2022年领航《圆与方程》知识点及题型 .docx

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1、精品_精品资料_领航圆与方程的学问点及题型一、圆的方程2一圆的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xaybr,圆心为 a, b,半径为 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、求标准方程的方法关键是求出圆心a, b 和半径 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_待定系数：往往已知圆上三点坐标利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系,特殊是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2、特殊位置的圆的标准方程设法无需记,关键能懂得 条件方程形式可编辑资

2、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心在原点x2y2r 2 r0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过原点22xayba2b2a2b20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心在 x 轴上xa 2y2r 2 r0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心在 y 轴上x2yb 2r 2 r0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2圆心在 x 轴上且过原点xa

3、 2y2a2 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心在 y 轴上且过原点x2ybb2 b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 x 轴相切与 y 轴相切22xayb22xaybb2 b0a2 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与两坐标轴都相切二圆的一般方程22xayba2ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2DxEyF0 D 2E

4、24F0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 Ax 2By 2CxyDxEyF0 表示圆方程就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB0AB0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C022DEF40C0D 2E24 AF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2(1) 当 D 2E4F0 时,方程表示一个圆, 其中圆心 CD ,E22,半径 r22DE4 F .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

5、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 当 D 2E 24F0 时,方程表示一个点D ,E.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 当 D 2E2 4F0 时,方程不表示任何图形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、求圆的一般方程一般可接受待定系数法或者利用圆的几何性质结合图形分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 D 2E 24F0 常可用来求有关参数的范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三点与圆的关系1、设点到圆心的距离为d,圆半径为 r ：a、点在圆内d rb、点在圆上d=r c、点在圆外d

6、 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 给定点M x 0 ,y 0 及圆C : xa) 2 yb) 2r 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C 内 M 在圆 C 上 M 在圆 C 外 x 0（ x0 x 0a2a) 22a y 0 y 0 y 0b) r22b 2r 222br可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对应训练求圆的方程1、过点 A 1, 1 , B 1, 1 且圆心在直线x y 2 0 上的圆的方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、假设 x2y21x2y

7、0 表示圆,就的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、以点2,1 为圆心且与直线 3x4 y50 相切的圆的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、圆心在直线 y x 上且与 x 轴相切于点 1, 0 的圆的方程为5、以点 C 2, 3 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是6、求经过 A 4, 2 , B 1,3 两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2 的圆的方程7、求经过点 8, 3 ,并且和直线 x 6 与 x 10 都相切的圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、点 1,1 在圆

8、xa 2 ya 24 的内部,就 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、过点A 1,1 , B1,1 且圆心在直线 xy20 上的圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、假设直线 3x4y120 与两坐标轴交点为A,B, 就以线段 AB 为直径的圆的方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、2022 年天津高考已知圆C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点M 0,5 在圆 C 上,且圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_心到

9、直线 2 xy0 的距离为 4 55,就圆 C 的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、直线与圆的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、直线 AxByC0 与圆 xa2 yb 2r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心到直线的距离 dAaBbC AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221 dr直线与圆相离无交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 dr直线与圆相切只有一个交点 .可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 dr直线与圆相交有两个交点.弦长 |AB| =2r 2d 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rdd=rrd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_仍可以利用直线方程与圆的方程联立方程组AxByx2y2C0DxEyF求解,通过解的个0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数来判定：1当0时,直线与圆有 2 个交点,直线与圆相交.2当0时,直线与圆只有1 个交点,直线与圆相切.3当0 时,直线与圆没有交点,直线与圆相离.2、直线与圆相切1常见题型求过定点的切线方程切线条数点在圆外两条.点在圆上

11、一条.点在圆内无求切线方程的方法及注意点i点在圆外可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如定点222222P x , y,圆： xaybr, xaybr 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一步：设切线l 方程yy0k xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次步：通过 drk ,从而得到切线方程特殊留意：以上解题步骤仅对k 存在有效,当k 不存在时,应补上千万不要漏了；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：过点P 1, 1作圆 x2y24 x6 y120 的切线,就切线方程可编辑资料

12、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii 点在圆上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设点x0,y0在圆 x2y2r 2 上,就切线方程为x xy yr 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00会在选择题及填空题中运用,但确定要看清题目.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设点2x0,y0 在圆xayb 2r 2上,就切线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0axay0bybr 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_遇到一般

13、方程就可先将一般方程标准化,然后运用上述结果.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设点x0,y0在圆 x2y 2DxEyF0 D 2E24F0 上,就切线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0 xy0 yDxE y0yF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22由上述分析,我们知道：过确定点求某圆的切线方程,特殊重要的第一步就是判定点与圆的位置关系,得出切线的条数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求切线长：利用基本图形,222APCPr22APCPr可编辑资料 - - - 欢迎下载

