常微分方程﹎.pdf

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1、第二章、一阶微分方程的初等解法 教学目标 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 教学重难点 重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 教学方法 讲授，实践。 教学时间 14 学时 教学内容 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易 法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法

2、，隐式方程。 考核目标 1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、 一阶隐方程的参数解法。 2.会建立一阶微分方程并能求解。 1 变量分离方程与变量变换 1、 变量分离方程 1) 变量分离方程 形如 ( ) ( ) dy f x g y dx (或 1122 ( )( )( )( )0Mx Ny dxMx Ny dy) （2.1） 的方程，称为 变量分离方程，其中函数( )f x和( )g y分别是, x y的连续函数 . 2) 求解方法 如果( )0g y，方程 (2.1)可化为， ( ) ( ) dy fx dx g y 这样变量就分离开了

3、,两边积分 ,得到 ( ) ( ) dy f x dxc g y （2.2） 把,( ) ( ) dy f x dx g y 分别理解为 1 ,( ) ( ) f x y 的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数( , )yx c满足方程（ 2.1）. 因而（ 2.2）是（ 2.1）的通解 . 如果存在 0 y使 0 ()0g y，可知 0 yy也是（ 2.1）的解 . 可能它不包含在方程的通解（2.2）中， 必须予以补上 . 3) 例题 例 1 求解方程 dyx dxy 解将变量分离，得到 ydyxdx 两边积分，即得 22 222 yxc 因而，通解为 22 xyc这里的c是任

4、意的正常数. 或解出显式形式 2 ycx 例 2 解方程 2 cos dy yx dx 并求满足初始条件：当 0 x 时.1y的特解 . 解将变量分离，得到 2 cos dy xdx y 两边积分，即得 1 sin xc y 因而，通解为 1 sin y xc 这里的c是任意的常数.此外，方程还有解0y. 为确定所求的特解，以0 x.1y代入通解中确定常数c，得到1c 因而，所求的特解为 1 1sin y x 例 3 求方程 ( ) dy P x y dx （2.3） 的通解，其中( )P x是x的连续函数 . 解将变量分离，得到 ( ) dy P x dx y 两边积分，即得 ln( )yP

5、 x dxc % 这里的c % 是任意常数 .由对数的定义，即有 ( )P x dx c ye % 即 ( )P x dx c ye e %g 令 c ec % ，得到 ( )P x dx yce（2.4） 此外，0y也是（ 2.3）的解 .如果在（ 2.4）中允许0c，则0y也就包括在（ 2.4）中，因而， （2.3）的通解为（ 2.4） ，其中c是任意常数 . 注: 1.常数c的选取保证 (2.2)式有意义 . 2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所 有解 . 此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上. 3. 微分方程的通

6、解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件 00 ()y xy的一个解，表示 的是一条过点 00 (,)xy的曲线 . 2、可化为变量分离方程的类型 1）.形如 dyy g dxx （2.5） 的方程，称为齐次方程，这里的( )g u是u的连续函数 . 另外 , ) 对于方程 ( ,) ( , ) dyMx y dxN x y 其中函数( , )M x y和( ,)N x y都是x和y的m次齐次函数，即对 0t 有 (,)( ,) m M tx tyt Mx y(,)( , ) m N tx tyt N x y 事实上，取 1 t x ，则方程可改写成形如(2.5)的方程 . (1, )(

7、1, ) (1, )(1, ) m m yy x MM dy xx yy dx x NN xx ) 对方程( , ) dy f x y dx 其中右端函数( , )f x y是x和y的零次齐次函数，即对0t有 (,)( ,)f tx tyf x y 则方程也可改写成形如(2.5)的方程 (1,) dyy f dxx 对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解. 令 y u x （2.6） 即yux，于是 dydu xu dxdx （2.7） 将（ 2.6） 、 （ 2.7）代入（ 2.5） ，则原方程变为 ( ) du xug u dx 整理后，得到 ( )dug uu dxx

8、（2.8） 方程（ 2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便 是原方程（ 2.5）的解 . 例 4 求解方程 dyyy tg dxxx 解这是齐次方程，以, ydydu uxu xdxdx 代入，则原方程变为 du xuutgu dx 即 dutgu dxx （2.9） 分离变量，即有 dx ctgudu x 两边积分，得到 ln sinlnuxc % 这里的c % 是任意的常数，整理后，得到 sinucx（2.10） 此外，方程（2.9） 还有解0tgu,即sin0u.如果（2.10） 中允许0c， 则sin0u就包含在 （2.10） 中，这就是

