2022年高三数学第一轮复习数学归纳法人教实验版.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高三数学第一轮复习：数学归纳法人教试验版（B）【本讲训练信息 】一. 教学内容：高三复习专题：数学归纳法二. 教学目的把握数学归纳法的原理及应用三. 教学重点、难点数学归纳法的原理及应用四. 学问分析【学问梳理】数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法,在高等数学中有着重要的用途,因而成为高考的热点之一.近几年的高考试题,不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论,而且加强了对于不完全归纳法应用的考查,既要求归纳发觉结论,又要求能证明结论的正确性,因此,初步形成“观看归纳猜想证明”的思维模式,就显得特殊

2、重要.一般的,证明一个与正整数n 有关的命题,可按以下步骤进行：*（ 1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n = n 0 时命题成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）（归纳递推）假设n = k（也成立.kn0 , kN）时命题成立,证明当nk1 时命题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只要完成这两个步骤,就可以肯定命题对从方法叫做数学归纳法.n0 开头的全部正整数n 都成立.上述证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数学归纳法是推理规律,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点, 这个基础必需真实牢靠.它的其次步称为

3、递推步骤,是命题具有后继传递性的保证, 即只要命题对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法,这两步各司其职,缺一不行,特殊指出的是,其次步不是判定命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,假如没有第一步, 而仅有其次步成立,命题也可能是假命题.【要点解析】1、用数学归纳法证明有关问题的关键在其次步,即n k1 时为什么成立,nk 1 时成立是利用假设nk 时成立,依据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n k1 时成立,而不是直接代入,否就n k 1 时也成假设了,命题并没有得到证明.用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是全部的

4、正整数问题都是用数学归纳法证明的,学习时要详细问题详细分析.2、运用数学归纳法时易犯的错误（ 1）对项数估算的错误,特殊是查找n k 与 n k1 的关系时,项数发生什么变化被弄错.（ 2）没有利用归纳假设：归纳假设是必需要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了.（ 3）关键步骤模糊不清, “假设 n k 时结论成立,利用此假设证明nk 1 时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,留意证明过程的严谨性、规范性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 9

5、 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【典型例题】例 1. 用数学归纳法证明：11nN * 时,133512n1 2n1n.2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 当 n1时,左边11133,右边12111,左边 =右边, 所以等式成立.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 nk k1时等式成立,即有11133512k1 2k1k2k1,就当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

6、品资料_nk1 时,1111k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13352k1 2k12k12k32k12k12k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2k312k1 2k3k1k12k 23k12k1 2k3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k32 k11所以当 nk1 时,等式也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,可知,对一切nN * 等式都成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：（ 1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式,命题关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项

7、的多少与n 的取值是否有关,由nk到 nk1 时等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.（ 2）在本例证明过程中, （ I ）考虑“ n 取第一个值的命题形式”时,需仔细对待,一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_般情形是把第一个值代入通项,考察命题的真假,（ II ）步骤在由n过程中,必需用归纳假设,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.k 到 nk1 的递推可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此题证明 nk1 时如利用数列求和中的拆项相消法,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11133512k1 2k112k1 2k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

8、_精品资料_1 1111233512k112k112k112k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11122k3k12k3,就这不是归纳假设,这是套用数学归纳法的一种伪证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）在步骤的证明过程中,突出了两个凑字,一“凑”假设,二“凑”结论,关键可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是明确 n系.k1时证明的目标,充分考虑由nk 到 nk1 时,命题形式之间的区分和联可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2. 1111234112n12n111.n1n22n可

9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：（ 1）当 n1 时,左边1121,右边21,命题成立.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）假设当 nk 时命题成立,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111123411112k12k1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1k22k那么当 nk1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳

10、 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左边111123411k1k2111112k12k2k11112k2k12k21112k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k2k32k1.2k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式说明当nk1 时命题也成立.由（ 1）（ 2）知,命题对一切正整数均成立.例 3. 用数学归纳法证明：对一切大于1 的自然数 n,不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111135112n12n1成立.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