14、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求切点坐标：利用两个关系列出两个方程ACr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、直线与圆相交1求弦长及弦长的应用问题垂径定理 及勾股定理常用kACkAP1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弦长公式： l1k 2 xx1 k 22xx4x x暂作明白,无需把握可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12121 22判定直线与圆相交的一种特殊方法一种巧合： 直线过定点,而定点恰好在圆内.3关于点的个数问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例：1、假设圆 x3y5 2r 2 上有且仅有

15、两个点到直线4 x3 y2 0 的距离为 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就半径 r 的取值范畴是.答案： 4, 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、已知圆 x2y 24, 直线l : yxb ,当 b 为时,圆x2y 24 上恰有 3 个点到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2直线 l 的距离都等于 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23、已知圆 xy4, 直线l : yxb ,当 b 为时,圆 x2y 24 上恰有 1 个点到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l 的距离都等于 1.可编辑资料 - -

16、- 欢迎下载精品_精品资料_24、已知圆 xy 24, 直线l : yxb ,当 b 为时,圆x2y 24 上恰有 2 个点到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l 的距离都等于 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、已知圆 x2y24, 直线 l : yx b ,当 b 为时,圆x2y24 上恰有 4 个点到直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 l 的距离都等于1.对应训练直线与圆的关系1、以点 3, 4 为圆心,且与x 轴相切的圆的方程是2、假设直线 x y m 0 与圆 x2 y2 m 相切,就 m 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精

17、品_精品资料_3、直线 xy 1 与圆 x2 2y 22ay20 a50 没有公共点,就 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、过坐标原点且与圆xy4x2 y20 相切的直线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、直线 l 过点（2,0）, l 与圆 x2y22 x 有两个交点时,斜率k 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、设直线 axy30 与圆 x1 2 y224 相交于A、B 两点,且弦AB 的长为可编辑资料 - -

18、- 欢迎下载精品_精品资料_23 ,就 a.7、设圆 x2 y2 4x 5 0 的弦 AB 的中点为 P 3, 1 ,就直线 AB 的方程是8、求过点 P 6, 4且被圆 x2y220 截得长为 62 的弦所在的直线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、2022 全国高考新课标 卷文数 6圆 x2y 22 x8 y130 的圆心到直线axy10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的距离为 1,就 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、 2022 全国高考新课标卷文数 15T 设直线 yx2a 与圆C : x2y22ay20可编辑资料 - - -

19、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相交于A, B 两点,假设 |AB |23 ,就圆 C 的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、2022 全国高考新课标 卷文数 15T已知直线 l ： x3 y60 与圆 x2y212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交于 A, B 两点,过A, B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于C, D 两点,就 | CD | 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 、 2022 全国高考新课标 卷理数16T 已知直线 l ：mxy3m

20、30 与圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y212 交 于A, B 两 点 , 过A, B 分 别 做 l 的 垂 线 与 x 轴 交 于C, D 两 点 , 假 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB23 ,就 | CD | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13、2022 年北京高考圆 x+1 2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为14、已知圆 M : x 2 y2 21 ,Q 是 x 轴上的动点 , QA、QB 分别切圆 M 于 A, B 两点1假设点 Q的坐标为 1,0 ,求切线 QA、QB的方程2求四边形 QAMB 的面积

21、的最小值.3假设 AB423,求直线 MQ 的方程 .三、对称问题1、假设圆x2y2m21 x2mym0 ,关于直线 xy10 ,就实数 m 的值为 .2、已知点 A 是圆 C : x2y2ax4 y50 上任意一点,A 点关于直线 x2 y10 的对称点在圆 C 上,就实数 a .3、圆x122y31关于直线 xy0 对称的曲线方程是.4、已知圆 C1 ： x42y221与圆 C2 ： x22y421 关于直线 l 对称,就直线 l 的方程为.5、圆x32y121关于点 2, 3 对称的曲线方程是 .6、圆 x2+y2+x 6y+3=0 上两点 P、 Q 关于直线 kx y+4=0 对称,就

22、 k=.7、设 O 为坐标原点,曲线x2+y2+2x 6y+1=0 上有两点 P、Q,中意关于直线 x+my+4=0 对称,又中意 OP OQ,就 m 的值,直线 PQ 的方程四、最值问题方法主要有三种： 1数形结合. 2代换.3参数方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、已知实数 x , y 中意方程 x2y24x10 ,求：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1x5的最大值和最小值为2 y3 x2x 的最小值为y2 的最大值和最小值分别为2、圆 x 2y 24x4 y100 上的点到直线 xy140 的最大距离与最小距离的差是3、已知 A2,0 , B2,0