9、说，方程（2.9）的通解为（2.10）. 代回原来的变量，得到原方程的通解为 sin y cx x 例 5 求解方程2(0). dy xxyyx dx 解 将方程改写为 2(0) dyyy x dxxx 这是齐次方程，以, ydydu uxu xdxdx 代入，则原方程变为 2 du xu dx （2.11） 分离变量，得到 2 dudx x u 两边积分，得到（2.11）的通解 ln()uxc 即 2 ln()(ln()0)uxcxc(2.12) 这里的c是任意常数 .此外， （2.11）还有解0u 注意，此解不包括在通解（2.12）中 . 代回原来的变量，即得原方程的通解 2 ln()(l

10、n()0)yxxcxc及解0y. 原方程的通解还可表为 2 ln() ,ln()0, 0, xxcxc y 它定义于整个负半轴上. 注： 1. 对于齐次方程 dyy g dxx 的求解方法关键的一步是令 y u x 后，解出yux，再对两边 求关于x的导数得 dydu ux dxdx ，再将其代入齐次方程使方程变为关于, u x的可分离方程. 2. 齐次方程也可以通过变换 x v y 而化为变量分离方程.这时xvy，再对两边求关于y的导 数得 dxdv vy dydy ，将其代入齐次方程 dxx f dyy 使方程变为 , v y的可分离方程 小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量

11、法和齐次方程的 dyy g dxx 形状的解法 . 而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法. 2）形如 111 222 a xb ycdy dxa xb yc （2.13） 的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的 121212 ,a ab b c c均为常数 . 分三种情况来讨论 （1） 12 0cc情形 . 这时方程（ 2.13）属齐次方程，有 11 22 a xb ydyy g dxa xb yx 此时，令 y u x ，即可化为变量可分离方程. （2） 11 22 0 ab ab ，即 11 22 ab ab 的情形 . 设 11 22 a

12、b k ab ，则方程可写成 221 22 222 () () () k a xb ycdy f a xb y dxa xb yc 令 22 a xb yu，则方程化为 22 ( ) du ab f u dx 这是一变量分离方程. （3） 11 12 22 0, ab c c ab 及不全为零的情形. 这时方程（ 2.13）右端的分子、分母都是, x y的一次式，因此 111 222 0 0 a xb yc a xb yc （2.14） 代表xy平面上两条相交的直线，设交点为( ,). 显然，0或0，否则必有 12 0cc，这正是情形（ 1） （只需进行坐标平移，将坐标原点 (0,0)移至(

13、,)就行了，若令 Xx Yy （2.15） 则（ 2.14）化为 11 22 0 0 a XbY a Xb y 从而（ 2.13）变为 11 22 a XbYdYY g dXa Xb YX （2.16） 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下： (1)解联立代数方程（2.14） ，设其解为,xy； (2)作变换（ 2.15）将方程化为齐次方程（2.16） ； (3)再经变换 Y u X 将（ 2.16）化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解 . 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型 111 222 a xb ycdy f

14、 dxa xb yc 此外，诸如 () dy f axbyc dx ()()0y xy dxxg xy dy 2 () dy xf xy dx 2 dyy xf dxx 以及 ( , )()( , )()0Mx yxdxydyN x yxdyydx （其中,M N为, x y的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为 变量分离方程 . 例6求解方程 1 3 dyxy dxxy （2.17） 解解方程组 10 30 xy xy 得1,2.xy 令 1 2 xX yY 代入方程（ 2.17） ，则有 dYXY dXXY （2.18） 再令 Y u X 即YuX 则（ 2

15、.18）化为 2 1 12 dXu du Xuu 两边积分，得 22 lnln21Xuuc % 因此 22 (21) c Xuue % 记 1, c ec % 并代回原变量，就得 22 1 2YXYXc 22 1 (2)2(1)(2)(1)yxyxc 此外，易验证 2 210uu 即 22 20YXYX 也就是（ 2.18）的解 .因此方程（ 2.17）的通解为 22 262yxyxyxc 其中c为任意的常数. 3、 应用举例 例 7 电容器的充电和放电如图（2.1）所示的RC电路，开始时电容C上没有电荷，电容两端 的电压为零 .把开关 K合上“ 1”后，电池E就对电容C充电，电容C两端的电压

