2022年概率论与数理统计基础公式大全 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计基础公式大全第一章 随机大事和概率 1 排列组 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数；合公式 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数；加法原理两种方法均能完成此事： m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,其次种方法可由 n 种 2 加法和 方法来完成,就这件事可由 m+n 种方法来完成；乘法原理 乘法原理两个步骤分别不能完成这件事：m n某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,其次个步骤可由 n 种方法来完成,就这件事可由 mn 种方法来完成；重复排列和非重复排列有序 3 一

2、些常 见排列对立大事至少有一个次序问题 4 随机试 验 和 随 机 事件假如一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但 在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果,就称这种试验为随机试验；试验的可能结果称为随机大事；在一个试验下,不管大事有多少个,总可以从其中找出这样一组大事,它具有如下性质：每进行一次试验,必需发生且只能发生这一组中的一个大事；任何大事,都是由这一组中的部分大事组成的； 5 基本事这样一组大事中的每一个大事称为基本大事,用来表示；A,B,件、样本空间基本大事的全体,称为试验的样本空间,用表示；和大事一个大事就是由中的部分点基本大事组成的集合；通常用大写

3、字母C, 表示大事,它们是的子集；为必定大事, . 为不行能大事；不行能大事. 的概率为零,而概率为零的大事不肯定是不行能大事；同理,必定大事 的概率为 1,而概率为 1的大事也不肯定是必定大事；关系：名师归纳总结 6 大事的假如大事 A 的组成部分也是大事B 的组成部分, A 发生必有大事B 发生：第 1 页,共 18 页关系与运算假如同时有, ,就称大事A 与大事 B 等价,或称A 等于 B： A=B ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A、B 中至少有一个发生的大事：A B,或者 A+ B；属于 A 而不属于 B 的部分所构成的大事,称为A 与

4、B 的差,记为A-B,也可表示为 A-AB 或者 ,它表示 A 发生而 B 不发生的大事；A、B 同时发生： A B,或者 AB；A B= . ,就表示 A 与 B 不行能同时发生,称大事 A 与大事 B 互不相容或者互斥；基本大事是互不相容的；-A 称为大事 A 的逆大事,或称A 的对立大事,记为；它表示A 不发生的大事；互斥未必对立；运算：结合率： ABC=ABC A BC=A B C 安排率： AB C=A CBC A BC=AC BC 德摩根率：,为大事, 对每一个大事都有一个实数PA,假设满意以下三个设 为样本空间,条件：1 0 PA1, 7 概率的2 P =1 , , 有公理化定义

5、3 对于两两互不相容的大事常称为可列完全可加性；就称 PA为大事 的概率；1 , 8 古典概2 ；,它是由组成的,就有型设任一大事PA= = 假设随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称,同时样本空名师归纳总结 9 几何概间中的每一个基本大事可以使用一个有界区域来描述,就称此随机试验为几何概第 2 页,共 18 页型；对任一大事A,型10加法公；其中 L 为几何度量长度、面积、体积；PA+B=PA+PB-PAB 式当 PAB 0时, PA+B=PA+PB 11减法公PA-B=PA-PAB 式当 B A 时, PA-B=PA-PB - - - - - - -精选学习资料 - - -

6、 - - - - - - 当 A= 时, P =1- PB 12条件概定义 设 A、 B 是两个大事,且PA0 ,就称 为大事 A 发生条件下,大事B 发生的条件概率,记为；率条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率；例如 P/B=1 P /A=1-PB/A 乘法公式：13乘法公更一般地,对大事A1,A2, An,假设 PA1A2 An-10 ,就有式 ；两个大事的独立性14独立性设大事、 满意 ,就称大事、 是相互独立的；假设大事、 相互独立,且,就有假设大事、 相互独立,就可得到与 、 与 、 与 也都相互独立；必定大事和不行能大事. 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥

7、；多个大事的独立性设 ABC 是三个大事,假如满意两两独立的条件,PAB=PAPB ；PBC=PBPC ；PCA=PCPA 并且同时满意 PABC=PAPBPC 那么 A、B、C 相互独立；对于 n 个大事类似；15全概公设大事满意,1 两两互不相容,2 ,式就有；16贝叶斯设大事, , , 及 满意0 , 1,2, , ,1 , , , 两两互不相容,公式2 , ,就名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,i=1 , 2, n；此公式即为贝叶斯公式；, , , , ,通常叫先验概率；, , , , ,通常称为后验概率

