数学必修三必修四知识点归纳.ppt

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1、数学必修三总复习,第一章 算法初步,算法知识结构：,基本概念,算法,基本结构,表示方法,应用,自然语言,程序框图,基本算法语句,顺序结构,条件结构,循环结构,辗转相除法和更相减损数,秦九韶算法,进位制,赋值语句,条件语句,循环语句,输入、输出语句,算法的定义： 通常指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。,算法最重要的特征： 1.有序性 2.确定性 3.有限性,算法的基本特点,1、有限性,一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束。,2、确定性,算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的，既不能含糊其词，也

2、不能有二义性。,3、有序性,算法中的每一个步骤都是有顺序的,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步后,才能执行后一步,有着很强逻辑性的步骤序列。,用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形称为程序框图，它使算法步骤显得直观、清晰、简明.,终端框 (起止框),输入、输出框,处理框 (执行框),判断框,流程线,连接点,二、程序框图,程序框图又称流程图，是一种用规定的图形，指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。,二、程序框图,1、顺序结构,2、条件结构,3、循环结构,先做后判，否去循环,先判后做，是去循环,二、程序框图,1、顺序结构,设计一算法,求和1+2+3+ +100， 并画出程序框图。

3、,二、程序框图,2、条件结构,算法： 第一步：输入x; 第二步：如果x0；则输出x；否则输出x。,设计一个算法，求数x的绝对值，并画出程序框图。,算法分析：实数X的绝对值,二、程序框图,3、循环结构,直到型循环结构 当型循环结构,A,D,设计一个计算1+2+3+100的值的算法，并画出程序框图。,算法： 第一步：令i=1,s=0; 第二步：s=s+i 第三步：i=i+1； 第四步： 直到i100时,输出S， 结束算法，否则返回第二步。,程序框图如下：,循环结构,直到型循环结构,设计一个计算1+2+3+100的值的算法，并画出程序框图。,算法： 第一步：令i=1,s=0; 第二步：若i=100成

4、立，则执行第三步；否则，输出s，结束算法； 第三步：s=s+i； 第四步：i=i+1,返回第二步。,当型循环结构,程序框图如下：,INPUT “提示内容”;变量,PRINT “提示内容”;表达式,变量表达式,可对程序中 的变量赋值,可输出表达式的值，计算,可对程序中的变量赋值，计算,（1）提示内容和它后面 的“；”可以省略,（2）一个语句可以给多个变 量赋值，中间用“，”分隔,（3）无计算功能,（1）表达式可以是变量， 计算公式，或系统信息,（2）一个语句可以输入多 个表达式，中间用“，”分隔,（3）有计算功能,（1）“=”的右侧必须是表达式，左侧必须是变量,（2）一个语句只能给一个变量赋,（

5、3）有计算功能,三五种基本算法语句,（4）条件语句,IF-THEN-ELSE格式,IF-THEN格式,IF 条件 THEN 语句1 ELSE 语句2 END IF,IF 条件 THEN 语句 END IF,（5）循环语句,WHILE语句,UNTIL语句,WHILE 条件 循环体 WEND,DO 循环体 LOOP UNTIL 条件,While（当型）循环,Until（直到型）循环,两种循环结构有什么差别？,先执行循环体，然后再检查条件是否成立，如果不成立就重复执行循环体，直到条件成立退出循环。,先判断指定的条件是否为真，若条件为真，执行循环条件，条件为假时退出循环。,先执行 后判断,先判断 后执

6、行,编写程序,求和1+2+3+ +n。,INPUT n,PRINT “S=” ; S,程序语句：,输入语句,赋值语句,输出语句,顺序结构：,END,变量=表达式,练：编写一程序，求实数X的绝对值。,条件结构：,IF X=0 THEN PRINT X ELSE PRINT -X END IF,程序:,INPUT X,END,条件语句：,i=1,S=0,WHILE i=100,S=S+i,i=i+1,WEND,PRINT S,END,当型循环语句,当型循环语句,练：设计一算法,求和1+2+3+ +100。,WHILE,条件,循环体,WEND,程序框图：,程序语句：,当型循环结构,i=1,S=0,D