16、 C u逐渐升高，经过 相当时间后，电容充电完毕，再把开关K合上“ 2” ，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放 电过程中，电容 C两端的电压 C u随时间t的变化规律 . 解对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理， c uRIE（2.19） 对于电容 C充电时，电容上的电量Q逐渐增多，根据 C QCu，得到 () C C dudQd ICuC dtdtdt （2.20） 将（ 2.20）代入（ 2.19） ，得到 c u满足的微分方程 c c du RCuE dt （2.21） 这里R、C、E都是常数 .方程（ 2.21）属于变量分离方程.将（ 2.21）分离变量，得到 C C d

17、udt uERC 两边积分，得到 1 1 ln C uEtc RC 即 1 11 2 tt c RCRC C uEe ec e 这里 1 2 c ce为任意常数 . 将初始条件： 0t 时，0 C u代入，得到 2 cE. 所以 1 (1) t RC C uEe（2.22） 这就是RC电路充电过程中电容C两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压 C u从零开始逐 渐增大，且当t时， C uE， 在电工学中， 通常称RC为时间常数，当3t时，0.95 C uE， 就是说，经过 3 的时间后，电容 C上的电压已达到外加电压的 95%.实用上，通常认为这时电容 C的 充电过程已基本结束.易见充

18、电结果 C uE. 对于放电过程的讨论，可以类似地进行. 例8探照灯反射镜面的形状 在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的 方向性，试求反射镜面的几何形状. 解取光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线 ( ) 0 yf x z （2.23） 绕x轴旋转而成， 则求反射镜面的问题归结为求xy平面上的曲线( )yf x的问题 ,仅考虑0y的部分 , 过曲线( )yf x上任一点( ,)M x y作切线NT，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知 12 从而 OMON 注意到 2 dyMP tg dxNP 及 22 ,OP

19、x MPy OMxy 就得到函数( )yf x所应满足的微分方程式 22 dyy dx xxy （2.24） 这是齐次方程 .由 2.12 知引入新变量 x u y 可将它化为变量分离方程.再经直接积分即可求得方程的解. 对 于 方 齐 次 方 程 （ 2.24） 也 可 以 通 过 变 换 x v y 而 化 为 变 量 分 离 方 程 也 可 由xyv得 dxdv vy dydy 代入（ 2.24）得到 2 sgn1 dv vyvyv dy 于是 2 sgn 1 dydv y y v （2.25） 积分（ 2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得 2 (2 )yc cx（2.26） 其

20、中c为任意常数 . （2.26）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面 22 (2 )yzc cx（2.27） 小结 : 本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题.将各种类型的求解步 骤记清楚的同时要注意对解的讨论. 2 线性方程与常数变易法 1、一阶线性微分方程 ( )( )( )0 dy a xb x yc x dx 在( )0a x的区间上可以写成 ( )( ) dy P x yQ x dx （ 2.28） 对于( )a x有零点的情形分别在( )0a x的相应区间上讨论.这里假设( ),( )P x Q x在考虑的区间上是x 的连续函数 .

21、 若( )0Q x， （2.28）变为 ( ) dy P x y dx （2.3） 称为一阶齐线性方程. 若( )0Q x， （2.28）称为一阶非齐线性方程. 2、常数变易法 （2.3）是变量分离方程，已在例3 中求得它的通解为 ( )P x dx yce（2.4） 这里c是任意的常数. 下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法. 方程 (2.3)与方程 (2.28)两者既有联系又有区别, 设想它们的解也有一定的联系, 在(2.4)中c恒 为常数时 ,它不可能是 (2.28)的解 ,要使 (2.28)具有形如 (2.4)的解 , c不再是常数 ,将是x的待定函数( )c x, 为此令

22、( ) ( ) P x dx yc x e（2.29） 两边微分，得到 ( )( ) ( ) ( )( ) P x dxP x dx dydc x ec x P x e dxdx （2.30） 将（ 2.29） 、 （2.30）代入（ 2.28） ，得到 ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) P x dxP x dxP x dx dc x ec x P x eP x c x eQ x dx 即 () ( ) ( ) P x dx dc x Q x e dx 积分后得到 ( ) ( )( ) P x dx c xQ x edxc % （ 2.31） 这里c % 是任意的常

