2022年高一数学必修四三角函数与向量结合知识点+练习题含标准答案 .docx

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1、精品_精品资料_三角函数与向量题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面对量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个学问系统中讲法不尽相同,但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要留意两个方面的确定：1平移的方向. 2 平移的单位 .这两个方面就是表达为在平移过程中对应的向量坐标 .【例 1】 把函数 y sin2x 的图象按向量 a 6 , 3平移后,得到函数 yAsin x A 0, 0, | | 2的图象,就和 B 的值依次为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 12, 3B , 3C33 , 3D12, 3可编辑资料 - -

2、- 欢迎下载精品_精品资料_【分析】依据向量的坐标确定平行公式为xx 6,再代入已知解析式可得.仍可以y y 3由向量的坐标得图象的两个平移过程,由此确定平移后的函数解析式,经对比即可作出挑选 .【解析 1】由平移向量知向量平移公式x x 6,即 x x 6,代入 y sin2x 得 yy y 3y y 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_63 sin2x ,即到 y sin2x 3,由此知 3, B 3,应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3【解析 2】 由向量 a 6, 3,知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

3、精品资料_向左平移个单位,再向下平移3 个单位,由此可得函数的图象为y sin2x 6 3,即 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6sin2x , B 3,应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 3,由此知 3【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机的结合在一起,主要考查分析问题、解决问题的综合应用才能,同时考查方程的思想及转化的思想.此题解答的关键,也是易出 错的的方是确定平移的方向及平移的大小.题型二三角函数与平面对量平行共线 的综合此题型的解答一般是从向量平行共线 条件入手,将向量问题转化为三角问

4、题,然后再利用三角函数的相关学问再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与性质进行求解.此类试题综合性相对较强,有利于考查同学的基础把握情形,因此在高考中常有考查.【例 2】 已知 A 、B、C 为三个锐角,且 A B C 如.向量 p 2 2sinA , cosAsinA 与向量 q sinA cosA, 1 sinA 是共线向量 .（）求角 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求函数 y 2sin2 BC3B 的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】第一利用向量共线的充要条件建立三角函数

5、等式,由于可求得A 角的正弦值,再依据角的范畴即可解决第 小题.而第 小题依据第 小题的结果及A 、B 、C 三个角的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式,再依据B 的范畴求最值 .4【解】（） p 、q 共线, 2 2sinA1 sinA cosA sinAcosA sinA ,就 sin2A 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.又 A 为锐角,所以 sinA 3,就 A23C 3B B 3B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（） y 2sin2Bcos2 2sin2Bcos32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2sin2

6、B cos 2B 1cos2B1cos2B 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 3122 sin2B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 sin2B cos2B 1sin2B 6 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ B 0,2, 2B ,5 666, 2B 6,解得 B 23, ymax 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【点评】此题主要考查向量共线平行 的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性 .此题解答有两个关键： （ 1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题.（ 2）依据条件确定 B 角的范畴 .一

7、般的,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角函数问题确定角的范畴就显得至关重要了.题型三三角函数与平面对量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是第一利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关学问进行求解.此类题型解答主要表达函数与方程的思想、转化的思想等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】 已知向量 a 3sin ,cosb 2sin3,5sin 4cos , ,2,且a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b （）求 tan 的值.,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求 co

8、s23的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】第 小题从向量垂直条件入手,建立关于的三角方程,再利用同角三角函数的基本关系可求得tan 的值.第 小题依据所求得的tan 的结果,利用二倍角公式求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan2的值,再利用两角和与差的三角公式求得最终的结果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 （） a b ,ab 0而 a （ 3sin ,cos）,b 2sin , 5sin4cos ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故a 2 2b 6sin 5sin cos 4cos 0可编辑资料 - - - 欢

9、迎下载精品_精品资料_由于 cos,0 6tan2 5tan 4 0解之,得 tan 4,或 tan31 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ （ 32, 2）, tan 0,故 tan12（舍去）tan 43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（） （ 3 , 23, ）2）, 2（ 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 tan412（舍去） sin525,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222525 3,求得 tan , tan , cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_coscoscos25 153 sinsi

10、n 25 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_232323525210【点评】此题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时此题两个小题的解答都涉及到角的范畴的确定,再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范畴的重要性.同时仍可以看到第（）小题的解答中用 到“弦化切 ”的思想方法, 这是解决在一道试题中同时显现“切函数与弦函数 ”关系问题常用方法.题型四三角函数与平面对量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|a |2 a 2 ,假如涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（ 1）先进行向量运算,再代入向量的坐标进行求解.（ 2）

