2022年数列归纳总结教学提纲 .docx

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1、精品_精品资料_等差数列与等比数列的有关学问比较一览表等 差数 列等 比数 列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的 ,假如一个数列从第2 项起,定每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列这个义常数叫公差一般的, 假如一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ aaaa（ nN * ）an 1a2*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n21ana1（ nN）可编辑资料 - - -

2、欢迎下载精品_精品资料_递 aad（ nN * ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n推关 an 1ananan 1 an 1qan（ q0, nN* ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系*（ n2, nN ） an 1ananan 1（ n2, nN * ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*通 aan1d（ nN * ） aaqn 1（ nN ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n1项*n anpnq（ p, q为常数 ,nN ） anp q公可编辑资料 - - - 欢迎下载

3、精品_精品资料_式 2 Snaa （ nN（ p, q是常数 , q*）n0, p20, nN * ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n求求积公式aii 1*na1an nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和 Snann1 d nN * na1, q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12 Sn公*n式a111q , q1 q nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n SAn2Bn A, B是常数 , nN * Sna1, q1 nN* , A0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nAAqn, q1如 p+q=

4、s+r, p 、 q、s、rN * ,就如 p+q=s+r, p 、q、s、rN *,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_apaqasar .a p aqasar .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对任意 c0,c1,can为等比数列 .对任意c0,c1, 如 an 恒大于 0,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log c an主为等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ aa2a , nN * , n2 . aaa 2 ,nN ,n

5、2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 1nn 1n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 an、 bn分别为两等差数列,就如 an、 bn为两等比数列, 就anbn 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an要数列bn 为等差数列 .Sn为等差数列 .n等比数列 .n如 an 恒大于 0,就数列naii 1数列 .为等比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n如 bn为正项等差自然数列,就abn如 bn为正项等差自然数列,就ab为可编

6、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性为等差数列 .等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Sn , S2 n列.Sn , S3nS2n ,为 等 差 数 Sn , S2 nSn , S3nS2 n ,为等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ SnSn mSm, n2m , m、nN * .nn m nan 2 ma, n2m , m 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_质nn2miii 1i m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

7、品_精品资料_ Sm nSmSnmnd .nN *, ap0, pN* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m nmnnm如 SmSn , mn, 就Sm n0 . SSqmSSqn S .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a1a 2ama1a2an ,mn,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m n就ai1.i1此外,仍要明白一些等差数列与等比数列中的重要结论,这些结论之间不具有对偶关系：*m等差数列等比 数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 apq, aqp,重p 、 qN, 且 SmnSm 1qq 2 mq n1m 可编辑资

8、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pq ,要= Sn 1qq2 nq m1 n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结就 ap q0 .论如|q|1,就lim SnnSa1.n1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 Spq, Sqp, 且 pq , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sp q pq,p、qN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列a n 通项公式的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. an 1 = an +f n 型3. an 1 =p an +q 型（ p、q 为常数）qq可编辑资

9、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_累加法 ：方法 ：（1） an 1 +p= p an , 1p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an =（ an an1 ）+（ an1 an2 ）+ +（ a 2 a1 ）再依据等比数列的相关学问求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） an 1 an = panan 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+ a1再用累加法求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= f n1 +f n2 +f 1 + a1（ 3）an 1pn 1an=n +pqp n 1,先用累加可编辑资料 -

10、 - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1. 已知数列 a 满意a =1,a= a + 2nnN+）,an法求再求 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n求 an .1n 1n（np例 3. 已知 nan 的首项a1 =a（ a 为常数）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an =2 an1 +1（ nN+,n 2）,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解an = an an1 + an1 an2 + a 2 a1 + a1 解 设 an =2（ an1 ）,就 = 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an +1=2（ an

11、1 +1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2221n 21=+1 an1 为公比为 2 的等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n an +1=（a+1） 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn= 12= 2 112 an =（ a+1） 21 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n an = 2 1 （ nN+）a4. an1 =p an +f n型（ p 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n 1ang n 型方法：变形得an 1an=f n+,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

12、_pn 1p np n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_累乘法 ： an =an an 1an 1an 2a 2 a1 a1an就np 可用累加法求出,由此求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例4. 已 知 an满 足a1=2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2. 已知数列 an 1（n N+）,a=2 a + 21n.求 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 an .an 满意nana1 =1,n 1 解nn=an 1an+12 n 12 na可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anan 1a2 n2

13、 n 为等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解an =an1an 2 a1a1ana1=n2 n2n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=（ n 1）（ n 2） 1 1=（ n 1）； an =（n 1）； （nN+） a =n 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 an2 = p an1 q an型（ p、q 为常数）7“已知Sn ,求an ”型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特点根法 ： x2pxq方法 ： an = Sn Sn1 （留意a1 是否符合）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） x

14、x 时,a = C x n + C x n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12n1122例 6.设 Sn 为an 的前 n 项和, Sn =（ an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） xx 时,a =（ C + C n） x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12例 5.数列 n121 1）,求an （ n N+）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 中, a1 =2, a2 =3,且 2 an = an1 + an 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ n N+,n 2）,求an . 解 Sn =2（

15、 an 1） （ n N+）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解an 1 =2 an an 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x 22 x1 x1x21当 n=1 时,a1 =（ a1 1）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a =（ C + C n） 1n = C + C n a =3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1212CC2C11当 n2 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121a = S S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C12C23C21nnn 133可编辑资料 - - - 欢迎