23、数.将（ 2.31）代入（ 2.29） ，得到 ()( ) ( )( )( ) ( ) =( ) P x dxP x dx P x dxP x dxP x dx yeQ x edxc ceeQ x edx % % （2.32） 这就是方程（ 2.28）的通解 . 这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的 方法 .通过变换（ 2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程. 注: 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和. 例1求方程 1 (1)(1) xn dy xnyex dx 的通解，这里的n为常数 . 解将方程改写为 (

24、1) 1 xndyn yex dxx （2.33） 先求对应的齐次方程 0 1 dyn y dxx 的通解，得 (1) n yc x 令( )(1) n yc xx（2.34） 微分之，得到 ( ) (1)(1) ( ) n dydc x xn xc x dxdx （2.35） 以（ 2.34） 、 （2.35）代入（ 2.33） ，再积分，得 ( ) x c xec % 将其代入公式（2.34） ，即得原方程的通解 (1) () nx yxec % 这里c % 是任意的常数. 例 2 求方程 2 2 dyy dxxy 的通解 . 解原方程改写为 2dx xy dyy （2.36） 把x看作未

25、知函数，y看作自变量，这样，对于x及 dx dy 来说，方程（ 2.36）就是一个线性方程了. 先求齐线性方程 2dx x dyy 的通解为 2 xcy（2.37） 令 2 ( )xc y y,于是 2 ( ) 2 ( ) dxdc y yc y y dydy 代入（ 2.36） ，得到 ( )lnc yyc % 从而，原方程的通解为 2 (ln)xycy % 这里c % 是任意的常数,另外0y也是方程的解. 特别的，初值问题 00 ( )( ) () dy P x yQ x dx y xy 的解为 000 0 ( )( )( ) =( ) xxs xxx PdPdPdx x y ceeQ s

26、 eds % 例 3 试证 （1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解； （2）若( )yy x是（ 2.3）的非零解，而 % ( )yy x是（ 2.28）的解，则（2.28）的通解可表为 % ( )( )ycy xy x，其中c为任意常数 . （3）方程（ 2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解 . 证（1）设 12 ,yy是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使 1 1 2 2 ( )(1) ( )(2) dy pyQ x dx dy pyQ x dx （1）（ 2）有 12 12 () () d yy p yy dx 说

27、明非齐线性方程任意两个解的差 12 yy是对应的齐次线性方程的解. （2）因为 % % ( )( )( )( ) ()( )()( ) d cy xy xdy xd y x cpcypyQ xp cyyQ x dxdxdx 故结论成立 . （3）因为 1212 1212 ()()() (),(),() d yyd yyd cy p cyp yyp yy dxdxdx 故结论成立 . 3、Bernoulli 方程 形如 ( )( ) n dy P x yQ x y dx （0,1n）（2.38） 的方程，称为伯努利（Bernoulli）方程，这里( ),( )P x Q x为x连续函数 . 利用

28、变量变换可将伯努利方 程化为线性方程来求解. 事实上，对于0y，用 n y 乘（ 2.38）两边，得到 1 ( )( ) nn dy yyP xQ x dx （2.39） 引入变量变换 1 n zy（2.40） 从而 (1) ndzdy n y dxdx （2.41） 将（ 2.40） 、 2.41）代入（ 2.39） ，得到 (1) ( )(1)( ) dz n P x zn Q x dx （ 2.42） 这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解 .此 外，当 0n 时，方程还有解0y. 例 4 求方程 2 6 dyy xy dxx 的通解

29、解这是2n时的伯努利方程，令 1 zy,得 2 dzdy y dxdx 代入原方程得到 6dz zx dxx 这是线性方程，求得它的通解为 2 6 8 cx z x 代回原来的变量 y，得到 2 6 1 8 cx yx 或者 68 8 xx c y 这是原方程的通解. 此外，方程还有解0y. 例 5 求方程 33 1dy dxxyx y 的解 解将方程改写为 33dx yxy x dy 这是一个自变量为y，因变量为x的伯努利方程.解法同上 . 例 6 求方程 2 3 y dyex dxx 的通解 这个方程只要做一个变换，令, yy dudy uee dxdx ，原方程改写为 2 22 31du