11、欢迎下载精品_精品资料_解析： 当 n2 时,左 =114 ,右335 ,左 右,不等式成立.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 nk k2且kN * 时,不等式成立,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111113512k12k1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么当 nk1 时,111135112k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112 k112k12k222k12k222k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

12、4k 228k42k14k 228k32k12k32k122k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 k11,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ nk1 时,不等式也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,知,对一切大于1 的自然数n,不等式都成立.点评：（ 1）此题证明 nk1 命题成立时,利用归纳假设,并对比目标式进行了恰当的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_缩小来实现,也可以用上归纳假设后,证明不等式k12k12 k121成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要

13、留意两个步骤缺一不行,第可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_步 p n0成立是推理的基础,第步p kp k1是推理的依据（即n 0 成立,就 n 01 成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_立, n 02 成立,从而肯定命题对全部的自然数均成立）.另一方面,第步中,验可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 nn 0 中的n 0 未必是 1,依据题目要求,有时可为2, 3 等.第步中,证明nk1 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_命题也成立的过程中,要作适当的变形,设法用上归纳假设.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111例 4.

14、 如不等式n1n2n313n1a对一切正整数n 都成立,求正整数24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 的最大值,并证明你的结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 取 n1 ,11111213 1126 .24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 2624a,得 a2426 ,而 aN,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以取 a25 ,下面用数学归纳法证明,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编

15、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n1n213n125 ,24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） n1时,已证结论正确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）假设 nk k11k1k2N时,1253k124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 n1k1时,有11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k11k111k1k223k13k11 3k13k22 3k13k333 k11113k4k1

16、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_251243k213k42 ,3 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于116 k12,3k23k49k 218k83 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以13k2所以1k1123k43 k111k120 ,13 k1125 ,24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 nk1 时,结论也成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由（ 1）（ 2）可知,对一切nN,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都有11n1n213n125 ,24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

17、精品资料_故 a 的最大值为25.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5. 用数学归纳法证明：3n17 n1 nN *能被 9 整除.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 方法一：令f n3n17 n1 nN *,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） f 131171127 能被 9 整除.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）假设 f kkN * 能被 9 整除,就f k1f k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3k47 k 11 3k17 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_92k f

18、k137 kf k9 2k37k能被 9 整除.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由（ 1）（ 2）知,对一切nN * ,命题均成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：（ 1） n1 ,原式47127 能被 9 整除,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 nk k1, kN *, 3k17 k1能被 9 整除,就 nk1 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 k1 3k117 k 13 1167k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k17 k13k167k21 7k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

19、品资料_ 3k17k118k7 k277k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ nk1 时也能被9 整除.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由（ 1）,（ 2）可知,对任何nN * , 3n17n1能被 9 整除.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：证明整除性问题的关键是“凑项”,而采纳增项、减项、拆项和因式分解等手段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总

20、结归纳 - - - - - - - - - - - -凑出 nk 时的情形,从而利用归纳假设使问题获证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6. 求证：an 1a1能被 a2a1整除, nN.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n12 k1解析：（ 1）当 n1 时,a1 1a1 2 1 1a2a1 ,命题明显成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设 nk 时, ak 1a1能被 a2a1整除,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 nk1时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12k22 k1ak 2a1 2

21、k 1aak 1a1 2a1 2k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12ka ak 1a1a1a2k 1a a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a ak 1a1a2a1 a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 k由归纳假设,上式中的两项均能被a2a1 整除,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 nk1 时命题成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由（ 1）（ 2）可知,对nN,命题成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7. 平面内有n 个圆,其中每两个圆都交于两点,且无三个圆交于一点,求证：

22、这n 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆将平面分成n 2n2 个部分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： n1时, 1 个圆将平面分成2 部分,明显命题成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 nk 时, k 个圆将平面分成k 2k2 个部分,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 nk1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 k+1 个圆C k 1 交前面 k 个圆于 2k 个点, 这 2k 个点将圆C k 1 分成 2k 段,每段将各自可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所在区域一分为二,于是