11、先将向量的坐标代入向量的坐标,再利用向量的坐标运算进行求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5【例 4】 已知向量 a cos ,sin,b cos ,sin,|a b | 25. 求 cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的值. 如2 0 ,且 sin 5 ,求 sin 的值 . 213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】利用向量的模的运算与数量积的坐标运算可解决第 小题.而第 小题就可变角 ,然后就须求sin 与 cos即可 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 |a

12、b | 25, a 2 2a b b 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5将向量 a cos ,sinb cos ,sin代入上式得 5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,12 2coscos sinsin12 45cos 3.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0 2, 0 , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 cos 3 5,得sin 4,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 sin 5 , cos 12,13

13、13. sinsin sin cos cos sin 3365点评： 此题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.此题解答中要留意两点：1 化|a b |为向量运算 |a b |2 a b 2. 2 留意解 的范畴 .整个解答过程表达方程的思想及转化的思想.题型五三角函数与平面对量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：1三角函数与向量的积直接联系.2利用三角函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量第一进行转化,再利用三角函数学问求解 .【例 5】 设函数 fx a b .其中向量 a m

14、 ,cosx , b 1 sinx,1,x R,且 f 22.（）求实数 m 的值.（）求函数 fx 的最小值 .分析： 利用向量内积公式的坐标形式,将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的 “数量关系 ”,从而,建立函数fx 关系式,第（）小题直接利用条件f 2 2 可以求得,而第 小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（） fx ab m1 sinx cosx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 f 2,得 m1 sincos22 2,解得 m 1.可编辑资料 -

15、- - 欢迎下载精品_精品资料_ 由（）得fx sinx cosx 1 2sinx 4 1,当 sinx 4 1 时, fx 的最小值为 1 2.点评： 平面对量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等学问都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量学问与三角函数的交汇试题,其解法都差不多,首先都是利用向量的学问将条件转化为三角函数中的“数量关系 ”,再利用三角函数的相关学问进行求解题型六解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量学问来推导的,说明正弦定理、 余弦定理与向量有着亲密的联系.解斜三角形与向量的综合主要表达为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐

16、标,要求依据向量的关系解答相关的问题.【例 6】 已知角 A 、B 、C 为 ABC 的三个内角,其对边分别为a、b、c,如 m 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A ,AAA 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2sin 2 ,n cos 2 ,sin 2 , a 23,且 mn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如 ABC 的面积 S 3,求 bc 的值（）求 b c 的取值范畴2【分析】第 小题利用数量积公式建立关于角A 的三角函数方程, 再利用二倍角公式求得 A 角,然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c 的方程组求取 b

17、 c 的值.第 小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B 的三角函数式,进而求得b c 的范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】（） m A ,A , n cosA ,A ,且 mn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos2A sin2 A1cos2cosAsin 212sin 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 2,即 2,.又 A 0, , A 232又由 S ABC 1bcsinA 3,所以 bc 4,由余弦定理得： a2 b2 c2 2bc 2 b2 c2 bc, 16 bc 2,故 b c 4.cos 3可编辑资料 -

18、 - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由正弦定理得：bsinB c sinC a sinA 23 4,又 B C A ,23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 3 b c 4sinB 4sinC 4sinB 4sin 3 B 4sinB 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0B 3,就23 B 3 3,就3 sinB23) 1,即 bc 的取值范畴是 23, 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评 此题解答主要考查平面对量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答此题主要有两处要留意：第 小

19、题中求 bc 没有利用分别求出b、c 的值为解,而是利用整体的思想,使问题得到简捷的解答.2第 小题的求解中特殊要留意确定角B 的范畴 .三角函数（结合向量）练习题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 已知向量 a= 3 , 2, b = sin 2x,cosx ,（0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 f xrr ,且 f x 的最小正周期为,求f x 的最大值,并求f x 取得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b最大值时 x 的集合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）在（ 1）的条件下,f x沿向量 c

20、平移可得到函数 y2 sin2x, 求向量 c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知向量 a cos3x, sin23 x, b 2cos x ,sin 2x ,且 x 0 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 求 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 设函数f xab + ab ,求函数f x的最值及相应的 x 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 已知向量 acos a,sina , bcos,sin, c 1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求向量 bc 的长度的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）设 a,且 a 4bc ,求 cos的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4已知向量 asin,2与b1,cos 相互垂直,其中0, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 求 sin和cos的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 如10sin,0102,求 cos的值可编辑资料 - - - 欢迎下载