7、O,S=S+i,i=i+1,LOOP UNTIL i100,PRINT S,END,开始,结束,输出S,直到型循环语句,直到型循环语句,否,是,DO 循环体 LOOP UNTIL 条件,直到型循环结构,一、辗转相除法（欧几里得算法）,1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,(1)、算法步骤：,第一步：输入两个正整数 m,n(mn). 第二步：计算m除以n所得的余 数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r0,则m,n的最大 公约数

8、等于m；否则 转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.,以求8251和6105的最大公约数的过程为例 步骤：,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,更相减损术,可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以

9、大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,（1）、九章算术中的更相减损术：,1、背景介绍：,（2）、现代数学中的更相减损术：,2、定义：,所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,例: 用更相减损术求98与63的最大公约数.,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721 21721 1477,所以，98和63的最大公约数等于7,3

10、、方法：,比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。,1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数,练习：,思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。,2、求324、243、135这三个数的最大公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最

11、大公约数即为所求。,数书九章秦九韶算法,对该多项式按下面的方式进行改写：,要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即,然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即,这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。,思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？,通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。,秦九韶算法的特点：,在秦九韶算法中反复执行的步骤，可用循环结构来实现。,例:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.,解法一:首先将原多项式改写成如下形式

12、 : f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5 v2=v1x-4=55-4=21 v3=v2x+3=215+3=108 v4=v3x-6=1085-6=534 v5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,2 -5 -4 3 -6 7,x=5,10,5,25,21,105,108,540,534,2670,2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,原多项式的系数,多项式的值.,例.用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7

13、当x=5时的值.,解法二:列表,2,一、进位制,进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。,进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。,“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.,基数：,二进制、七进制、八进制、十二进制、六十进制等,二进制只有0和1两个数字，七进制用06七个数字,十六进制有09十个数字及ABCDEF六个字母.,式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢十进一的。,我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不同的数字符号0，

14、1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。,十进制：,例如133.59，它可用一个多项式来表示：,133.59=1*102+3*101+3*100 +5*10-1+9*10-2,为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制一般不标注基数.,例如十进制的133.59，写成133.59(10),七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2),二进制与十进制的转换,1、二进制数转化为十进制数,例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。,解：,根据进位制的定义可知,所以，110011（2）=51,把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？,方法：除2取余法，即用2连续去除8

15、9或所得的商，然后取余数。,例、 把89化为二进制数,解：,根据“逢二进一”的原则，有,892441, 2 (2220)+1, 2( 2( 2110)+0)+1, 2 (2 (2 (2 51)+0)+0)+1,5 2 21,2（2（2（2（221）1）0）0）1,89126025124123022021120,所以：89=1011001（2）,2（2（2（2321）0）0）1,2（2（242220）0）1,2（2523+2200）1,2624+230020,892441,44 2220,22 2110,11 2 51, 2 (2 (2 (2 (2 21)+1)+0)+0)+1,所以892（2（

16、2（2（2 2 1）1）0）0）1,十进制转换为二进制,注意： 1.最后一步商为0， 2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到： 89=1011001（2）,另解（除2取余法的另一直观写法）：,5,2,2,2,1,2,0,1,0,余数,11,22,44,89,2,2,2,2,0,1,1,0,1,例：把89化为五进制数。,解：,根据除k取余法,以5作为除数，相应的除法算式为：,所以，89=324（5）,除k取余法：十进制数转化为k进制数的方法 用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的k进制数。,考题剖析,。,点评本小题考查程序框图中的循环

17、结构，主要是根据框图，找到规律。,考题剖析,。,点评本题考查条件结构的程 序框图，求解时，对字母比较难理解， 可以取一些特殊的数值，代进去，方 便理解。,解:由程序框图可知第一个判断框 作用是比较x与b的大小,故第二个 判断框的作用应该是比较x与c的 大小。故选（A）,（2010安徽理数）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值,_。,【解析】 程序运行如下:,输出12,例、如图给出了一个算法流程图，该算法流程 图的功能是（ ） A.求a，b，c三数的最大数 B.求a，b，c三数的最小数 C.将a，b，c按从小到大排序 D.将a，b，c按从大到小排序,第二章 统计,统计,用样本估计总体,随机抽