23、增加了2k 个区域,所以这k+1 个圆将平面分成k 2k22k 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_部分,即k1 2k12 个部分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 nk1 时,命题成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,可知,对nN * 命题成立.点评： 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k 个变成 k+1 个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何学问或借助于几何图形来分析,在实在分析不出来 的情形下,将n=k+1 和 n=k 分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,

24、然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11例8.设 fn1231, 是 否 存 在 关 于 自 然 数n的 函 数 g nn, 使 等 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1f 2f n1g n fn1 对于 n2 的一切自然数都成立？并证明你的结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_论.解析： 当 n2 时,由 f 1g 2f21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 g 2f 112 ,f 211112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n3时,由 f 1f

25、 2g 3 f 31111 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 g 3f 1f 2f 3123,1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_猜想 g n23n n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面用数学归纳法证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

26、品资料_当 n2 时,等式 f 1f 2f n1n f n1 恒成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2 时,由上面运算知,等式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设那么当f 1fnk21 时,f k1kf k1 k2 成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1 k ff 2k1f k1f kkfk1 f kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1 f k1 k1 f k11kk11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 nk1时,等式也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由知,对一切n2

27、的自然数 n,等式都成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故存在函数 g nn ,使等式成立.点评：（ 1）归纳、猜想时,关键是查找满意条件的g n 与 n 的关系式,猜想的关系未必对任意的n nN * 都满意条件,故需用数学归纳法证明.（ 2）通过解答归纳的过程供应了一种思路：可直接解出g n ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g n nn ff 1f1 n1n2 ff n121n2n1n1313f n1 nn1 1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nf n1n n2, nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

28、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【模拟试题】1. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,应写成x ny n 能被 xy 整除”时,其次步归纳假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 假设 nB. 假设 n2k1 n2k1 nN * 时,命题成立N * 时,命题成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. 假设 nD. 假设 n2k nk nN * 时,命题成立N *时,命题成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 证明 111123412n1nnN * 2,假设 nk 时成立,当nk1 时,左可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_端增加

29、的项数是A. 1 项B.k1项C. k 项D.2k 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 记凸 k 边形的内角和为f k3,就凸 k1 边形的内角和f k1f k（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. B.C.22D.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 某个命题与自然数n 有关,如 nk kN *时命题成立,那么可推得当nk1时该可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_命题也成立,现已知当n5 时,该命题不成立,那么可推得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 当 n6 时,该命题不成立B. 当 n6 时,该命题成立

30、C. 当 n=4 时,该命题不成立D. 当 n=4 时,该命题成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 用数学归纳法证明111n1n2n3111nnn24N *时,由nk 到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nk1 时,不等式左边应添加的项是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

31、精品资料_1A.2 k11D.1B.2k11112k211C.2k1112k2k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k12k2k1k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. （ 5 分）在数列 a n 中, a11,且Sn , Sn1 , 2 S1 成等差数列（Sn 表示数列 an 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23n1前 n 项和）,就S2 , S3 , S4 分别为 .由此猜想Sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. （ 5 分）已知 1233343n33nabc 对一切 nN * 都成可编辑资料 - - - 欢迎下载精

32、品_精品资料_n立,那么a= , b= , c= .11111131, 111234567223158. （ 14 分）由以下各式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 , 112211 , 132 ,你可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_能得出怎样的结论？并进行证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. （ 16 分）设数列 an 满意 a12 , an 1an1n1,a n2, 3,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）证明： a n2n1 对一切正整数n 均成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）令 bann1, 2, 3,判定b与 b的大小,并说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. （ 14 分）已知函数fxx3 xx11 ,设数列 an 满意 a11, an 1f a n,数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b n 满意 b n| a n3 | , Snb1b2nb n nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）用数学归纳法证明b n312n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2