平面与平面垂直的判定定理(高级中学数学人教出版必修二).ppt

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1、2.3.2 平面与平面垂直的判定定理,1.在平面几何中角是怎样定义的？,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。,复习回顾,2.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a /a， b/ b，我们把相交直线a 和 b所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角.,3.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.,范围：( 0o, 90o ,范围： 0o, 90o ,空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平

2、面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.,在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.,两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的,我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些， 我们应该怎么刻画二面角的大小？,(1) 半平面的定义,一、二面角的概念,平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面,半平面,半平面,(2) 二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二

3、面角的面,棱,面,面,平卧式：,直立式：,(3) 二面角的画法和记法：,面1棱面2,点1棱点2,二面角 l ,二面角AB,二面角CAB D,直立式,3、举出二面角的实例，并画出二面角。,平卧式,二面角画法,由上可知：各二面角的“张角”不同，那么如何度量二面角的大小呢？,A,O,l,B,(4) 二面角的平面角,A,B,O,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图， ，则AOB成为二面角 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.,二面角的平面角必须满足：,角的边都要垂直于二面角的棱,角的顶点在棱上,角的两边分别在两个面内,10,质

4、疑二:在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？,=,等角定理：如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。）,A,B,A,B,二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。,结论：二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。,.,二面角的取值范围一般规定为： 0o, 180o ,A,B,0。，180。,(4) 二面角的平面角,二面角的范围为：,注1：当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180； 平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两

5、半平面所在的两个平面互相垂直.,定义法 垂线法 作棱的垂面法,一个平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，且与两半平面的交线分别是射线 OA、OB，O 为垂足，则AOB 为二面角 -l- 的平面角,(5) 二面角的平面角的作法：,A,B,补充,练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：,二面角B-BC-A,O,E,O,二面角A-BC-D,14,正方体AC中,（定义法）,（垂线法）,例1 在正方体AC1中，E为BC中点，,F,E,G,H,（1）,（2）,1、求二面角AB1CB的正弦值;,2、求二面角EB1D1C1的正切值。,例2： 正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_，

6、二面角B-AA1-D的大小为_，二面角C1-BD-C的正切值是_.,45,90,练习,A .,O,解：,则AD l .,sinADO=, ADO=60.,即二面角 l 的大小为60 .,在RtADO中，,AO AD,练1： 已知二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 ，到l的距离为 4. 求二面角 l 的大小.,D,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD，,就是二面角 l 的平面角.,back,练 在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，则这个二面角的大小是_.,45或135,2： 如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的

7、棱AB的中点，求二面角A1MCA的正切值,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂线,AA1,作平面角,作AHCM交CM的延长线于H，连结A1H,平面ABCD,解：作AHCM交CM的延长线于H，连 结A1HA1A平面AC，AH是A1H 在平面AC内的射影，A1HCM，,A1HA为二面角A1CMA的平面角,设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，则在 直角AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = ,back,C,D,H,G,600,300,3：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?,A,B,练习,一、计算二面角的关键是作

8、出二面角的平面角，其作法主要有： (1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面角的平面角 (2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角 二、求二面角的思路是 “一作、二证、三算”,如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？,二、平面与平面垂直的判定,文字语言：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这两个平面 互相垂直,面面垂直的判定定理,符号语言：,A,B,图形语言：,该定理作用：“线面垂直面面垂直”,应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.,证明：,C,D,A,B,在平面内过B点作直线BECD，则A

9、BE就是二面角-CD-的平面角，,设=CD，AB在上，则BCD.,a,back,证明：由AB是圆O的直径，可得ACBC,平面PAC平面PBC,例1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC平面PBC,练习,例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。,求证：平面PAC平面PBD。,证明：,例3： ABCD是正方形，O是正方形的 中心，PO平面ABCD ， E是PC的中点， 求证：(1) PC平面BDE； (2)平面PACBDE.,P,O,A,B,C,D,E,探究：,2.如图所示：在RtABC中，ABC=900 ,

10、P为ABC所在平 面外一点，PA平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直， 为什么？,作业1： 正方体ABCDA1B1C1D1中， 求证：,2：,1.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体SEFG中必有( ). (A)SGEFG所在平面 (B)SDEFG所在平面 (C)GFSEF所在平面 (D)GDSEF所在平面,S,G1,G2,G3,E,F,D,S,G1,G2,G3,E,F,D,SGEFG所在平面.故选A.,E,F,back,练2 在长方体A

11、BCD-A1B1C1D1中，AB=2， BC=BB1=1， E为C1D1的中点，求二面角 E-BD-C的大小.,A,A1,B,B1,C,C1,D,D1,E,M,F,back,3：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的大小,思路分析：,找基面,平面BCD,作基面的垂线,过E作EFCD于F,F,作平面角,作FGBD于G，连结EG,G,解：过E作EFCD于F，,于是，EGF为二面角EBDC的平面角,BC = 1，CD = 2，,而EF = 1，在EFG中, ABCDA1B1C1D1是长方体， EF平面BCD，且F为CD

12、中点，,过F作FGBD于G，连结EG，则EGBD（三垂线定理）,M,练习,思路分析：,找基面,找基面的垂线,作平面角,平面ABC,取AB的中点M，连结PM,M,由己知AB2 = AC2 + BC2，ACB是直角,N,取AC的中点N，连结MN、PN,MNBC，ACBC，MNAC，由三垂线定理知PNAC,MNP就是二面角PACB的平面角,PA = PB = PC，PAMPCM PMAM，PMCM， PM平面ABC,连结CM，AM = BM = CM，,4.已知ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点,且PA=PB = PC = AC = 8, 求二面角PACB的平面角的正切值.,back,练 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？,