2022年高中数学_椭圆_知识题型总结.docx

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1、精品_精品资料_教学课题椭圆学问点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点 的轨迹叫椭圆 .这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.留意： 如,就动点的轨迹为线段.如,就动点的轨迹无图形 .讲练结合一 .椭圆的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 如 ABC 的两个顶点 A4,0 , B4,0, ABC 的周长为 18 ,就顶点 C 的轨迹方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：, 其中.2当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中.留意：1. 只有当椭圆的中心为坐

2、标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程.2. 在椭圆的两种标准方程中,都有和.3. 椭圆的焦点总在长轴上 .当焦点在 轴上时,椭圆的焦点坐标为,.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,.讲练结合二利用标准方程确定参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 椭圆 x4y1 的焦距为 2 ,就 m=.2m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 椭圆5x2ky 25 的一个焦点是0,2 ,那么 k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点三：椭圆的简洁几何性质椭圆的的简洁几何性质（1） ）

3、对称性对于椭圆标准方程,把 x 换成 x,或把 y 换成 y,或把 x、y 同时换成 x、 y,方程都不变,所以椭圆是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心.（2） ）范畴椭圆上全部的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内, 所以椭圆上点的坐标满意 |x| a,|y| b.（3） ）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0）,椭圆（ab 0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点, 坐标分别为 A 1（ a,A 2（ a, 0）,B1（0, b）, B2（0,b）.线

4、段 A 1A 2 ,B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, |A1A 2|=2a, |B1B2 |=2b.a 和 b 分别叫做椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的长半轴长和短半轴长.（4） ）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作.由于 ac 0,所以 e 的取值范畴是 0e1.e 越接近 1,就 c 就越接近 a,从而越小,因此椭圆越扁.反之, e 越接近于 0,c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b 时, c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

5、品资料_椭圆的图像中线段的几何特点（如下图） ：（1）,.（2）,.（3）,.学问点四：椭圆与（ab 0）的区分和联系标准方程图形焦点,焦距范畴性质对称性关于,x 轴、y 轴和原点对称,顶点,轴长轴长=,短轴长 =离心率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准线方程焦半径,留意： 椭圆,（ab0）的相同点为外形、大小都相同,参数间的关系222都有 ab0 和,a =b +c .不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同.题型一椭圆焦点三角形面积公式的应用x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理在椭圆a 221（ a b 0）中,焦点分别为b 2F1、F2

6、,点 P 是椭圆上任意一点,yF1PF2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 S F1PF2btan.2PP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：记| PF1 |r1, | PF2 |r2 ,由椭圆的第肯定义得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1r22 a,r1r 24a 2 .F 1OF 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22在 F1 PF2 中,由余弦定理得：r12r22 r1r 2 cos22c .可编辑资料 - - - 欢迎下

7、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方得：r1r 22r1r22r1r2cos4c 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即 4a 22r1r2 1cos4c2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1r22a 2c 2 2b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1cos1cos由任意三角形的面积公式得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF 21r1r22sinb2sin1cos2 sincosb

8、2222 cos2b 2tan.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1 PF22b 2 tan. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典题妙解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2例 1如 P 是椭圆1上的一点,F1、F2 是其焦点,且F1PF260 ,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ F1PF2的面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2解法一

9、：在椭圆1中, a10, b8, c6, 而60 . 记|PF1 |r1,| PF2 |r2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064点 P 在椭圆上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由椭圆的第肯定义得：r1r22a20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 F1PF22中,由余弦定理得：r12r22 r1r 2cos2c 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方,得：r1r 23r1r2144.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

10、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24003r1r2144. 从而r1r2256.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1 PF21 r r122sin1256233643 .23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2解法二：在椭圆1中, b 264 ,而60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF 2b 2 tan264 tan 30643 .3可编辑

11、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一复杂繁冗,运算量大,解法二简捷明白,两个解法的优劣立现；x 2y 2PFPF1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知 P 是椭圆1上的点,F1、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点,如12,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_259| PF1 | | PF2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1PF2的面积为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 33B. 23C. 3D.33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设F