8、；贝叶斯公式反映了“因果 ” 的概率规律,并作出了“ 由果朔因 ” 的推断；我们作了 次试验,且满意u 每次试验只有两种可能结果,发生或 不发生；u 次试验是重复进行的,即发生的概率每次均一样；17伯努利u 每次试验是独立的,即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的；重伯努利试验；表示重伯努利试验中概型这种试验称为伯努利概型,或称为用 表示每次试验发生的概率,就发生的概率为,用显现 次的概率, ；其次章随机变量及其分布Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即大事X=Xk1离散型设离散型随机变量的可能取值为随机变量的的概率为分布律PX=xk=pk,k=1,2, ,就称上式为离散型随机变量

9、；的概率分布或分布律；有时也用分布列的形式给出：明显分布律应满意以下条件：1 , , 2 ；2连续型 随机变量的 分布密度设 是随机变量的分布函数,假设存在非负函数,对任意实数,有,就称 为连续型随机变量；称为 的概率密度函数或密度函数,简称概率密度；密度函数具有下面4个性质：1 ；2 ；3离散与积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的连续型随机作用相类似；变量的关系名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4分布函设 为随机变量,是任意实数,就函数数称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累

10、积函数；可以得到 X 落入区间 的概率；分布函数 表示随机变量落入区间 ,x 内的概率；分布函数具有如下性质：1 ；2 是单调不减的函数,即时,有；3 , ；4 ,即 是右连续的；5 ；5八大分对于离散型随机变量,；大事发生的次数是对于连续型随机变量,；0-1 分布PX=1=p, PX=0=q 布二项分布在 重贝努里试验中,设大事发生的概率为随机变量,设为,就 可能取值为；, 其中 ,就称随机变量听从参数为, 的二项分布；记为；当 时, , ,这就是 0-1 分布,所以 0-1 分布是二项分布的特例；泊松分布设随机变量的分布律为, , ,就称随机变量听从参数为的泊松分布,记为或者 P ；泊松分

11、布为二项分布的极限分布np= ,n；超几何分布随机变量 X 听从参数为n,N,M 的超几何分布,记为Hn,N,M ；,几何分布,其中 p0,q=1-p ；匀称分布随机变量 X 听从参数为p 的几何分布,记为Gp ；设随机变量的值只落在 a ,b 内,其密度函数在a ,b 上为常数即axb 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其他,就称随机变量在a ,b 上听从匀称分布,记为XUa ,b ；分布函数为axb 0, xb ；当 ax1x2 b 时, X 落在区间内的概率为；指数分布 , 0, , 其中 ,就称随机变量X

12、听从参数为的指数分布；X 的分布函数为 , x0 ；记住积分公式：正态分布设随机变量的密度函数为, ,其中 、 为常数,就称随机变量听从参数为、 的正态分布或高斯Gauss分布,记为；具有如下性质：名师归纳总结 1 的图形是关于对称的；第 6 页,共 18 页2 当 时,为最大值；假设 ,就的分布函数为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ；参数 、 时的正态分布称为标准正态分布,记为,其密度函数记为, ,分布函数为；是不行求积函数,其函数值,已编制成表可供查用；-x 1- x 且 0 ；假如 ,就 ；6分位数 下分位表：上分位表：；已知 的分布列为,7函

13、数分离散型布的分布列互不相等如下：,假设有某些 相等,就应将对应的 相加作为 的概率；连续型 先利用 X 的概率密度 fXx 写出 Y 的分布函数 FYy PgX y ,再利用变上下限积分的求导公式求出 fYy ；第三章 二维随机变量及其分布 1 联合分 离散型 假如二维随机向量X, Y的全部可能取值为至多可列个有序对布x,y ,就称 为离散型随机量；设 = X,Y的全部可能取值为 为 = X,Y的分布律或称为 时也用下面的概率分布表来表示：,且大事 = 的概率为 pij, ,称 X 和 Y 的联合分布律；联合分布有名师归纳总结 Yy1 y2 yj第 7 页,共 18 页Xx1p11p12p1

14、jx2p21p22p2jxipi1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 这里 pij 具有下面两个性质：1pij0i,j=1,2, ；2连续型 对于二维随机向量,假如存在非负函数,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即 D=X,Y|axb,cyx1 时,有 F x2,y Fx1,y; 当 y2y1 时,有 Fx,y2 Fx,y1; 3Fx,y 分别对 x 和 y 是右连续的,即45对于 . 4 离散型 与 连 续 型 的 关系 5 边缘分离散型X 的边缘分布为布；Y 的边缘分布为名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页