18、样,简单随机抽样,系统抽样,分层抽样,变量间的相关关系,用样本的频率 布估计总体分布,用样本的数字特征估计总体数字特征,知识结构,知识梳理,1. 简单随机抽样,（1）思想：设一个总体有N个个体， 从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本， 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样.,抽签法： 第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上. 第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀. 第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.,（2）步骤：,随机数表法： 第一步，将总体中的所有个体编号. 第二步，在随机数表中

19、任选一个数作为起始数. 第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本.,2. 系统抽样,（1）思想：将总体分成均衡的n个部分，再按照预先定出的规则，从每一部分中抽取1个个体，即得到容量为n的样本.,（2）步骤： 第一步，将总体的N个个体编号. 第二步，确定分段间隔k，对编号进行分段. 第三步，在第1段用简单随机抽样确定起始个体编号. 第四步，按照一定的规则抽取样本.,3. 分层抽样,（1）思想：若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定

20、数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本.,（2）步骤： 第一步，计算样本容量与总体的个体数之比. 第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数. 第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体. 第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本.,三种抽样方法的比较如下表:,用样本估计总体:一般分成两种 (1)是用样本的频率分布估计总体的分布; (2)是用样本的数字特征(如平均数标准差等) 估计总体的数字特征.,所谓第一种就是利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计,有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体估计,第二种就是为了从整体上更好地把握总

21、体的规律,可以通过样本数据的众数中位数平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计,几个概念: 众数:样本数据中出现最多的数据; 中位数:把样本数据分成相同数目的两部分,其中一部分 比这个数小,另一部分比这个数大的那个数; 中位数是 一组数据的中间水平。 平均数:所有样本数据的平均值,用 表示; 标准差:是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量,其 计算公式如下: 方差:标准差的平方 注意：中位数和众数不同，中位数不一定在这组数据中。而众数必定在该组数据）例：2、3、4、5、6、7 中位数：中间的两个数相加后除2=（4+5）/2=4.5,4. 频率分布表,（1）含义：表示样本数据分布规律的

22、表格.,（2）作法： 第一步，求极差. 第二步，决定组距与组数（强调取整）. 第三步，确定分点，将数据分组. 第四步，统计频数，计算频率，制成表格.,5. 频率分布直方图,（1）含义：表示样本数据分布规律的图形.,（2）作法： 第一步，画平面直角坐标系. 第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度. 第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.,频率分布直方图的特征： 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。,频率分布表与频率分布直方图的区别: 频率分

23、布表列出的是在各个不同区间内取值的频率。 频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率。,6. 频率分布折线图,在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端中点得到的一条折线，称为频率分布折线图.,画出频率分布折线图.,频率/组距,月均用水量/t,(取组距中点, 并连线 ),7. 总体密度曲线,当总体中的个体数很多时，随着样本容量的增加，所分的组数增多，组距减少，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.,8. 茎叶图,作法： 第一步，将每个数据分为“茎”（高

24、位）和“叶”（低位）两部分； 第二步，将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列，写在左（右）侧； 第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧.,例: 甲乙两人比赛得分记录如下： 甲：13, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39 乙：49, 24, 12, 31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25, 36, 39 用茎叶图表示两人成绩，说明哪一个成绩好,甲乙,0 1 2 3 4 5,2, 5 5, 4 1, 6, 1, 6, 7, 9 4, 9 0,8 4, 6, 3 3, 6, 8 3, 8, 9 1,叶 茎 叶,茎叶图 (

25、一种被用来表示数据的图),（）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。 （）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。,茎叶图的特征：,9. 众数、中位数和平均数,众数：频率分布直方图最高矩形下端中点的横坐标.,中位数：频率分布直方图面积平分线的横坐标.,平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的总和.,10. 标准差,11. 相关关系,自变量取值一定时，因变量

26、的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.,12. 散点图,在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.,如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.,13. 回归直线,14.求回归直线方程的步骤:,例1.某工厂人员及周工资构成如下：,（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数.,（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？,200, 220，300.,(2)因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平

27、均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.,例2.以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在550分，若某同学今年高考得了520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？,解析: (1)查往年录取的新生的平均分数.若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以报考.,(2)查往年录取的新生高考总分的标准差.若标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考.,第三章 概率,概率知识点：,1、频率与概率的意义,3、古典概型,4、几何概型,2、事件的关系和运算,1、频率本身是随机的，在试验前不能确定。做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。 2、概率是一个确

