2022年高中数学函数与方程知识点总结经典例题与解析高考真题与答案 .docx

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1、精品_精品资料_函数与方程【学问梳理】1、函数零点的定义（1） 对于函数 yf x ,我们把方程f x0 的实数根叫做函数y f x 的零点.（2） 方程 f x0 有实根函数 yf x 的图像与 x 轴有交点函数 yf x 有零点.因此判定一个函数是否有零点,有几个零点,就是判定方程f x0 是否有实数根,有几个实数根.函数零点的求法：解方程 f x0,所得实数根就是f x 的零点（3） 变号零点与不变号零点如函数 f x 在零点 x 0 左右两侧的函数值异号,就称该零点为函数f x 的变号零点.如函数 f x 在零点 x0 左右两侧的函数值同号,就称该零点为函数f x 的不变号零点.如函数

2、 f x 在区间 a,b 上的图像是一条连续的曲线,就f a f b0是 f x 在区间a, b 内有零点的充分不必要条件.2、函数零点的判定（ 1 ）零点存在性定理：假如函数yf x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有f a f b0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么,函数yf x 在区间根.a,b内有零点,即存在 , ,使得x0a bf x 0 0,这个也就是方程x0的f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 函数 yf x 零点个数（或方程f x0 实数根的个数）确定方法 代数法：函数yf x的零点f x0 的根.（几何法）对于不

3、能用求根公式的方程,可以将它与函数yf x 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.（3） 零点个数确定0yf x有 2个零点f x0 有两个不等实根.0yf x有 1个零点f x0 有两个相等实根.0yf x 无零点f x0 无实根.对于二次函数在区间a,b上的零点个数,要结合图像进行确定.1、 二分法（1 ）二分法的定义 :对于在区间 a, b 上连续不断且f a f b 0 的函数 yf x ,通过不断的把函数yf x的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步靠近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2 ）用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间 a, b ,验证 f a

4、 f b0 ,给定精确度;求区间 a,b 的中点 c ;1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算 f c ; 如 f c0 ,就 c 就是函数的零点 ; 如 f af c0 , 就令 如 f cf b0 , 就令bc 此时零点 x0a,c ;ac 此时零点 x0 c, b ;判定是否达到精确度,即 ab,就得到零点近似值为a 或 b ;否就重复至步.【经典例题】x31. 函数 f x=2+x2 在区间 0,1 内的零点个数是（）A 、 0B 、1C、 2D 、 3x2. 函数 fx 2 3x 的零点所在的一个区间是A 、 2, 1B 、 1,0C、 0,1D 、 1,2x3. 如

5、函数 f xaxa a0 且 a 1 有两个零点,就实数a 的取值范畴是.34设函数fxxR满意fx=fx , fx= f2x,且当x0,1时, f x=x . 又函数gx= |xcosx|,就13函数 hx=gx-fx在, 上的零点个数为（）22A 、5B、 6C、 7D、 825函数 f xx cos x在区间 0,4 上的零点个数为（）A 、4B 、 5C、6D 、7 6函数 f xxcosx 在 0, 内（）A 、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点a, a b 1,227. 对实数 a 和 b,定义运算 “.”： a.b 设函数 f x x 2.x x

6、, x R,如函数 y f xb, a b1. c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,就实数c 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3A 、 , 2 1,3B、 , 2 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C、 1, 1 13,D、 1,1, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知函数= logf（x）xxb a 0,且 a 1. 当 2 a 3 b 4 时 , 函 数af（ x）的 零 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

7、品资料_x0n, n 1, nN * , 就 n=.9. 求以下函数的零点：（ 1 ） f xx32x 2x 2 .（ 2） f xx4 .x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_310. 判定函数y x x 1 在区间 1,1.5 内有无零点,假如有,求出一个近似零点精确度 0.1 【课堂练习】x1、在以下区间中,函数f x e4x3 的零点所在的区间为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A 、 41,0B、 0,4C、 111 3,D 、 , 422 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如 x0 是方程 lg xx2 的解,就 x0 属于区间

8、（）A 、 0,1B、 1,1.25C、 1.25,1.75D、 1.75,23、以下函数中能用二分法求零点的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、函数 f x =2x+3x的零点所在的一个区间是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A （ -2,-1 ）B、（ -1 , 0） C 、（ 0 , 1 ）D、（ 1, 2）5、设函数 fx=4sin （ 2x+1 ） -x,就在以下区间中函数f x 不存在零点的是（）A 、-4,-2B、 -2,0C、0,2D、 2,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、函数6f x= x -cos x 在,内（）0可编

9、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点x7、如函数 f x的零点与 g x42x 2的零点之差的肯定值不超过0.25 ,就 f x 可以是（）A 、 f x4x1B、 f x x12C、 f xex1D、 f xln x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、以下函数零点不宜用二分法的是 A 、 f xx38B 、 f x ln x 3C、 f xx 22 2x 2D 、 f xx24x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、函数 fx=log2 x+2x-1 的零点必落在区间（）3

10、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111 11A 、,B、,C、,1D 、1,284422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、 lg x10有解的区域是（）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、 0,1B、 1, 10C、 10, 100D 、 100,11 、在以下区间中,函数f xex4x3 的零点所在的区间为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、1,0B、 0,1C、 1 11 3,D、,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_444 22 412 、函数 f xxlog 2 x 的零点所在区间为（）可编辑资料 -

11、 - - 欢迎下载精品_精品资料_1A、0,1B、11 1,C、,1D、,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_88 4422xx13 、 设 f x33x8 , 用 二 分 法 求 方 程 33x 80 在 x1,2内近似解的过程中得f 10, f1.50, f1.250, 就方程的根落在区间（）A 、 1,1.25B 、 1.25,1.5C、 1.5,2D 、不能确定14 、设函数 f x4sin2 x1x ,就在以下区间中函数f x 不存在零点的是（）A 、4, 2B、2,0C、 0,2D 、 2,4x22x3, x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15 、函

