2022年集合知识点总结及典型例题 .docx

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1、精品_精品资料_集 合一【课标要求】1. 集合的含义与表示（1） 通过实例,明白集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.（2） 能挑选自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的详细问题,感受集合语言的意义和作用.2. 集合间的基本关系（1） 懂得集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.（2） 在详细情境中,明白全集与空集的含义.3. 集合的基本运算（1） 懂得两个集合的并集与交集的含义,会求两个简洁集合的并集与交集.（2） 懂得在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.（3） 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对懂得抽象概念的作用二【命题

2、走向】有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的运算化简的考查, 并向无限集进展,考查抽象思维才能,在解决这些问题时,要留意利用几何的直观性,留意运用Venn 图解题方法的训练,留意利用特别值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练.考试形式多以一道挑选题为主.猜测高考将连续表达本章学问的工具作用,多以小题形式显现, 也会渗透在解答题的表达之中,相对独立.详细三【要点精讲】1. 集合：某些指定的对象集在一起成为集合（ 1）集合中的对象称元素,如 a 是集合 A 的元素, 记作 aA .如 b 不是集合 A 的元素,记作 bA .（ 2）集合中的元素必需满意：确

3、定性、互异性与无序性.确定性：设 A 是一个给定的集合, x 是某一个详细对象,就或者是A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情形必有一种且只有一种成立.互异性：一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体（对象）,因此,同一集合中不应重复显现同一元素.无序性： 集合中不同的元素之间没有位置差异,集合不同于元素的排列次序无关.（ 3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内.详细方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范畴,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合

4、中元素所具有的共同特点.留意： 列举法与描述法各有优点,应当依据详细问题确定采纳哪种表示法,要留意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采纳列举法.（ 4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集） ,记作 N. 正整数集,记作 N*或 N+.整数集,记作 Z. 有理数集,记作 Q. 实数集,记作R.2. 集合的包含关系：（ 1）集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素,就称 A 是 B 的子集（或 B 包含 A）,记作 AB（或 AB ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_集合相等： 构成两个集合的元素完全一样.如 AB 且 BA,就称 A 等于 B,记作 A=B. 如

5、AB 且 A B,就称 A 是 B 的真子集,记作 AB.（ 2）简洁性质： 1） AA. 2）A. 3）如 AB,BC,就 AC. 4）如集合 A是 n 个元素的集合,就集合A 有 2n 个子集（其中2n 1 个真子集）.3. 全集与补集：（ 1）包含了我们所要争论的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 S 是一个集合, AS,就,CS = x | xS且xA 称 S 中子集 A 的补集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）简洁性质： 1） CS CS =A. 2） CS S=, CS=S4. 交集与并集：（

6、 1）一般的,由属于集合A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与 B 的交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_集.交集 AB x | xA且xB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）一般的,由全部属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合A 与 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的并集.并集AB x | xA或xB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍旧仍是集合,区分交集与并集的关键是 “且” 与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,经常从这两个字眼动身

7、去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.5集合的简洁性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） A（ 2） AAA, AA, AB, ABBA; BA;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） AB AB ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4） ABABA; ABABB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5） CS （ A B） =（ CS A）（四【典例解析】题型 1：集合的概念CS B）, CS （ A B）=（ CS

8、A）（CS B）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2022 湖南卷理 某班共 30 人,其中 15 人宠爱篮球运动, 10 人宠爱兵乓球运动, 8 人对这两项运动都不宠爱,就宠爱篮球运动但不宠爱乒乓球运动的人数为_12 答案：12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析设两者都宠爱的人数为x 人,就只宠爱篮球的有15x 人,只宠爱乒乓球的有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10x 人,由此可得15x10xx830,解得 x3 ,所以 15x12 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 所求人

9、数为 12 人.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1已知全集UR ,集合 M x2x12 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_N x x2k1, k1,2,的关系的韦恩（ Venn）图如图 1 所示,就阴影部分所示的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_集合的元素共有 A. 3个B. 2个C. 1个D.无穷多个答案 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由 M x2x12 得1x3 ,就 MN1,3,有 2 个,选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2集合A0,2, a, B1,a2, 如 AB0,1,2,4,16

