2022年必修-解三角形知识点归纳总结上课讲义 .docx

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1、精品_精品资料_必修 5 - 解三角形学问点归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一. 正弦定理：第一章 解三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_外接圆的直径,即径）a sin Ab sin Bc sinC2R （其中 R是三角形外接圆的半可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 变形： 1）abcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinsinsin Csinsi

2、nsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 化边为角：a : b : csinA : sinB : sin C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a sin A ;bsin Ba;sin A;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b sin Bc3 ）化边为角： a2 Rsin A,sin Cc b2 Rsin B,sin Cc 2R sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 ）化角为边：sin Aa ;sin Bb ; sin Aa ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

3、资料_sin Bbsin Ccsin Cc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 ）化角为边：sin Aa ,sin B 2Rb ,sin Cc2R2R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 利用正弦定理可以解决以下两类三角形的问题：4. 已知两个角及任意边,求其他两边和另一角. 例：已知角 B,C,a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_o解法：由 A+B+C=180,求角 A, 由正弦定理 asin A ;bsin B ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a sinA; 求出 b 与 cb sin Bc sin C可编辑资料 - - -

4、 欢迎下载精品_精品资料_csin C已知两边和其中边的对角,求其他两个角及另一边.例：已知边 a,b,A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法：由正弦定理 absinsinA 求出角 B, 由 A+B+C=18o0求出角 C,再使用B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正弦定理 asin A 求出 c 边csin C4. ABC中,已知锐角 A,边 b,就 absin A 时, B无解.b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ absin A 或ab 时, B有一个解.b sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ bsin Aa b 时

5、, B有两个解.A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知 A60, a2, b23 , 求 B 有一个解 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 A60, b2,a23 , 求 B 有两个解 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：由正弦定理求角时,留意解的个数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二. 三角形面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. SABC1 ab sinC21 bcsin A21 ac sin B 2可编

6、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. SABC1 a2b cr, 其中 r 是三角形内切圆半径 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. SABCp pa pb pc ,其中 p1 a2bc ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. SABCabc 4 R,R 为外接圆半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. S ABC2 R 2 sinA sinB sin C,R 为外接圆半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三. 余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍,

7、即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2c22bc cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 2a 2c22ac cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 2a 2b 22 ab cos C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 变形：cos Ab 2c 2a 22bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos Ba

8、2c 2b 22ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos Ca 2b 2c22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意整体代入,如： a 2c2b2accosB12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 利用余弦定理判定三角形外形：设a 、 b 、 c是C 的角、 、 C 的对边,就：如,所以为锐角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 c2b 2a 2A为直角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如, 所以 为钝角,就是钝角三角

9、形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 利用余弦定理可以解决以下两类三角形的问题： 1）已知三边,求三个角 2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角四、应用题1. 已知两角和一边（如 A、B、C）,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求 a、b2. 已知两边和夹角（如 a、b、c）,应用余弦定理求 c 边.再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C =,求另一角3. 已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C =求 C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要留意解可能有多种情形4. 已知三边 a、b、c,应用余弦定理求 A、B,再由

10、A+B+C=,求角 C5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）,通常表达成. 正北或正南,北偏东度, 北偏西度,南偏东度,南偏西度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角视中线方的角叫仰角 , 视线在水平线下方的角叫俯角 ., 视线在水平线上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_铅仰角直俯角线水平线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_视线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、三角形中常见

11、的结论1） 三角形三角关系： A+B+C=1802） 三角形三边关系：. C=180 A+B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边之和大于第三边：,.两边之差小于第三边：,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 在同一个三角形中大边对大角：AB4三角形内的诱导公式：absin Asin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin ABsin C,cos ABcos C,tan ABtan C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanABsin2tan2C22cos2C 2 C 2cos2

12、C sin C25两角和与差的正弦、余弦、正切公式1sin sincos cos sin.2cos cos cos .sin sin .3tan 1.tan tan.tan tan 6二倍角的正弦、余弦、正切公式1sin 22sincos .2cos 2cos2 sin 22cos2 112sin 2.3 sin 21cos 22; cos21cos 224tan 21tan 2 .2tan7三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点可编辑资料 - - - 欢迎下载