30、x uu dxxx 便是伯努利方程. 小结 ;这次主要讨论了一阶线性微分方程的解法.其核心思想是常数变易法.即将非齐线性方程对应 的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数 ( )c x，求出非齐次方程的解.我们还讨论了伯努利方程，求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性 方程，再求解 . 3 恰当方程与积分因子 1、恰当方程的定义 将一阶微分方程 ( , ) dy fx y dx 写成微分的形式 ( ,)0f x y dxdy 把, x y平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为 ( , )( , )0M x y dxN x y dy（2.43）

31、 假设( ,),( , )M x yN x y在某区域 G内是,x y的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数 . 如果存在可微函数( , )u x y,使得 ( ,)( , )duM x y dxN x y dy(2.44) 即( , ),( , ) uu M x yN x y xy (2.45) 则称方程 (2.43)为恰当方程 ,或称全微分方程. 在上述情形 ,方程 (2.43)可写成( , )0du x y,于是 ( , )u x yC 就是方程 (2.43)的隐式通解 ,这里C是任意常数 (应使函数有意义). 2、 恰当方程的判定准则 定理 1 设( , ),( , )Mx yN x y

32、在某区域G内连续可微 ,则方程 (2.43)是恰当方程的充要条件是 , ( ,) MN x yG yx (2.46) 而且当 (2.46)成立时 ,相应的原函数可取为 00 0 ( , )( ,)( , ) xy xy u x yM s y dsN x t dt(2.47) 或者也可取为 00 0 ( , )(, )( , ) yx yx u x yN x t dtM s y ds(2.48) 其中 00 (,)xyG是任意取定的一点. 证明先证必要性 . 因为 (2.43) 是恰当方程 , 则有可微函数( ,)u x y满足 (2.45), 又知( ,),( , )M x yN x y是连续

33、可微的 ,从而有 22 MuuN yy xx yx 下面证明定理的充分性,即由条件 (2.46), 寻找函数( ,)u x y,使其适合方程 (2.45). 从(2.47)可知 ( , ) u N x y y 0 0 0 0 0 0 ( ,)( , ) =( ,)( , ) =( ,)( , )( , ) y y y x y y y y u M x yN x t dt xx M x yNx t dt M x yMx t dtM x y 即(2.45)成立 , 同理也可从 (2.48)推出 (2.45). 例 1. 解方程 2 1 ()0 2 x xydxdy y (2.49) 解这里 2 1

34、,=() 2 x MxyN y , 则yx MxN , 所以 (2.49) 是恰当方程. 因为N于0y处无意 义, 所以应分别在0y和0y区域上应用定理2.3, 可按任意一条途径去求相应的原函数( ,)u x y. 先选取 00 (,)(0,1)xy, 代入公式 (2.47) 有 22 01 1 ()ln 22 xy xx uxdxdyyy y 再选取 00 (,)(0,1)xy, 代入公式 (2.47) 有 22 01 1 ()()ln() 22 xy xx ux dxdyyy y 可见不论0y和0y, 都有 2 ln | 2 x uyy 故方程的通解为 2 ln | 2 x yyC. 3、

35、恰当方程的解法 上述定理已给出恰当方程的解法, 下面给出恰当方程的另两种常用解法. 解法 1.已经验证方程为恰当方程, 从( , ) x uM x y出发 , 有 2 ( , )( , )( )( ) 2 x u x yM x y dxyyy (2.50) 其中( )y为待定函数 , 再利用( ,) y uN x y, 有 22 1 ( ) 22 xx y y 从而 1 ( )y y 于是有( )ln |yy 只需要求出一个( ,)u x y, 因而省略了积分常数. 把它代入 (2.50) 便得方程的通解为 2 ln | 2 x uyyC 解法 2.分项组合的方法 对(2.49) 式重新组合变

36、为 2 1 ()0 2 x xydxdydy y 于是 2 ()ln | 0 2 x dydy 从而得到方程的通解为 2 ln | 2 x yyC 4、积分因子的定义及判别 对于微分形式的微分方程 ( , )( , )0M x y dxN x y dy（ 2.43） 如果方程（ 2.43 ）不是恰当方程，而存在连续可微的函数( , )0 x y，使得 ( , )( , )0M x y dxN x y dy(2.51) 为一恰当方程，即存在函数( , )v x y，使 ( , )( , )M x y dxN x y dydv 则称( , )x y是方程（ 2.43）的积分因子 . 此时( , )