10、, 就 a 的值为A.0B.1C.2D.4答案 D解析 A0,2, a,B1,a 2,AB0,1,2,4,16a 216a4 , 应选 D.a4【命题立意】 : 此题考查了集合的并集运算, 并用观看法得到相对应的元素, 从而求得答案 ,此题属于简洁题.题型 2：集合的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3集合 A0,2, a , B1,a2, 如 AB0,1,2,4,16, 就 a 的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.0答案B.1DC.2D.4解析 A0,2, a,B1,a 2,AB0,1,2,4,16a 216a4 , 应选 D.a4【命题立意】 :

11、 此题考查了集合的并集运算, 并用观看法得到相对应的元素, 从而求得答案 ,此题属于简洁题.随堂练习21. 设全集U=R, A=x N 1 x10 , B= x Rx + x 6=0 ,就下图中阴影表示的集合为（）A2B 3C 3, 2D 2, 32.已知集合 A=y|y 2-a 2+a+1y+aa 2+10,B=y|y2 -6y+8 0 ,如AB ,就实数 a 的取值范畴为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析 ：解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件动身,经过一系 列的推理和运算, 最终得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情形,这时可从反面去考

12、虑 从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想此题如直接求解, 情形较复杂, 也不简洁得到正确结果, 如我们先考虑其反面,再求其补集,就比较简洁得到正确的解答可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由题知可解得 A=y|ya AB 时 a 的范畴如图2+1 或 ya,B=y|2 y4, 我们不妨先考虑当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a由2,得a14a23或a3a24 a2+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a3 或 3a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 AB时 a 的范畴为 a3 或 3a2 . 而 AB时 a

13、的范畴明显可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是其补集 , 从而所求范畴为 a | a2或3a3 .评注 ：一般的,我们在解时,如正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集, 求得其解,这就是“补集思想” 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4已知全集 S1,3, x3x22x ,A=1, 2x1 假如CS A 0,就这样的实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 是否存在？如存在,求出x ,如不存在,说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：CS A 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0S且0A ,

14、即 x3x22 x 0,解得 x0, x1, x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123当 x0 时, 2x11 ,为 A 中元素.当 x1 时, 2x13S当 x2 时, 2x13S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这样的实数 x 存在,是 x1 或 x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另法：CS A 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0S且0A , 3A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x3x22x0 且 2x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 或 x2 .可编辑资料 - - - 欢

15、迎下载精品_精品资料_点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质.分类争论的过程中“当x0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x11”不能满意集合中元素的互异性.此题的关键是懂得符号CS A 0 是两层含义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0S且0A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式题：已知集合A求 q 的值. m, md, m2d, B m, mq, mq2,其中 m0 , 且AB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 AB 可知,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m（1）mdmq 2dmq 2m,或

16、（ 2）m2dmq2 dmq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解（ 1）得 q1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解（ 2）得 q1,或q1 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于当 q1 时, m1mqmq 与题意不符,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以, q.2题型 3：集合的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 已知函数f xx1 的定义域集合是A, 函数x2g xlg x22a1xa2a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域集

17、合是 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求集合 A、B（ 2）如 AB=B, 求实数a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解（ 1） Ax | x1或x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B x | xa或xa1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由 AB B 得 AB,因此a1a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以1a1 , 所以实数a 的取值范畴是1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

18、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6已知集合 A1,3,5,7,9, B0,3,6,9,12, 就 AICN B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.1,5,7B.3,5,7C.1,3,9D.1,2,3答案 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析易有ACN B1,5,7,选 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：该题考察了集合的交、补运算.题型 4：图解法解集合问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7（广西北海九中训练） 已知集合 M=2x | x2y1,N=y | xy1 ,就 MN可编辑资料 - -

19、- 欢迎下载精品_精品资料_9432（）AB 3,0, 2,0C3,3D 3,2答案C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8 1. 设全集R ,函数f xlg| x1 |a1 a1 的定义域为A,集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B x | cos x1 ,如 C AB 恰好有 2 个元素,求 a 的取值集合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： | x1 |1a0| x1|1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 时, 1a0 xa

20、或xa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A, a2 a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos x1, x2k, x2k kz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ B x | x2k, kz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时, CA a2,a在此区间上恰有 2 个偶数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1aa24a222a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

21、资料_2、 Aa1,a2, ,akk 2 ,其中 aiZ i1,2, ,k ,由A 中的元素构成两个相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应的集合：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sa, baA, bA, abA, Ta, baA, bA, abA其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a, b 是有序数对,集合S 和 T中的元素个数分别为m和 n 如对于任意的aA ,总可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有aA ,就称集合A 具有性质 P kk

