2022年求数列的通项公式方法总结 .docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列常见题型总结题型四:求数列的通项公式一.公式法: 当题中已知数列是等差数列或等比数列,在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项,只需求得首项及公差公比;二.当题中告知了数列任何前一项和后一项的递推关系即:a n和 an-1 的关系时我们可以根据详细情形采纳以下方法1、叠加法: 一般地, 对于型如 a n 1 a n f n 类的通项公式, 且 f 1 f 2 f n 的和比较好求,我们可以采纳此方法来求 a n;即:a n a n a n 1 a n 1 a n 2 L a 2 a 1 1a n 2;【例 1】已知数列
2、 a n 满意 a 1 12 , a n 1 a nn 2 1n,求数列 a n 的通项公式;解:(1)由题知:a n 1 a n 2 1 1 1 1n n n n 1 n n 1a n a n a n 1 a n 1 a n 2 +a 2- a 1 a 1 1 1 1 1 1 1 13 1n 1 n n 2 n 1 1 2 2 2 n2、叠乘法: 一般地对于形如“ 已知 a1,且 a n 1 =f (n)(f (n)为可求积的数列) ” 的形式a n可通过叠乘法求数列的通项公式;即:a n a n a n 1 L a 2 a 1 n 2;a n 1 a n 2 a 1【例 2】在数列a n中
3、,1a =1, n+1a n 1 =na n,求 a n 的表达式;解:由 n+1a n 1 =na n 得 aa nn 1n n1,an = a 2a 3a a n = 1 2 3 n 1 1所以 a n 1a 1 a 1 a 2 a 3 a n 1 2 3 4 n n n3、构造法: 当数列前一项和后一项即 a n 和 an- 1的递推关系较为复杂时,我们往往对原数列的递推关系进行变形,重新构造数列, 使其变为我们学过的熟识的数列(等比数列或等差数列);详细有以下几种常见方法;(1)、待定系数法:、一般地对于an =kan- 1 +mk、 m 为常数)型,可化为的形式an + =k an-
4、 1 + . 重新- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列常见题型总结构造出一个以 k 为公比的等比数列,然后通过化简用待定系数法求 ,然后再求 a n;【例 3】设 b0, 数列 a n 满意 a1=b,a n nba n 1 n 2a n 1 2 n 2 . 求数列 a n 的通项公式;解:a n ba n 1,得 n a n 1 2 n 1 1 2 n 1,n a n 1 2 n 1 a n ba n 1 b b a n 1设 n b n,就 b n 2 b n 1 1 n 2,a n b b()当
5、b 2 时,b n 是以1 为首项,1 为公差的等差数列,2 21 1 1即 b n n 1 n ,a n 22 2 2()当 b 2 时,设 b n 2 b n 1 ,就 b n 2b n 1 21,b b b令 21 1,得 1,b n 1 2 b n 1 1 n 2,b b 2 b 2 b b 2 b知 nb 1 是等比数列,b n 1 b 1 1 2 n 1,又 b 1 1,2 b 2 b 2 b b bn n nb n 1 2 n 1 1 2n b,a n nbn 2n b 2 b b 2 b 2 b b 2 b、对于 a n 1 pa n f n 其中 p为常数 这种形式 ,一般我
6、们争论两种情形:i、当 fn 为一次多项式时,即数列的递推关系为 a n 1 Aa n Bn C 型,可化为a n 1 1 n 2 A a n 1 n 1 2 的形式来求通项;【例 4】设数列 a n 中,a 1 1, a n 1 3 a n 2 n 1,求 a n 的通项公式;解:设 a n 1 A n 1 B 3 a n An B a n 1 3 a n 2 An 2 B A与原式比较系数得:2 A 2 A 1即 a n 1 n 1 1 3 a n n 12 B A 1 B 1令 b n a n n 1, 就b n+1 =3b 且b =a +1+1=3n 1 nb n 3 3 3b n 是
7、b =3为首项,公比 q=3的等比数列 n即: a n 3 n 1- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列常见题型总结ii 、当 fn为指数幂时,即数列递推关系为 a n 1 Aa n B C n(A、B、C 为常数,)型,可化为 a n 1 C n 1= A a n C n)的形式 . 构造出一个新的等比数列,然后再求 a n当 A=C时,我们往往也会实行另一种方法,即左右两边同除以 Cn +1,重新构造数列, 来求 a n;【例 5】设 a 为常数,且 a n 3 n 12 a n 1(n N *),证
8、明:对任意 n1,a n 1 3 n 1 2 n 1 n 2 n a 05解:证明:设 a n t 3 n 2 a n 1 t 3 n 1 用 a n 3 n 12 a n 1 代入可得 t 15na n 3是公比为 2 ,首项为 a 1 3的等比数列,5 5na n 3 1 2 a 0 3 2 n 1(n N *),5 5n n 1 n3 1 2 n n即:a n 1 2 a 05(2)、倒数法:一般地势如 a n a n 1、a n a n 1 a n 1 a n 等形式的递推数列可以用ka n 1 b倒数法将其变形为我们熟识的形式来求通项公式;【例 6】 .已知数列 a n 满意:a 1
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