37、v x yC是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解 . 如果函数( , ),( ,)Mx yN x y和( , )x y都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道, ( , )x y为 (2.43)积分因子的充要条件是 MN yx 即() MN NM xyyx (2.52) 5、积分因子的求法 方程 (2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困 难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设( ,),( , )MM x yNN x y和( ,)x y在某区域内都是连续可微的，则方程 （2.43） 有形如( ( , )x y的积分因子的充要条

38、件是：函数 ( , )( , ) ( , )( , )( , )( , ) yx xy Mx yNx y N x yx yM x yx y （2.53） 仅 是( , )x y的 函 数 ， 此 外 ， 如 果 （ 2.53 ） 仅 是( , )x y的 函 数( ( , )ffx y， 而 ( )( )G uf u du，则函数 ( ,)Gx y e（2.54） 就是方程（ 2.43）的积分因子 . 证明因为如果方程（2.43）有积分因子( )，则由（ 2.52）进一步知 ()() dMN NM dxyyx 即 yx xy MN d d NM 由( )可知左端是的函数，可见右端 yx xy

39、MN NM 也是的函数，即( ) yx xy MN f NM ， 于是，有 () d fd，从而 () ( ) fd G ee 反之，如果（2.53）仅是的函数，即( ) yx xy MN f NM ，则函数（ 2.54）是方程（ 2.52）的解 .事 实上，因为 () ()()() G xyyx NMNMfeMN xy 因此函数（ 2.54）的确是方程（2.43）的积分因子. 为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下： 类型条件积分因子 ( )x ( ) yx MN fx N ( )fx dx e ( )y () yx MN fy M ()fy dy e ()x y 11 1 ()

40、 yx MN fx y x Ny Mx y ( ) | fu du ux y e 例 2. 解 22 (31)()0yxydxxyxdy 解这里 22 31,MyxyNxyx,注意 yx MNyx 所以方程不是恰当的,但是 1yx MN Nx 它仅是依赖与x，因此有积分因子 1dx x ex 给方程两边乘以因子x得到 2223 (3)()0 xyx yx dxx yx dy 从而可得到隐式通解 223211 22 ux yx yxC 例 3. 解方程 2 ()(1)0 xyydxxyydy 解这里 2 ,1MxyyNxyy方程不是恰当的.但是 1yx MN My 它有仅依赖于y的积分因子 1

41、1 dy y e y 方程两边乘以积分因子 1 y 得到 1 ()(1)0 xy dxxdy y 从而可得到隐式通解 2 1 ln | 2 uxxyyyC 另外，还有特解0y.它是用积分因子乘方程时丢失的解. 例 4.解方程 223 (2)()0yx y dxxyxdy ( ( , )x y ( ( , ) yx xy MN fx y NM ( ) ( , ) | fu du ux y e 解这里 223 2,Myx y Nxyx， 不是恰当方程 .设想方程有积分因子()x y， 其中， 是待定实数 .于是 2 112 111 ()(2) yx MN yx x NyMx yyxx yx y 只

42、须取3,2.由上述简表知原方程有积分因子 32 x y 从而容易求得其通解为： 44631 3 ux yx yC 六、积分因子的其他求法 以例 4 为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式： 223 ()(2)0y dxxydxx ydxx dy 前一组有积分因子 1 1 y ，并且 21 ()()y dxxydyd xy y 后一组有积分因子 2 1 x ，并且 232 1 (2)()x ydxx dyd x y x 设想原方程有积分因子 211 ()()xyx y yx 其中，是待定实数 .容易看出只须3,2，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一 个. 例

43、5. 解方程 1212 ( )( )( )( )0Mx My dxNx Ny dy 其中 1 M， 2 M， 1 N， 2 N均为连续函数 . 解这里 12 ( )( )MMx My， 12 ( )( )NNx Ny.写成微商形式就形式上方程是变量可分离方程，若 有 0 y使得 20 ()0My，则 0 yy是此方程的解；若有 0 x使得 10 ()0Nx，则 0 xx是此方程的解； 若 21 ( )( )0My Nx，则有积分因子 21 1 ( )( )My Nx 并且通解为 12 12 ( )( ) ( )( ) MxNy udxdy NxMy 例 6、试用积分因子法解线性方程（2.28）