15、精选学习资料 - - - - - - - - - ；连续型 X 的边缘分布密度为 Y 的边缘分布密度为 6 条件分离散型在已知 X=xi 的条件下, Y 取值的条件分布为布连续型在已知 Y=yj 的条件下, X 取值的条件分布为在已知 Y=y 的条件下, X 的条件分布密度为；在已知 X=x 的条件下, Y 的条件分布密度为7独立性一般型FX,Y=FXxFYy 离散型有零不独立连续型fx,y=fXxfYy 直接判定,充要条件：可别离变量 正概率密度区间为矩形 8 二维均 匀分布二维正态分布0 随机变量的函假设 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn 相互独立,h,g 为连续函数,就：数h X1,

16、X2, Xm和 gXm+1, Xn相互独立；特例：假设X 与 Y 独立,就： hX和 gY独立；例如：假设X 与 Y 独立,就： 3X+1 和5Y-2独立；设随机向量 X,Y的分布密度函数为其中 SD 为区域 D 的面积,就称X,Y听从 D 上的匀称分布,记为X,YUD；例如图 3.1 、图 3.2和图 3.3；y 1 D1 O1 xy名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - D2 1 1 O 2 xy D3 d c O a b x 9 二维正 设随机向量 X,Y的分布密度函数为态分布其中 是 5个参数,就称X,Y听从二维

17、正态分布,记为 X,Y N由边缘密度的运算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,即 XN但是假设 XN ,X,Y未必是二维正态分布；10函数分Z=X+Y 依据定义运算：；布对于连续型, fZz 两个独立的正态分布的和仍为正态分布n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍听从正态分布；,Z=max,minX 假设 相互独立, 其分布函数分别为,就 Z=max,minX1,X2, Xn 1,X2, Xn 的分布函数为：分布 设 n 个随机变量 相互独立,且听从标准正态分布,可以证明它们 的平方和的分布密度为名师归纳总结 我们称随机变量W 听从自由度为n 的 分布,记为W ,其中第 10

18、 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的 一个重要参数；分布满意可加性：设 就t 分布 设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且 可以证明函数 的概率密度为F 分布我们称随机变量T 听从自由度为n 的 t 分布,记为Ttn ；设 ,且 X 与 Y 独立,可以证明的概率密度函数为第四章随机变量的数字特点我们称随机变量F 听从第一个自由度为n1 ,其次个自由度为n2 的F 分布,记为Ffn1, n2. 1 离散型连续型一维随 机变量期望设 X 是离散型随机变量,其分设 X 是连续型随机变

19、量, 其概率布律为 P pk,k=1,2, ,n ,密度为 fx ,的数字期望就是平均值特点 函数的期望要求肯定收敛要求肯定收敛Y=gX Y=gX 方差 DX=EX-EX2,标准差,矩对于正整数k,称随机变量对于正整数k,称随机变量XX 的 k 次幂的数学期望为X 的的 k 次幂的数学期望为X的 k 阶原点矩,记为vk, 即k 阶原点矩,记为vk, 即k=EXk= , k=1,2, . k=EXk= 对于正整数k,称随机变量k=1,2, . X 与 EX差的 k 次幂的数学 期望为 X 的 k 阶中心矩,记为 ,即对于正整数k,称随机变量X与 EX差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心

20、矩,记为,= , k=1,2, . 即= 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - k=1,2, . 切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 EX= ,方差 DX=2,就对于任意正数 ,有以下切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情形下,对概率的一种估量,它在理论上有重要意义； 2 1 EC=C ,期望的2 ECX=CEX 性质3 EX+Y=EX+EY4 EXY=EX EY ,充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关； 3 方差的 性质1 DC=0 ；EC=C 2 DaX=a2DX

21、； EaX=aEX 3 DaX+b= a2DX； EaX+b=aEX+b 4 DX=EX2-E2X 5 DXY=DX+DY,充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关； 4 DXY=DX+DY 2EX-EXY-EY,无条件成立；而 EX+Y=EX+EY,无条件成立；方差期望常见分0-1 分布p布的期望和方二项分布np差泊松分布几何分布 超几何分布 匀称分布 指数分布 正态分布名师归纳总结 n 2n 第 12 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - t 分布0 n2 5 期望二维随函数的期望机变量的数字方差对于随机变量X 与

