 =4答案Cx +y -2=0 上的圆的方程是B. x+3 + y -1（2222=422D. x+1 + y+1 =4224. 以点（ 2,-1 ）为圆心且与直线A. x-2 2+ y+1 2=3C. x-2 2+ y+1 2=9答案C3x-4 y+5=0 相切的圆的方程为B. x+2 2+ y-1 2=3D. x+2 2 + y -1 2 =9（5.（202

7、2宜昌模拟 ）直线 y=ax +b 通过第一、 三、四象限, 就圆（x+a）+ y+b =r r 0 的圆心位于（222A. 第一象限C. 第三象限答案BB.D.）例 1已知圆 C的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上, 直线 3x+4y+4=0 与圆 C相切, 就圆 C的方程为（）A. x2+y2-2 x -3=0B. x2 +y 2+4x=0C. x2+y2+2x -3=0D. x2 +y 2-4 x=0答案D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 2已知圆 x +y +x-6 y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,且 OPOQ（O 为坐标原点）,求该圆

8、的圆心坐标及半径 .解 方法一将 x=3-2 y,m=3. 半径为 5 , 圆心为1 ,3 .2方法三 设过 P、Q22x +y +x-6 y+m+ x+2y -3=0.2OPOQ知,点O（0,0）在圆上.代入方程 x +y +x-6 y+m=0,225y -20 y+12+m=0.2设 P（x1 , y 1） , Q x 2, y2, 就 y1 、y 2y 1+y2=4, y1 y2 = 12m .5 OP OQ, x1x 2 +y1y 2 =0.x1 x2 =9-6 y1 +y2 +4 y 1y2 .x1 =3-2 y1 , x2 =3-2 y2 .m=3, 此时 0, 圆心坐标为1 ,3

9、2, 半径 r = 5 .2方法二 如下列图,设弦 PQ中点为 M,O1 M PQ, kO1M2 .O1M的方程为 : y-3=2x1,2即： y=2x+4.yx2 x42 y3. 0解得 M的坐标为（ -1 ,2）.就以 PQ为直径的圆可设为（x+1） +（y -2 ） =r .222OP OQ,点 O在以 PQ为直径的圆上 .（ 0+1） +（0-2 ） =r ,即 r =5, MQ=r .222222在 Rt OMQ中, OQ=OM+MQ.222111221213-2 2 +5= 1 64m4m-3=0,即 m=3.x2 +y 2+x-6 y+3+x+2y -3=0x 2+1+ x+y2

10、 +2-3 y=0.圆心 M1232,2,又圆在 PQ上.- 1+2（3-） -3=0 , =1, m=3.1,32,半径为25 .2223 （ 12 分）已知实数 x、y 满意方程 x +y -4 x+1=0.（ 1）求 y- x例（ 2）求 x2 +y 2 的最大值和最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 （1）y- x 可看作是直线 y=x +b 在 y 轴上的截距,当直线y =x +b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最小值,此时2 0b23, ,解得 b=-2 6 .5 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

11、品资料_所以 y- x 的最大值为 -2+6 ,最小值为 -2-6 .6 分22（ 2）x +y 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何学问知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又圆心到原点的距离为（ 20）2 （00）2 =2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222所以 x +y 的最大值是（ 2+3 ） =7+43x2 +y 2 的最小值是（ 2-3 ）2 =7-43 . 12圆与直线方程222例 1 已知圆 x +y -6 mx-2 （m-1 ） y+10m-2 m-24=0 （ m R）.（ 1）求证

12、：不论m为何值,圆心在同始终线l（ 2）与 l（ 3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.22（1）证明 配方得：（ x -3 m） + y- （m-1 ） =25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆心为（ x, y）,就x 3my m, 消去 m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l ：x -3 y-3=0 ,就圆心恒在直线 l ：x-3 y -3=0 上.（ 2）解 设与 l 平行的直线是 l 1 ：x-3 y+b=0l 1 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d= 3m3 m1b103b .10可编辑资料 - - -

13、 欢迎下载精品_精品资料_圆的半径为 r =5当 dr ,即 -510 -3 b510 -3当 d=r , 即 b=510 -3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 dr ,即 b -510 -3 或 b 510 -3 时,直线与圆相离 .（ 3）证明对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l 1：x-3 y+b=0,由于圆心到直线 l 1 的距离 d= 3b10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22（ 4）弦长 =2rd且 r 和 d 均为常量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.22例 2从

14、点 A（-3 ,3）发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆x +y -4 x-4 y+7=0相切,求光线l 所在直线的方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 方法一如下列图,设 l 与 x 轴交于点 B（ b,0 ,就 k AB=b3 , 依据光的反射定律,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反射光线的斜率 k 反 =3.y=3 x- b,3x - b+3 y -3 b=0. b3b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知圆 x2 +y2-4 x -4 y+7=0 的圆心为 C（2,21,可编辑资料 - - - 欢