44、. 解将（ 2.28）改写为微分方程 ( )( )0P x yQ x dxdy（2.55） 这里( )( ),1MP x yQ xN，而 ( ) MN yx P x N 则线性方程只有与x有关的积分因子 ( )P x dx e 方程（ 2.55）两边乘以 ( )P x dx e，得 ( )( )() ( )( )0 P x dxP x dxP x dxx P x eydxedyQ x edx（2.56） （2.56）为恰当方程，又分项分组法 ( )( ) ()( )0 P x dxP x dx d yeQ x edx 因此方程的通解为 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x

45、 edxc 即 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxc 与前面所求得的结果一样. 注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项 分组”法求得积分因子. 4 一阶隐方程与参数表示 1、一阶隐方程 一阶隐式微分方程的一般形式可表示为: ( ,)0F x y y 如果能解出( ,)yfx y,则可化为显式形式,根据前面的知识求解. 例如方程 2 ()()0yxy yxy,可化为yx或yy 但难以从方程中解出y,或即使解出y,而其形式比较复杂,则宜采用引进参数的方法求解. 一般隐式 方程分为以下四种类型: 1) ( ,)yf x y

46、2) ( ,)xf y y3) ( ,)0F x y4)( ,)0Fy y 2、求解方法 ）可以解出y（或）x的方程 1)讨论形如 ( ,)yf x y（2.57） 的方程的解法，假设函数( ,)f x y有连续的偏导数,引进参数yp,则方程 (2.57)变为 ( ,)yf x p(2.58) 将(2.58) 的两边对x求导数 ,得到 ff dp p xy dx (2.59) 方程 (2.59)是关于, x p的一阶微分方程,而且属于显式形式. 若求得 (2.59)的通解形式为( , )px c,将其代入 (2.58),于是得到 (2.57)通解为 ( ,( , )yfxx c 若求得 (2.

47、59)的通解形式为( , )xp c,于是得到 (2.57)的参数形式的通解为 ( , ) ( ( , ),) xp c yfp cp 其中p为参数 , c是任意常数 . 若求得 (2.59)的通解形式为( , )0 x p c,于是得到 (2.57)的参数形式的通解为 ( , , )0 ( ,) x p c yf x p 其中 p为参数 , c是任意常数 . 例 1 求方程 3 ()20 dydy xy dxdx 的解 解令 dy p dx ,于是有 3 2ypxp(2.60) 两边对x求导数 ,得到 2 322 dpdp ppxp dxdx 即 2 320p dpxdppdx 当0p时,上

48、式有积分因子 p,从而 32 320p dpxpdpp dx 由此可知 4 23 4 p xpc 得到 4 2 22 3 3 4 4 cp c xp pp 将其代入 (2.60),即得 4 3 34 2()cp yp p 故参数形式的通解为 2 2 3 3 4 (0) 21 2 c xp p p c yp p 当0p时,由(2.60)可知0y也是方程的解 . 例2求方程 2 2 () 2 dydyx yx dxdx 的解 . 解令 dy p dx ,得到 2 2 2 x ypxp(2.61) 两边对x求导数 ,得到 2 dpdp ppxpx dxdx 或(2)(1)0 dp px dx 由10

49、 dp dx ,解得pxc,于是得到方程的通解为 2 2 2 x ycxc(2.62) 由20px,解得 2 x p,于是得到方程的一个解为 2 4 x y(2.63) 特解 (2.63)与通解 (2.62)中的每一条积分曲线均相切,因此称为方程的奇解 . 2)讨论形如 ( ,) dy xfy dx (2.64) 的方程的求解方法,方程 (2.64)与方程 (2.57)的求解方法完全类似,假定函数( ,)f y y有连续偏导数 . 引进参数 dy p dx ,则 (2.64) 变为 ( ,)xfy p(2.65) 将(2.65) 的两边对y求导数 ,得到 1ff dp pyx dy (2.66) 方程 (2.66)是关于 , y p的一阶微分方程 ,而且属于显式形式. 设其通解为 ( , )0y p c 则(2.64)的通解为 ( , )0 ( ,)