16、下载精品_精品资料_ ann1nN =（ an 1）22（ an1 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a =3 a a = 3n （n N+）nn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 a=AanB 型（ A、B、C、D 为常数）8“已知an , an1 , Sn 的关系,求an ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1Ca nDAxB型方法 ：构造与转化的方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特点根法 ： x =CxD例 8. 已知an 的前 n 项和为Sn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） xa

17、nx 时,x1=Can 1x1且 an +2 Sn（ Sn11 an1 an ）=0（ n 2）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12anx21an 1x21a1 =,求2an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）x1x2 时,an=Cx1an 1x1 解 依题意,得Sn Sn1 +2 Sn Sn1 =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6. 已知a =1 , a=2an（ nN+）,求 a .11=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n 1an2nSnSn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1= +

18、2（ n） =2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解x =x211 x1x20Sn S = 1, S=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=+Canan 1nn 12n2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21 an = Sn - Sn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1 =1, a 2 =,代入,得C=3211= 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11为首项为 1, d=an2的等差数列 .2n2n1=1（ n2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n1=an2 an =2（n N+）n1 a

19、n =2n1n1 n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练一练1 n2n1nN , n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. an 是首项 a1 1,公差为 d 3 的等差数列, 假如 an 2 005,就序号 n 等于 A 667B 668C 669D 6702. 在各项都为正数的等比数列 an 中,首项a1 3,前三项和为21,就 a3 a4 a5 A 33B 72C 84D 1893. 假如 a1, a2, a8 为各项都大于零的等差数列,公差d 0,就 A a1a8 a4a5B a1a8 a4a5C a1 a8 a4 a5D a1a8 a4a5可编辑资料

20、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知方程 x2 2xm x2 2x n 0 的四个根组成一个首项为m n等于 1 的等差数列,就4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B3C41D328可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5等比数列 an 中, a2 9, a5 243,就 an 的前 4 项和为 .A 81B 120C 168D 1926如数列 an 是等差数列,首项 a1 0,a2 003 a2 004 0,a2 003a2 004 0,就使前 n 项和 Sn 0 成立的最大自然数n 是 A 4 005

21、B 4 006C 4 007D 4 0087. 已知等差数列 an 的公差为 2,如 a1,a3, a4 成等比数列 , 就 a2 A 4B 6C 8D 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和,如a5 a35 ,就9S9 S5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B 1C 2D 12a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9已知数列 1,a1,a2, 4 成等差数列, 1,b1,b2,b3, 4 成等比数列, 就b2的值是 1. C解析：由题设,代入通项

22、公式an a1 n 1 d,即 2 005 1 3 n 1 , n6992. C解析：此题考查等比数列的相关概念,及其有关运算才能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设等比数列 an 的公比为 q q 0 ,由题意得 a1 a2 a3 21, 即 a1 1q q2 21,又 a1 3, 1 q q2 7解得 q 2 或 q 3 不合题意,舍去 , a3 a4 a5 a1q2 1q q2 3 22 7 843 B解析：由 a1 a8 a4 a5,排除 C 又 a1 a8 a1 a1 7d a12 7a1d, a4 a5 a1 3d a1 4d a127a1d 12d2 a1 a8 4

23、. C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：解法 1：设 a11 , a2 1 d, a3 1 2d, a4 1 3d,而方程 x2 2x m0 中两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4444根之和为 2, x2 2x n0 中两根之和也为 2, a1 a2 a3 a41 6d 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ d根1 , a121 , a447 是一个方程的两个根,a143 , a3 45 是另一个方程的两个4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 7 ,1615 分别为 m 或 n,

24、16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m n1 ,应选 C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 2：设方程的四个根为x1, x2, x3, x4,且 x1 x2 x3 x4 2,x1 x2m, x3 x4n由等差数列的性质：如 s p q,就 a as ap aq,如设 x1 为第一项, x2 必为第四可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项,就 x2 m7 ,于是可得等差数列为47 , n 15 ,1 , 3 ,445 , 7 ,44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1616 m n 1 25. B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

25、_精品资料_解析： a2 9, a5 243, a 5a 2 q3243 27,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ q 3,a1 q 9, a1 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. B解析： S4335132402 120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 1：由 a2 003 a2 004 0, a2 003 a2 004 0,知 a2 003 和 a2 004 两项中有一正数一负数, 又 a1 0,就公差为负数,否就各项总为正数,故a2 003 a2 004,即 a2 003 0, a2 004 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

26、品_精品资料_ S4 006 a1a 4 006 4 006 a 2 003a2 004 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 00622可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S4 007 40072 a1 a4 007 4 00722a2 004 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 4 006 为 Sn 0 的最大自然数 . 选 B解法 2：由 a1 0,a2 003a2 004 0,a2 003 a2 004 0,同解法 1 的分析得 a2 003 0, a2 004 0, S2 003 为 Sn 中的最大值 Sn 是关于 n 的二次函数,

27、如草图所示, 2 003 到对称轴的距离比2 004 到对称轴的距离小,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4 007 在对称轴的右侧2 第 6 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据已知条件及图象的对称性可得4 006 在图象中右侧零点 B 的左侧, 4 007, 4 008 都在其右侧, Sn 0 的最大自然数是 4 0067. B解析： an 是等差数列, a3 a1 4, a4 a1 6, 又由 a1,a3,a4 成等比数列, a1 4 2a1 a1 6 ,解得 a1 8, a2 8 2 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. A解析：S9 S59a125a12a9 9 a5a5 5 a3 9 55 1,选 A 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. A解析：设 d 和 q 分别为公差和公比,就4 1 3d 且 4 1 q4, d 1, q2 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 a2b2a1 d 1 q2可编辑资料 - - - 欢迎下载