28、定的数，与每次试验无关。是用来度量事件发生可能性大小的量。 3、频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。,频率与概率的意义:,事件的关系和运算：,（2）相等关系:,（3）并事件（和事件）:,（4）交事件（积事件）:,（5）互斥事件:,（6）互为对立事件:,（1）包含关系:,且 是必然事件,A=B,互斥事件与对立事件的联系与区别：,概率的基本性质,(1) 0P（A）1,(2) 当事件A、B互斥时，,(3) 当事件A、B对立时，,（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性） （2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）,古典概型,1）两个特征：,2）古典概型计

29、算任何事件的概率计算公式为：,(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.,几何概型,1）几何概型的特点:,2）在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:,练习： 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ）,B.,C.,D.,A.,2、某种彩票中奖几率为0.1，某人连续买1000张彩票，下列说法正确的是：（ ） A、此人一定会中奖 B、此人一定不会中奖 C、每张彩票中奖的可能性都相等 D、最后买的几张彩票中奖的可能性 大些,3有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）

30、 A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.只有1次中靶,4、甲、乙两人下棋，两人下和棋的概率为 ，乙获胜的概率为 ，则甲获胜的概率为_,5、在相距5米的两根木杆上系一条绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率为_,6、袋中有红、白色球各一个，每次任意取一个，有放回地抽三次， （1）三次颜色中恰有两次同色的概率？ （2）三次颜色全相同的概率？ （3）抽取的红球多于白球的概率？,7、 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为1,在正方体内随机地取一点M,则四棱 锥M-ABCD的体积小于 的概率为 .,M,8、如图，在三角形AOB中,已知 AOB=60,OA=

31、2，OB=5，在线段OB上任取一点C，试求 (1)AOC为钝角三角形的概率. (2)AOC为锐角三角形的概率.,A,B,O,C,C,9、甲乙两辆货车都要停靠同一个站台卸货，他们可能在一昼夜的任一时刻到达，甲乙两辆货车卸货的时间分别是6小时与4小时。求有一辆货车停靠站台时不需等待的概率。,再见,三角函数总复习,任意角的概念,角的度量方法 （角度制与弧度制）,弧长公式与 扇形面积公式,任意角的 三角函数,同角公式,诱导公式,两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,三角函数式的恒等变形 （化简、求值、证明）,三角函数的 图形和性质,正弦型函数的图象,已知三角函数值，求角,知识网络结构,1.角的概念的

32、推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.,（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.,（4）角在“到”范围内，指.,（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.,一、基本概念：,一、任意角的三角函数,1、角的概念的推广,正角,负角,o,x,y,的终边,的终边,零

33、角,二、象限角：,注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。,三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：,（角度制）,（弧度制）,例1、求在 到 （ ）范围内，与下列各角终边相同的角,原点,x轴的非负半轴,角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。,1、终边相同的角与相等角的区别,终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。,2、象限角、象间角与区间角的区别,3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式,三、终边相同的角,(1)与 角终边相同的角的集合:,1.几类特殊角的表示方法, | =2k+, kZ.,(2)象限角、象限界角

34、(轴线角),象限角,第一象限角:,第二象限角:,第三象限角:,第四象限角:,一、角的基本概念,轴线角,x 轴的非负半轴: =k360(2k)(kZ);,x 轴的非正半轴: =k360+180(2k+)(kZ);,x 轴: =k180(k)(kZ);,典型例题,各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的、分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；,例1.若是第三象限的角，问/2是哪个象限的角?2是哪个象限的角?,高考试题精选及分析,C,点评: 本题先由所在象限确定/2所在象限,再/2的余弦符号确定结论.,例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：,解：分针所转过的角度,评析： 在解选择题或填

35、空题时， 如求角所在象限，也可以不讨论k的 几种情况，如图所示利用图形来判断.,四、什么是1弧度的角？,长度等于半径长的弧所对的圆心角。,（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的度数和弧度数. 在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制,（4）弧长公式和扇形面积公式.,度 弧度 0,2、角度与弧度的互化,特殊角的角度数与弧度数的对应表,略解：,例3已知角和满足求角的范围.,解：,例4、 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？,扇形面积最大值为625.,例7.已知一扇形中心角是，所在圆的半径是R. 若60，R10c