22、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（I ）对任何具有性质P 的集合A ,证明： n .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（II ）判定m 和 n 的大小关系,并证明你的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ I ）证明：第一,由A 中元素构成的有序数对 ai, a j 共有k 2 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 0A ,所以ai,ai T i1,2, ,k .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

23、 - 欢迎下载精品_精品资料_又 因 为 当aA时 ,aA时 ,aA, 所 以 当ai,aj T时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a j,ai Ti,j1,2, ,k 12k k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而,集合k k即 n T 中元素的个数最多为1kk ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（II ）解：2mn ,证明如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 对于a, bS,依据定义,a A ,b A ,且abA ,

24、从而ab, bT 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 a, b 与 c, d 是S 的不同元素,那么ac 与 bd中至少有一个不成立,从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abcd 与 bd 中也至少有一个不成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 ab, b与 cd, d 也是T 的不同元素可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可见,S 中元素的个数不多于T 中元素的个数,即m n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

25、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 对于a, bT ,依据定义,aA , bA ,且abA ,从而ab, bS 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_果 a, b 与c, d 是 T的不同元素,那么a c 与b d 中至少有一个不成立,从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abcd 与 bd 中也不至少有一个不成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 ab, b 与 cd, d 也是S 的不同元素可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可见

26、,T 中元素的个数不多于S 中元素的个数,即n m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由（ 1）（ 2）可知,mn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9向 50 名同学调查对A、B 两大事的态度,有如下结果赞成 A 的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成.另外,对A、B 都不赞成的同学数比对A、 B 都赞成的同学数的三分之一多1 人.问对 A、B 都赞成的同学和都不赞成的同学各有多少人？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：赞成 A 的人数为 503 =30 ,赞成 B 的人数为U5AB可编辑资料

27、- - - 欢迎下载精品_精品资料_30+3=33 ,如上图,记50 名同学组成的集合为U,赞成大事 A 的同学全体为集合 A.赞成大事 B 的同学全体为集合 B.设对大事A、 B 都赞成的同学人数为x, 就对 A、B30-XX33-XX3 +1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都不赞成的同学人数为x +1, 赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30 x,赞成 B 而不赞成 A 的人数3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 33 x.依题意 30 x+33 x+ x+21 人,都不赞成的有8 人 .x +1=50, 解得 x=21.所以对 A、 B 都赞成的同学有3可

28、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等, 需要考生切实把握. 此题主要强化同学的这种才能.解答此题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观的表示出来.此题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索.画出韦恩图,形象的表示出各数量关系间的联系.例 10求 1 到 200 这 200 个数中既不是2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出 Venn 图,不难看出不符合条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的数共有（ 200 2）（ 200 3

29、） 200 5 20010 2006 200 15 20030 146所以,符合条件的数共有200146 54（个）5的倍数2的倍数3的倍数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 分析 200 个数分为两类, 即满意题设条件的和不满意题设条件的两大类,而不满意条件的这一类标准明确而简洁,可考虑用扣除法.题型 7：集合综合题2x1例 11（1999 上海, 17）设集合 A=x| x a|2 , B=x|1,如 AB,求实数x2a 的取值范畴.解：由 | x a|2 ,得 a 2xa+2,所以 A=x| a 2xa+2.2x1x3由1,得0,即 2x3,所以 B=x| 2x0,

30、Snn0,这时集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_合 A 中的元素作为点的坐标, 其横、 纵坐标均为正, 另外, 由于 a1=1 0假如 A B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2那么据 2的结论, A B 中至多有一个元素x0,y0,而 x0=4a12a1x030, y0=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a15240,这样的 x0,y0 A,产生冲突,故a1=1,d=1 时 A B=,所以 a1 0 时,肯定有 A B 是不正确的.2点评：该题融合了集合、数列、直线方程的学问,属于学问交汇题.变式题：解答下述问题：可编辑资料 - - - 欢迎下

31、载精品_精品资料_（）设集合 A的取值范畴 . x | x2x2m40, B x | x0, 如AB,求实数 m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：关键是精确懂得AB的详细意义,第一要从数学意义上说明AB的意义,然后才能提出解决问题的详细方法.解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_命题方程x22x2m40至少有一个负实数根 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设M m | 关于x的方程x 22x2m40两根均为非负实数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 2m就 x1x22x1x22m3002m3 ,240可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M m |2m3 设全集 U 2 m |0 m | m32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m 的取值范畴