23、,点 P 在圆 x3 2 y424 上运动,就PA2PB的2最小值是.4、设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点,就点 P 到直线 3x4y 10=0 的距离的最小值为 5、假设点 P 在直线 2x3 y100 上, 直线 PA, PB 分别切圆x2y24 于 A, B 两点 , 就四边形 PAOB 面积的最小值为6、动 点 P 在 直 线 2x+y=0上 运 动 , 过 P 作 圆 x-3 + y-4 =4 的 切 线 , 切 点22为 Q, 就 |PQ| 的 最 小 值 为7、已知点B 2,3 ,圆 C： x-3 2 + y-4 2 =9 , 假 设 点 A 是 圆 C 上 一 动 点 ,

24、 点 P是 x 轴 上 的 一 动 点 , 就 |PA|+|PB|的 最 小 值 是.8、假设直线 mx2 ny40 m , nR,始终平分圆x2y24x2 y40 的周长,就 m n 的最大值是.9、【 2022 年江西卷理 09】在平面直角坐标系中,A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,假设以 AB 为直径的圆 C 与直线 2 xy40 相切,就圆 C 面积的最小值为五、圆的参数方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2r 2 r0x r cosy r sin, 为参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x

25、a 2yb 2r 2 r0xar cos, 为参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ybr sin六、圆与圆的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、判定方法：几何法d 为圆心距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 dr1r2外离2dr1r2外切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 r1r2dr1r2相交4 dr1r2内切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 dr1r2内含2222、两圆公共弦所在直线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2圆 C1 ： xy

26、D1 xE1 yF10 ,圆C2 ： xyD2xE2 yF20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 D1D2 xE1E2yF1F20 为两相交圆公共弦方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_补充说明：假设 C1 与 C2 相切,就表示其中一条公切线方程.假设 C1 与 C2 相离,就表示连心线的中垂线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、圆系问题11过两圆C ： x21112y2D xE yF0 和 C ： x22yD 2 xE2 yF20 交点的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

27、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆系方程为 x2y2D xE yFx2y2D xE yF0 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 上述圆系不包括C2 .当1 时,表示过两圆交点的直线方程公共弦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 过 直 线AxByC0 与 圆 x2y2DxEyF0 交 点 的 圆 系 方 程 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2DxEyFAxByC

28、0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3两圆公切线的条数问题相内切时,有一条公切线.相外切时,有三条公切线.相交时,有两条公切线.相离时,有四条公切线对应训练圆与圆的位置关系1、两个圆 C1： x2 y2 2x 2y 2 0 与 C2： x2 y2 4x2y 1 0 的位置关系为2、圆 x2 y2 2x 5 0 与圆 x2 y2 2x 4y4 0 的交点为 A, B,就线段 AB 的垂直平分线的方程是3、圆 x2 y2 2x0 和圆 x2 y2 4y0 的公切线有且仅有条4、两圆 x2 y2 1 和 x 4 2 ya 2 25 相切,试确定常数a 的值22225、两圆 x +y 4

29、x+6y=0 和 x +y 6x=0 的连心线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 、求经过两圆x2y 26 x40 和 x2y26 y280 的交点,并且圆心在直线xy40 上的圆的方程为7、求半径为 4,与圆x 2 y2 4x 2y 4=0 相切且和直线y=0 相切的圆的方程七、轨迹方程1定义法圆的定义 ：略2直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标的关系式轨迹方程.3相关点法平移转换法 ：一点随另一点的变动而变动动点主动点特点为：主动点确定在某一已知的方程所表示的固定轨迹上运动对应训练求

30、动点的轨迹方程.1、过圆x2y21外一点 A 2, 0 作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程2、如图,已知定点 A 2, 0 ,点 Q 是圆 x2y21 上的动点,AOQ 的平分线交 AQ 于 M ,当 Q 点在圆上移动时,求动点M 的轨迹方程 .3、已知线段AB 的端点 B 的坐标是 4, 3,端点 A 在圆 x段 AB 的中点 M 的轨迹方程.12y 24 上运动,求线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_八、综合题1、2022 全国新课标卷 已知点 P2, 2,圆 C：x2 y28y 0,过点 P 的动直线 l 与圆C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M,

31、 O 为坐标原点(1) 求 M 的轨迹方程.(2) 当|OP| |OM|时,求 l 的方程及 POM 的面积2 、【 2022高 考 广东 , 文 20 】 本小 题 总 分 值 14 分 已 知 过 原 点的 动 直 线 l 与 圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2C1 : xy26x50 相交于不同的两点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求圆C1 的圆心坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求线段的中点的轨迹 C 的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3是否存在实数 k ,使得直线 L:yk x4 与曲线 C 只有一个交点？假设存在,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_出 k 的取值范畴.假设不存在,说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载