36、m，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. 若扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值?,指导:扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度.,解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。,正弦线：,余弦线：,正切线：,（2）当角的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。,2.正弦线、余弦线、正切线,有向线段MP,有向线段OM,有向线段AT,注意： （1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐

37、标系中引进正弦线、余弦线和正切线,三角函数,三角函数线,正弦函数 余弦函数 正切函数,正弦线MP,正弦、余弦函数的图象,P,M,A(1,0),T,sin=MP,cos=OM,tan=AT,注意：三角函数线是有向线段！,余弦线OM,正切线AT,P,O,M,P,O,M,P,O,M,P,O,M,MP为角的正弦线,OM为角的余弦线,10）函数y=lg sinx+ 的定义域是（A） （A）x|2kx2k+ (kZ) （B）x|2kx2k+ (kZ) （C）x|2kx2k+ (kZ) （D）x|2kx2k+ (kZ),专题知识,三角函数线的应用,一、三角式的证明,2、已知：角 为锐角， 试证：,1、已知：

38、角 为锐角， 试证：（1）,4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形圆心角是多少？扇形的的面积是多少？,答：圆心角为-2，面积是,5、用单位圆证明sian tan.(00 900,A,T,P,M,提示：利用三角函数线和三角形面积与扇形面积大小关系证明。,例5 已知角的终边经过点,例6 若为第一象限角，利用三角函数线证明：,若为其它象限角呢？,例7 求函数 的定义域.,4.三角函数的符号,一、任意角的三角函数定义,x,y,o,P(x,y),r,二、同角三角函数的基本关系式,倒数关系：,商关系：,平方关系：,三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”,平方关系,倒数关系,

39、商式关系,5.同角三角函数基本关系:,神奇的六边形,（1）上述几个基本关系中，必须注意：它们都是同一个角的三角函数，因此sin2+sin2 =1不一定成立；这几个恒等式都是在所取的角使等式两边都有意义的前提下成立. （2）同角三角函数的基本关系常用于：已知角的某个三角函数值，求角的其他三角函数值；化简三角函数式；证明三角恒等式,同角三角函数基本关系注意事项:,三、典型例题分析,【解题回顾】已知三角函数值求同角的其它三角函数值是一个基本题型，解答此问题过程中，通过基本关系式中正弦、余弦、正切之间的联系，必需开方且只需开方一次（有的题型根据已知条件可以尽量回避开方，使得问题轻松获解 ），根据角所在

40、象限，确定正负号的取舍.当给出的的象限指定唯一，则此时一般有一解；当角的象限没有定，可根据已知的函数值的符号确定的象限，此时一般有二解（除轴上角外）；当已知的三角函数值符号不确定，此时一般有四解（除轴上角.外）.,例1：已知 是第三象限角，且 ，0求 。,四、主要题型,解：,应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；,例2已知sin=m (|m|1) ，求tan.,方法指导：此类例题的结果可分为以下三种情况. (1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解. (2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解. (3)已知角的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论.分象限讨论的

41、依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解.,指导：容易出错的地方是得到x23后，不考虑P点所在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地，在解此类问题时，可以优先注意角所在的象限，对最终结果作一个合理性的预测,例4设为第四象限角，其终边上的一个点是 P(x， )，且cos ，求sin和tan.,设00900，对于任意一个00到3600的角,=,， 当00，900,1800-， 当900，1800,1800+，当1800，2700,3600-，当2700，3600,如何求非锐角的三角函数值呢？,角1800-， 1800+， 3600-的三角函数值与 的三角函数值有何关系

42、呢？,6.诱导公式:,公式5：,奇变偶不变，符号看象限！,（注意：把 看作是锐角）,公式五：,公式六：,偶同奇余,象限定号,（K是奇数）,（K是偶数）,（K是奇数）,（K是偶数）,诱导公式总结：,口诀：奇变偶不变，符号看象限,意义：,利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行:,任意负角的 三角函数,任意正角的 三角函数,锐角三 角函数,到 的角 的三角函数,特殊角的三角函数值,你记住了吗？,三、典型例题分析,【解题回顾】视sin，cos 等为“一次式”，sin2 ，sin cos 等为“二次式”. 象此题中的“分式齐次式”、“齐次二项式”是典型的条件求值，一般化为