15、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 6 （ b943） 23b2b33=1, 解得 b1=-3 , b2 =1.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ kAB=-或 kAB=-3.l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222方法二 已知圆 C： x +y -4 x -4 y+7=0 关于 x 轴对称的圆为 C1 ： x-2 + y+2 =1,其圆心 C1 的坐标为（ 2,-2 ）,半径为 1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆C1 相切.可编辑资料 - - - 欢迎下

16、载精品_精品资料_设 l 的方程为 y -3= k x+3, 就5k5221k=1,12k2 +25k+12=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k1 =-4 , k2 =-33 .l 的方程为 4x+3y +3=0 或 3x+4y -3=0.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法三设入射光线方程为 y -3= k x+3, 反射光线所在的直线方程为y=- kx +b, 由于二者横截距相等,且后者与已知圆相切 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k 2k3kb k2b2, 消去 b 得 5k 11

17、252=1.12k +25k+12=0, k1 =-k4 , k2 =- 3 .34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k就 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222例 3已知圆 C1：x +y -2 mx+4y+m-5=0, 圆 C2： x +y +2x-2 my+m-3=0, m为何值时,（1） 圆 C1 与圆 C2 相外切.（ 2）圆 C1 与圆 C22222解 对于圆 C1 与圆 C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1: x- m+ y+2=9; C 2: x+1+ y- m=

18、4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 假如 C 与 C 外切,就有2212（m1） m2=3+2.22 m+1 2+ m+2 2=25.m2+3m-10=0, 解得 m=-5 或 m=2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）假如 C1 与 C2 内含,就有（m1）m2 3-2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m+1 2+ m+2 2 1, m2+3m+20,-2 m-1,当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2当-2 m-1 时,圆 C1 与圆 C2 内含.22例 4（ 12 分）已知点 P（ 0,5）及圆 C：x +y +

19、4x-12 y+24=0.（ 1）如直线 l 过 P 且被圆 C截得的线段长为 43 ,求 l 的方程.（ 2）求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.22解（1）方法一如下列图, AB=43 , D是 AB 的中点, CDAB,AD=23 ,圆 x +y +4x -12 y+24=0 可22化为（ x+2） +（y-6 ） =16,圆心 C（ -2 , 6）,半径 r =4,故 AC=4在 Rt ACD中,可得 CD=2.2设所求直线的斜率为k,就直线的方程为 y-5= kx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 kx- y+5=0.由点 C 到直线 AB 的距离公式：2

20、k6522k 1=2 ,得 k= 3 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时直线 l 的方程为 3x-4 y+20=0.4又直线 l 的斜率不存在时,此时方程为x=0.62就 y -12 y+24=0, y 1=6+23 , y2 =6-23 , y2 - y 1 =43 , 故 x=0 满意题意 .所求直线的方程为3x-4 y+20=0 或 x=0.8方法二设所求直线的斜率为 ky -5= kx, 即 y=kx+5,ykx522联立直线与圆的方程,xy4x12 y24022消去 y 得（ 1+k ） x +4-2 k x -11=02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

21、品资料_设方程的两根为 x 1 , x2,x1x2 x x2k41k2 411可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k| x1由弦长公式得2- x 2|=1k2 xx 24x1 x2 4 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12将式代入,解得 k= 33x -4 y+20=0.4又 k 不存在时也满意题意,此时直线方程为x=0.所求直线的方程为x=0 或 3x-4 y+20=0.8（ 2）设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D（x , y）,CDPD,即 CD PD =0,22（ x+2, y-6 ）

22、x, y-5=0,x +y +2x -11 y+30=0.3. 求过点 P（4,-1 ）且与圆 C：x2 +y2 +2x-6 y+5=0 切于点 M（ 1, 2）的圆的方程 .解 方法一 设所求圆的圆心为 A（ m, n ,半径为 r ,就 A, M, C三点共线,且有 | MA|=| AP|= r22由于圆 C：x +y +2x-6 y+5=0 的圆心为 C（ -1 , 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2就m121m131n,222 m42 n12r解得 m=3, n=1, r =5 ,所以所求圆的方程为 x-3 + y-122=5.方法二由于圆 C： x +y +2x-

23、6 y+5=0 过点 M（ 1, 2）的切线方程为所以设所求圆 A222x- y=0,x2 +y 2 +2x -6 y+5+2 x- y=0,由于点 P（ 4,-1 ）在圆上,所以代入圆解得=-4,所以所求圆的方程为 x +y -6 x -2 y+5=0.A224. （ 2022全国文 , 10）如直线xay2 +y2 =1 有公共点,就=1 与圆 xbA. a2+b21B. a2+b2 1C.111a2b21D.a21b21答案D5. 能够使得圆x +y -2 x+4y+1=0 上恰有两个点到直线222x+y+c=0 距离等于 1 的 c 的一个值为（A.2B.5C.3D.35答案C可编辑资料 - - - 欢迎下载