12、1PF2, 就 cosPF1PF21,60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PF1 | PF2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF22btan29 tan303 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应选答案 A.练习6已知椭圆的中心在原点,F1、F2 为左右焦点, P 为椭圆上一点,且PF1| PF1 |PF2| PF 2 |1 ,2F1PF2的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积是3 ,准线方程为x4 3,求椭圆的标准方程.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

13、_精品资料_参考答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 解：设F1PF2,cosPF1PF21 ,120 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PF1 | PF 2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF 2b 2 tan2b 2 tan 603b 23 ,b1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 243又,即c3c2b 2cc 21143ccc333 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c3 或 c3 .23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

14、当 c3 时, ab2c 22 ,这时椭圆的标准方程为xy21 . 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 c3 时, a3b 2c 223,这时椭圆的标准方程为3x y21 . 423可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但是,此时点 P 为椭圆短轴的端点时,为最大,60 ,不合题意 .x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求的椭圆的标准方程为y 21 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二中点弦问题点差法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理 ”或“ 点差法 ”求解.在椭圆a

15、 2y 12b 2中,以Px0, y0 为中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点的弦所在直线方程？22例 3.过椭圆 xy1内一点 M 2, 1 引一条弦,使弦被 M点平分,求这条164弦所在的直线方程.分析： 本例的实质是求出直线的斜率,在所给已知条件下求直线的斜率方法较多,故本例解法较多,可作进一步的讨论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：法一设所求直线方程为 y1k x2,代入椭圆方程并整理,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4 k 21 x 2 2 k 2k x4 2 k1 2160 ,又

16、设直线与椭圆的交点为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A x1 , y1 、Bx2 , y2 ,就x1、 x2 是方程的两个根,于是x1x282 k 24 k 2k ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又M为AB的中点,x1x2 242 k 2k 4k 212 ,解之得 k1 ,故所求直线方2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程为x2 y40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二设直线与椭圆的交点为 A x1,y1、B x2 ,y2,M 2,

17、1为AB的中点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx4, yy2 ,又A、B两点在椭圆上,就 x24 y216 , x 24 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12121122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_116,两式相减得 x 2x 2 4 y2y2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212 y1y2x1x2x1 4 y1x21y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即k AB点差法1 ,故所求直线为 x22 y40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

18、_1.过点1,0的直线 l 与中心在原点, 焦点在 x 轴上且离心率为2 的椭圆 C 相交于 A、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B 两点,直线 y= 1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l2对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程.命题意图：此题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新奇,基础性强,属级题目 .学问依靠：待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题.错解分析：不能恰当的利用离心率设出方程是同学简洁犯的错误.恰当的利用好对称问题是解决好此题的关键.技巧与方法：此题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一

19、,将A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB 斜率的等式 .解法二,用韦达定理 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：由 e= ca2 ,得2a 2b2a 21 ,从而2a2=2b2,c=b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2212设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,Ax1,y1,Bx2,y2在椭圆上 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1就x12+2y2=2b2,x2+2y2=2b2,两 式 相 减 得 , x2 x2+2y12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y

20、 2=0, y1y2x1x2x1 2 y1x2.y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 AB 中点为 x0,y0,就 kAB=x02 y0,又x0,y0在直线 y= 1 x 上, y0=21 x0,于是2x0=2 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1,kAB=1,设 l 的方程为 y= x+1.右焦点 b,0关于 l 的对称点设为 x ,y,y1就 xb解得 x1yxb1y1b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由点1,1b在椭圆上,得 1+21b2=2b2,b2=9 ,a 29 .168可编

21、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求椭圆 C 的方程为8 x2916 y29=1,l的方程为y=x+1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：由 e= ca2 , 得2a2b2a 21 ,从而 a2=2b2,c=b.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=kx 1,将 l的 方 程 代 入 C的 方 程 , 得 1+2k2x2 4k2x+2k2 2b2=0, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x +x =4k 2,y +y=kx