22、Y,称它们的二阶混合中心矩为 X 与 Y 的特点协方差协方差或相关矩,记为,即与记号相对应, X 与 Y 的方差 DX与 DY也可分别记为 与 ；相关系数对于随机变量X 与 Y,假如 DX0, DY0,就称为 X 与 Y 的相关系数,记作有时可简记为；| | 1,当 | |=1 时,称 X 与 Y 完全相关：完全相关 而当 时,称 X 与 Y 不相关；以下五个命题是等价的： ；covX,Y=0; EXY=EXEY; DX+Y=DX+DY; DX-Y=DX+DY. 协方差矩阵 6 混合矩对于随机变量X 与 Y,假如有存在,就称之为X 与 Y 的 k+li cov X, Y=cov Y, X; 阶

23、混合原点矩,记为；k+l 阶混合中心矩记为：协方差ii covaX,bY=ab covX,Y; 的性质iii covX1+X2, Y=covX1,Y+covX2,Y; iv covX,Y=EXY-EXEY. 名师归纳总结 7 i 假设随机变量X 与 Y 相互独立,就；反之不真；第 13 页,共 18 页独立和 不相关ii 假设 X,Y N ,就 X 与 Y 相互独立的充要条件是X 和 Y 不相关；第五章大数定律和中心极限定理- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1大数定律切比雪夫设随机变量X1,X2, 相互独立,均具有有限方差,且被同一大数定律 常数 C

24、所界： DXiCi=1,2, , 就对于任意的正数 ,有特别情形：假设 X1,X2, 具有相同的数学期望 EXI =,就上式成为伯努利大 设 是 n 次独立试验中大事 A 发生的次数, p 是大事 A 在每次试数定律 验中发生的概率,就对于任意的正数 ,有伯努利大数定律说明,当试验次数 n 很大时, 大事 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小,即这就以严格的数学形式描述了频率的稳固性；2中心极限定理辛钦大数设 X1,X2, ,Xn, 是相互独立同分布的随机变量序列,且定律EXn =,就对于任意的正数 有列 维林设随机变量X1,X2, 相互独立,听从同一分布,且具有相同德伯格定的数学期望和

25、方差：,就随机变量理的分布函数Fnx对任意的实数x,有此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理；棣莫弗设随机变量为具有参数n, p0p1的二项分布, 就对于任意实拉普拉斯数 x, 有定理3二项定理假设当,就超几何分布的极限分布为二项分布；4泊松定理假设当,就其中 k=0 ,1,2, ,n, ；二项分布的极限分布为泊松分布；第六章 样本及抽样分布 1数理统 总体 在数理统计中,常把被考察对象的某一个或多个指标的全体计 的 基 本 概 称为总体 或母体；我们总是把总体看成一个具有分布的随机变念 量或随机向量 ；个体 总体中的每一个单元称为样品或个体；样本 我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本；样

26、本中所含的样品数称为样本容量,一般用 n 表示；在一般情形下,总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量,这样的样本名师归纳总结 称为简洁随机样本；在泛指任一次抽取的结果时,表示 n 个随第 14 页,共 18 页机变量样本 ；在详细的一次抽取之后,表示 n 个详细的数值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 样本值；我们称之为样本的两重性；样本函数和统设 为总体的一个样本,称中不包含任何未知参计量 常见统计量及为样本函数,其中为一个连续函数；假如数,就称 为一个统计量；样本均值其性质样本方差样本标准差样本 k 阶原点矩 样本 k 阶中心

27、矩, , , 2正态总正态分布其中,为二阶中心矩；的一个样设 为来自正态总体的一个样本,就样本函数体 下 的 四 大t 分布设 为来自正态总体的一个样本,就样本函数分布F 分布其中 tn-1 表示自由度为n-1 的 t 分布；设 为来自正态总体的一个样本,就样本函数其中表示自由度为n-1 的 分布；设 为来自正态总体的一个样本,而为来自正态总体本,就样本函数其中 3正态总与 独立；表示第一自由度为,其次自由度为的 F 分布；体 下 分 布 的 性质第七章参数估量设总体 X 的分布中包含有未知数,就其分布函数可以表成它的 k 阶原1点估矩估量计点矩 中也包含了未知参数,即；又设为总体 X 的 n

