2022年椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习 .docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - (一)椭圆的定义:1、椭圆的定义:平面内与两个定点F 、F 的距离之和等于定长(大于|F F 2|)的点的轨迹叫做 椭圆 ;这两个定点F 、F 叫做椭圆的 焦点 ,两焦点的距离|F F 2|叫做椭圆的 焦距;对椭圆定义的几点说明:(1)“ 在平面内” 是前提,否就得不到平面图形(去掉这个条件,我们将得到一个椭球 面);(2)“ 两个定点” 的设定不同于圆的定义中的“ 一个定点”,学习时留意区分;(3)作为到这两个定点的距离的和的“ 常数” ,必需满意大于 | F1F2| 这个条件; 如不然,当这个“ 常数” 等于 | F1F2| 时,我们得到的
2、是线段 F1F2;当这个“ 常数” 小于 | F1F2| 时,无轨迹;这两种特别情形,同学们必需留意;(4)下面我们对椭圆进行进一步观看,发觉它本身具备对称性,有两条对称轴和一个对称中心, 我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1, A 2, B 1, B 2,于是我们易得 | A1A2|的值就是那个“ 常数”,且 |B 2F2|+|B2F1| 、|B1F2|+|B1F1| 也等于那个“ 常数”;同学们想一想其中的道理;(5)中心在原点、焦点分别在x 轴上, y 轴上的椭圆标准方程分别为:x2y21ab0,y2x21ab0,(第一个椭圆的a2b2a2b2相同点是:外形相同、大小相同;都有 a
3、b 0 ,2 ac22 b ;不同点是: 两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同焦点坐标为( c,0)和( c,0),其次个椭圆的焦点坐标为(焦点在 x 轴上 标准方程中 x 2 项的分母较大;椭圆的焦点在的分母较大;(二)椭圆的几何性质:0, c)和( 0,c);椭圆的 y 轴上 标准方程中 y 2 项椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质,只名师归纳总结 要x2x2y211abb00的 有 关 性 质 中 横 坐标x 和 纵 坐 标y 互 换, 就 可 以 得 出第
4、 1 页,共 28 页a22 by2a的有关性质;总结如下:2 a2b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 几点说明:(1)长轴:线段(2)对于离心率A A ,长为 2a ;短轴:线段B B ,长为 2b ;焦点在长轴上;e,由于 ac0,所以 0e1,离心率反映了椭圆的扁平程度;由于eca22 b12 b,所以 e 越趋近于 1,b 越趋近于 0 ,椭圆越扁平; eaaa2越趋近于 0, b 越趋近于 a ,椭圆越圆;(3)观看下图,|OB2|b OF2|c ,所以|B F 2|a ,所以椭圆的离心率e = cosOF2B2(三)直线与椭圆:直线 l :
5、AxByC0( A 、 B 不同时为 0)通过方程组的解的椭圆 C :x2y21ab02 ab2那么如何来判定直线和椭圆的位置关系呢?将两方程联立得方程组,个数来判定直线和椭圆交点的情形;方法如下:名师归纳总结 AxByC10消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,化简后形式如下第 2 页,共 28 页2 xy2a22 b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - mx2nxp0m0,n24 mp(1)当 0时,方程组有两组解,故直线与椭圆有两个交点;(2)当 0 时,方程组有一解,直线与椭圆有一个公共点(相切);(3)当 0时,方程组无解,直线和椭圆没有公共点
6、;注:当直线与椭圆有两个公共点时,设其坐标为 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,那么线段 AB 的长度(即弦长)为 | AB | x 1 x 2 2 y 1 y 2 2,设直线的斜率为 k ,可得:| AB | x 1 x 2 2 k x 1 x 2 21 k 2 | x 1 x 2 |,然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出;典型例题一例 1椭圆的一个顶点为A2,其长轴长是短轴长的2 倍,求椭圆的标准方程分析: 题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置解:(1)当A2,为长轴端点时,a2,b1,是不能确定椭圆椭圆的标准方程为:x2y21;41(2)当A2,为短轴端点时,
7、b2,a4,椭圆的标准方程为:x2y21;416说明: 椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,的横竖的,因而要考虑两种情形典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率解:2ca2213 c2a2,c3e1333说明: 求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求 含 a 和 c 的齐次方程,再化含 e 的方程,解方程即可典型例题三a ,求 c ,再求比二是列名师归纳总结 例 3 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆与直线xy10交于 A 、B 两点,M 为 AB第 3 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