43、含tan 的式子.要注重数字“1”的代换，表面上看增加了运算，但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识,1、,若 ，则,分析: 从已知 可求出,同除以 得,例1：,原式可化为,（04 湖南),例5，若tanA=,求2sin2A+sinAcosA-3cos2A 的值。,指导：这是一个已知角A的三角函数值，求它的三角函数式的值。观察其构成特征，可考虑利用“1”的恒等变形，把欲求值的三角函数式用条件正切来表示。即先变形，后代入计算。,解：,例5，若tanA=,求2sin2A+sinAcosA-3cos2A 的值。,分析：,属“给值求值”型,本例若借助题

44、目条件的特殊性来整体考虑使用条件应比较简单些。,齐,例题与练习,例4 化简,练习1 求sin(2n+2/3)cos(n+4/3)的值(nZ),2 化简 cos(4n+1)/4+x+ cos(4n-1)/4-x,当n为奇数时，原式=-2cos(/4+x) 当n为偶数时，原式=2cos(/4+x),当n为偶数时，,当n为奇数时，,补充: 已知 (1)试判断 的符号； (2)化简,作业,解：由,的终边在第二、三象限或y轴和x轴的负半轴上；,又 ， 角的终边在第二、四象限， 从而 的终边在第二象限。,（1）易知,（2）原式=,【解题回顾】 证等式常用方法： （1）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到

45、简为原则） （2）两边向中间证 （3）分析法； （4）用综合法 证等式的思路要灵活，根据等式两边式子结构特点，寻求思路.,三、典型例题分析,三、典型例题分析,【解题回顾】根据目标式子无的特点， 采用消元思想， 三角平方关系式消元是一重要方法.,四、sincos， sincos ，sincos 三个式子中，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值。,例2、:已知,三、典型例题分析,求 的值.,【解题回顾】sin与cos通过公式 sin2+cos2=1形成对立与统一的整体，它们的和sin+cos、差sin-cos、积sincos、商sin/cos(即tan)密切相联，如(sin+cos）2=

46、1+2 sincos，,例6，若 ， 则 。,指导:条件是正余弦的乘积，结论要求的是差，要想联系起来只有平方，需注意的是 ( , ) 即,小结：解决“给值求角”型问题，关键是利用给定的三角函数值或者首先求出该角的某一个三角函数值，在某个范围内求出具体的角。,练习：,例3 已知是三角形的内角，且sin+cos= ，求tan的值。,解答下列问题： （1）若 在第四象限，判断 的符号； （2）若 ，试指出 所在的象限， 并用图形表示出的取值范围.,思考题,三、三角函数图像和性质,R,R,-1,1,-1,1,R,奇,奇,偶,无最值,无,2,2,定义域,值域,奇偶性,单调性,周期性,对称性,R,R,R,

47、-1,1,-1,1,奇函数,奇函数,偶函数,增区间：,增区间：,增区间：,减区间：,减区间：,对称中心：,对称中心：,对称中心：,对称轴：,对称轴：,3、正切函数的图象与性质,y=tanx,图 象,x,y,o,定义域,值域,R,奇偶性,奇函数,周期性,单调性,正切函数的性质：,6、对称性：对称中心,7、渐进线：,四、三角函数的图象和性质,图象,y=sinx,y=cosx,x,o,y,-1,1,x,y,-1,1,性 质,定义域,R,R,值 域,-1，1,-1，1,周期性,T=2,T=2,奇偶性,奇函数,偶函数,单调性,o,1、正弦、余弦函数的图象与性质,五点作图法,p,对称点：(kp,0),对称轴：x=kp,kZ,kZ,练习：,y=3sin(2x+)的图像的一条对称轴方程是（ ）,（A）x=0 (B)x= (C)x=- （D）x= 3,B,解：,令X= 2x+,则y=3sinX,由此可知y=3sinX的图像的对称轴方程为k + /2 ，k Z, 2x+k + /2 ，k Z，解得x=k /2+ , k Z,y=3sin(2x+)的图像的对称轴方程为： x=k /2+ , k Z,令k=0得x= ,1、作y=Asin(x+)图象的方法,2、y=Asin(x+)关于 A、的三种变换,法一：五点法,列表取值方法：是先对x+取 0，/2，3/2，2,法二：图象变换法