28、 个样本值,其样本的 k 阶原点矩为这样, 我们依据 “当参数等于其估量量时,总体矩等于相应的样本矩” 的原就建立方程,即有名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由上面的 m 个方程中, 解出的 m 个未知参数即为参数 的矩估量量；极 大 似 然假设 为 的矩估量,为连续函数,就为 的矩估量；为未知参数；当总体X 为连续型随机变量时,设其分布密度为,其中估量又设 为总体的一个样本,称为样本的似然函数,简记为Ln.当总体 X 为离型随机变量时,设其分布律为,就称为样本的似然函数；假设似然函数在 处取到最大值, 就称分别

29、为的最大似然估量值,相应的统计量称为最大似然估量量；2估量无偏性假设 为 的极大似然估量,为单调函数,就为 的极大似然估量；设 为未知参数的估量量；假设E = ,就称为 的无偏估量量；量的评比有效性E =E X, ES2=D X标准设 和 是未知参数的两个无偏估量量；假设,就称有效；一样性设 是 的一串估量量,假如对于任意的正数,都有就称 为 的一样估量量或相合估量量；假设 为 的无偏估量,且就 为 的一样估量；只要总体的EX和 DX 存在,一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一样估量量；3区间置 信 区 间设总体X 含有一个待估的未知参数；假如我们从样本动身,找出两个估量和置信度统计量

30、与 ,使得区间以 的概率包含这个待估参数,即单 正 态 总那么称区间为 的置信区间,为该区间的置信度或置信水平；设 为总体的一个样本,在置信度为下,我们来确定的置信区间；具体 的 期 望体步骤如下：和 方 差 的i挑选样本函数；区间估量ii由置信度,查表找分位数；iii导出置信区间；已知方差,估量均值i挑选样本函数ii 查表找分位数iii导出置信区间名师归纳总结 未知方差,估量均值i挑选样本函数第 16 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ii 查表找分位数iii导出置信区间方差的区间估量i挑选样本函数ii 查表找分位数iii导出 的置信

31、区间第八章 假设检验基本思想 假设检验的统计思想是,概率很小的大事在一次试验中可以认为基本上是不会发生的,即小概率原理；为了检验一个假设 H0是否成立；我们先假定 H0是成立的；假如依据这个假定导致了一个不合理的大事发生,那就说明原先的假定 H0是不正确的, 我们拒绝接受H0；假如由此没有导出不合理的现象,就不能拒绝接受 H0,我们称 H0是相容的；与 H0相对的假设称为备择假设,用 H1表示；这里所说的小概率大事就是大事,其概率就是检验水平 ,通常我们取 =0.05 ,有时也取 0.01 或0.10 ；基本步骤 假设检验的基本步骤如下：i 提出零假设 H0；ii 挑选统计量 K；iii 对于

32、检验水平 查表找分位数 ；iv 由样本值 运算统计量之值 K；将 进行比较,作出判定：当 时否认 H0,否就认为 H0相容；两类错误 第一类错误 当 H0为真时,而样本值却落入了否认域,依据我们规定的检验法就,应当否认 H0；这时,我们把客观上 H0成立判为 H0为不成立即否认了真实的假设,称这种错误为“以真当假 ”的错误或第一类错误,记 为犯此类错误的概率,即P否认 H0| H0为真 = ；此处的 恰好为检验水平；其次类错误 当 H1为真时,而样本值却落入了相容域,依据我们规定的检验法就,应当接受 H0；这时,我们把客观上 H0；不成立判为H0成立即接受了不真实的假设,称这种错误为“以假当真

33、 ”的错误或其次类错误,记 为犯此类错误的概率,即P接受 H0| H1为真 = ；名师归纳总结 两类错误的关系人们当然期望犯两类错误的概率同时都很小；但是, 当容量 n第 17 页,共 18 页肯定时,变小,就变大；相反地,变小,就变大；取定- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要想使 变小,就必需增加样本容量；在实际使用时, 通常人们只能掌握犯第一类错误的概率,即给定显著性水平 ； 大小的选取应依据实际情形而定；当我们宁可 “以假为真 ” 、而不愿 “ 以真当假 ” 时,就应把 取得很小,如0.01 ,甚至 0.001 ；反之,就应把 取得大些；单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设统计量对应样本否认域已知函数分布N0,1未知未知名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 18 页