8、- - - - 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为解: 由题意,设椭圆方程为ax22y221,a2xy102x2ax0由x 2y21,得12 a2,求椭圆的方程x Mx 12x21a2,yM214xM112,a2akOMyM111,a,xa24Mx2y2为所求4说明:( 1)此题求椭圆方程采纳的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,常常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例 4 椭圆x2y21上不同三点Ax 1,y 1,B9 4,5,Cx 2,y2与焦点F4,的距离259成等差数列(1)求证x 1x28;(2)如线段 AC 的垂直平分线与 证明:(1
9、)由椭圆方程知 a 5,x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k b 3,c 4名师归纳总结 由圆锥曲线的统肯定义知:AFx 19c a,第 4 页,共 28 页a2cAFa5ex 154x 15同理CF4x 2,5AFCF2BF,且BF554x 154x218,555即x 1x28- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - (2)由于线段 AC 的中点为4,y 12y2,所以它的垂直平分线方程为y y 1 y 2 x 1 x 2 x 42 y 1 y 2又点 T 在 x 轴上,设其坐标为 x 0,代入上式,得2 2x 0 4 y 1 y 22 x 1 x
10、 2又点 A x 1,y 1,B x 2,y 2 都在椭圆上,y 1 2 9 25 x 1 2252 9 2y 2 25 x 225y 1 2y 2 2 9x 1 x 2 x 1 x 225将此式代入,并利用 x 1 x 2 8 的结论得x 0 4 36259kBT 5 0 54 0x 4典型例题五例 5 已知椭圆x2y21,F 、F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使 M 到左准43线 l 的距离 MN 是MF 1与MF 2的等比中项?如存在,就求出点M 的坐标;如不存在,请说明理由解:假设 M 存在,设Mx 1,y 1,由已知条件得a2,b3,c1,e1 2左准线 l 的方程是x4,M
11、N4x 1又由焦半径公式知:名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - MF 1aex 121x 1,2MF 2aex 121x 12MN2MF 1MF2,x 1x 14221x 12122整理得52 x 132x 1480解之得1x4或1x125另一方面21x2M 不存在就与冲突,所以满意条件的点说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,依据已知条 件进行推理和运算进而依据推理得到的结果,再作判定(3)本例也可设M2cos,3sin存在,推出冲突结论(读者
12、自己完成)典型例题六例 6 已知椭圆x2y21,求过点P1,12 2且被 P 平分的弦所在的直线方程2分析一: 已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k,利用条件求k解法一: 设所求直线的斜率为k ,就直线方程为y1kx1代入椭圆方程,并22整理得名师归纳总结 12 k2x22 k22 kx1k2k301x 、x 、1y 、2y 的方程组,从第 6 页,共 28 页22由韦达定理得x 1x22 k22k12 k2k1 P 是弦中点,x 1x21故得2所以所求直线方程为2x4y30y2,列关于分析二: 设弦两端坐标为x ,y 1、x ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
13、 - - - - 而求斜率:y1y 2x 1x 2解法二: 设过P1,12 2的直线与椭圆交于Ax 1,y 1、Bx2,y2,就由题意得x 1 22 y 11,22 x 2y 2 21,2x 1x 21,y 1y 21.得2 x 12x22 y 1y2022y21,即直线的斜率为1将、代入得y 1x 1x222所求直线方程为2x4y30说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹(2)解法二是“ 点差法”,解决有关弦中点问题的题较便利,要点是巧代斜率(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“ 韦达定理应用” 及“ 点差法”有关二次曲线
14、问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程名师归纳总结 b2(1)长轴长是短轴长的2 倍,且过点2,6;y26a2148,第 7 页,共 28 页(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机相互垂直,且焦距为1求出分析: 当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由x22b2a37,在得方程x2y21后,不能依此写出另一方程y2x211483714837解:(1)设椭圆的标准方程为x2y21或y2x21a2b2a2b2由已知a2 b又过点2,6,因此有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22621或62221a2b2a2b2由、,得 a
15、2 148,b 237 或 a 252,b 213故所求的方程为2 2 2 2x y1 或 y x 1148 37 52 132 2(2)设方程为 x2 y2 1由已知,c 3,b c 3,所以 a 2 18故所求方程a b2 2为 x y 118 9说明: 依据条件求椭圆的标准方程的思路是“ 选标准,定参数”关键在于焦点的位置2 2 2 2是否确定,如不能确定,应设方程 x2 y2 1 或 y2 x2 1a b a b典型例题八例 8 椭圆x2y21的右焦点为 F ,过点A1,3,点 M 在椭圆上, 当AM2MF1612为最小值时,求点M 的坐标分析: 此题的关键是求出离心率最小值一般地,求
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