22、1+kx 1=kx+x 2k=2k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122121212 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12k12k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l： y= 1 x 过2AB 的中点x1x2 2, y1y2 ,就21k 2k 212k22 12k 2,解得k=0,或k=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.如 k=0,就 l 的方程为 y=0,焦点 Fc,0关于直线 l 的对称点就是 F 点本身,不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去, 从而 k= 1,直线 l 的方程为 y= x1,即 y=x+1,以下同

23、解法一 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、一般弦长公式题型三 弦长公式与焦半径公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弦长公式：如直线ykxb 与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1, x2 分别为 A、B 的横坐标,就 AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 k 2 xxAB112 y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 ,（如y1, y2 分别为 A、B 的纵坐标,就k）,如弦 AB 所在直线方程设为可编辑资料 - - - 欢迎

24、下载精品_精品资料_x kyb ,就AB 1k 2y1y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的运算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解.1. 其次定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e 0ae1 的动点M的轨迹叫做椭圆,定点为椭圆的一个焦点,定直线为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2留意： 对 x2y1 ab0 对应于右焦点F

25、 c, 0 的准线称为右准线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程是 xa,对应于左焦点2cF1c, 0 的准线为左准线 xa2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比.2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2对于椭圆 xay 2b 21 ab0 ,设 P x, y为椭圆上一点,由其次定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

26、欢迎下载精品_精品资料_r左c左焦半径2xaa0r左ex0ca 2acaex0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cr右右焦半径a 2x0ccr右aex0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 2已知点 P 在椭圆2ax 221 abb0 上, F1、F2 为椭圆的两个焦点,求| PF1| PF2 |的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.解：设 P x0,y0 ,椭圆的准线方程为y a,不妨设 F1、F2 分别为下焦点、上焦点2c可编辑资料 - -

27、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 | PF1| a 2y0cc|PF2 |ca , a 2ay0c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|PF |c ya, | PF |ac y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1020可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|PFa| | PF|ac y aac y a 2c22y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1200aaa 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ay0a ,2当 y00 时, | P

28、F1| |PF2|最大,最大值为 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 y a时, | PF| | PF|最小,最小值为 a 2c2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_01222因此, |PF1|PF2 |的取值范畴是 b , a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 2.椭圆 xy1的焦点为 F 、 F ,点P为其上的动点,当12F1 PF2 为钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_94时,点 P 横坐标的取值范畴是.（ 2022 年全国高考题） 分析： 可先求 F1PF2 90时, P 点的横坐标.可编辑资料 - - - 欢

29、迎下载精品_精品资料_解：法一在椭圆中, a3,b2 ,c5,依焦半径公式知|PF1|35 x,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PF |35 x,由余弦定理知F PF 为钝角| PF |2| PF |2|F F |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23121212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35 x 23353x 22 52x 29 ,应填53x355可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

30、料_法二设P x, y ,就当F1 PF290时,点P的轨迹方程为 x 2y25,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可得点P的横坐标 x 3 ,点P在x轴上时, 5F1 PF20.点P在y轴上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,F1 PF2为钝角,由此可得点P横坐标的取值范畴是3x355可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型四参数方程3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心,分别以a、b（ ab0）为半径作两个圆,点B 是大圆半径OA与小圆的交点,过点

31、 A 作 AN Ox,垂足为 N,过点 B 作 BN AN,垂足为 M,求当半径 OA绕 O旋转时点 M的轨迹的参数方程.解： 设点 M 的坐标是 x, y , 是以Ox为始边,为终边的正角,取为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参数.那么x ONy NM|OA|cos|OB|sinx a cosy b sin1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这就是椭圆参数方程：为参数时, 称为“离心角”说明： 对上述方程（ 1）消参即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xcosaysin bx 2y 2221一般方程ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

32、_由以上消参过程可知将椭圆的一般方程进行三角变形即得参数方程.直线与椭圆位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y2221abykxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求椭圆上动点P（ x, y）到直线距离的最大值和最小值,（法一,参数方程法.法二,数形结合,求平行线间距离,作 l l 且 l 与椭圆相切）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.已知椭圆 x28 y 28,在椭圆上求一点P,使P到直线l： xy40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一设P22 cos , sin 由参数方程得 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就d|22 cossin24|3 sin4|2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 tan22,当时, d 2122min2可编辑资料 -