12、数 f x, 零点个数为（2ln x, x0） A、3B、 2C、 1D、 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16 、如函数f xx3x22x2 的一个正数零点邻近的函数值用二分法运算,其参考数据如下：f 1 = 2f 1.5 = 0.625f 1.25 = 0.984f 1.375= 0.260f 1.4375 = 0.162f 1.40625 = 0.054那么方程 x 3x22x20 的一个近似根（精确到0.1 ）为（）A 、1.2B、1.3C、 1.4D、 1.517 、方程 2 xx23 的实数解的个数为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18 f xx

13、a、已知函数221x a 2的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19 、判定函数20 、求函数223xx在区间 f x4x1,1 上零点的个数,并说明理由.3f xx32x 23x 6 的一个正数零点精确度 0.1 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【课后作业】1、以下函数图象与x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是x22、设 f x3x,就在以下区间中,使函数f x 有零点的区间是A 、0,1B、 1,2C、 2, 1D、 1,03、已知 f x 唯独的零点在区间1,3 、 1,4 、 1,5 内,那

14、么下面命题错误的（）A 、函数 f x 在 1,2 或 2,3内有零点B 、函数 f x 在 3,5 内无零点C、函数 f x 在 2,5内有零点D 、函数 f x 在 2, 4 内不肯定有零点34、如函数f xx3xa 有 3个不同的零点 , 就实数 a 的取值范畴是（）A 、2,2B、 2,2C 、,1D、 1,5、函数 f xxln x 的零点所在的区间为（）3A 、（ 1, 0）B、（ 0, 1）C、（ 1, 2）D、（ 1, e） 6、求函数 f x2x3x 1 零点的个数为（）A 、 1B 、 2C、 3D、 47 、 如 果 二 次 函 数 yx 2x m 3有 两 个 不 同

15、的 零 点 , 就 m的 取 值 范 围 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）11A 、 11,B、 ,C、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_428、方程 lg xx0 根的个数为（）A、无穷多11,D、11,4B 、 3C、12D、09、用二分法求方程f x0 在1,2 内近似解的过程中得f 10, f 1.50, f 1.250 f10 ,就方程的根在区间A 、1.25,1.5B、 1,1.25C、 1.5,2D、不能确定110 、设函数 fx 3x lnxx 0 ,就 y fx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、在区间1e, 1 ,

16、 1 , e 内均有零点B 、在区间 e, 1 , 1 , e 内均无零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1C、在区间, 1e内有零点,在区间1 , e内无零点D 、在区间5, 1e内无零点,在区间1 , e内有零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_211 、设函数f xln x1 x1x0 ,就函数 yf x2A 、在区间 0,1 , 1,2 内均有零点B、在区间0,1 内有零点,在区间1,2内无零点C、在区间 0,1 , 1,2 内均无零点D、在区间0,1 内无零点,在区间1,2内有零点312 、用二分法讨论函数f x x3x 1 的零点时,第一次经运算f 0

17、0, f 0.50 ,可得其中一个零点x0,其次次应运算.以上横线上应填的内容为A 、（ 0,0.5）, f 0.25 B、（ 0, 1 ）, f 0.25 C、（ 0.5, 1）, f 0.75 D、（ 0, 0.5）, f 0.125 x313 、函数 f x2x2 在区间 0,1 内的零点个数是（）A 、0B、 1C、 2D、 314 、（已知函数f xlog a xxba0, 且 a1. 当 2a34是 , 函 数 f x的 零 点*x0 n, n 1 ,nN 就 n= ,.15 、用二分法求函数yf x 在区间 2,4 上的近似解,验证f2 f40,给定精确度 0.01 ,取区间 2

18、,42 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的中点 x1 3,运算得 f2fx 1 0 , 2 2x, x0, 如函数gx fx m 有 3个零点,就实数m 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取值范畴是17 、函数 f xx 25x6 的零点组成的集合是.18、用 “二分法 ”求方程 x32x 50 在区间 2,3 内的实根,取区间中点为x02.5 ,那么下一个有根的区间是19 、函数 f xln xx2 的零点个数为.x20 、证明方程 6 3x 2在区间 1,2 内有唯独一个实数解,并求出这个实数解精确度 0.1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

19、_【考纲说明】函数与方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 明白函数的零点与方程根的联系,能判定一元二次方程根的存在性及根的个数.3、 能够依据详细函数的图像,用二分法求出相应方程的近似解.【学问梳理】1、函数零点的定义（1） 对于函数yf x ,我们把方程f x0 的实数根叫做函数yf x 的零点.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 方程 f x0 有实根函数 yf x 的图像与x 轴有交点函数 yf x 有零点.因此判定一个函数是否有零点,有几个零点,就是判定方程f x0 是否有实数根,有几个实数根.函数零点的求法：解方程 f x0,所得实数根就是f

20、 x 的零点（3） 变号零点与不变号零点如函数 f x 在零点 x 0 左右两侧的函数值异号,就称该零点为函数f x 的变号零点.如函数 f x 在零点 x0 左右两侧的函数值同号,就称该零点为函数f x 的不变号零点.如函数 f x 在区间 a,b 上的图像是一条连续的曲线,就f a f b0是 f x 在区间a, b 内有零点的充分不必要条件.2、函数零点的判定（ 1 ）零点存在性定理：假如函数yf x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有f a f b0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么,函数yf x 在区间根.a,b内有零点,即存在 , ,使得x0a

21、bf x 0 0,这个也就是方程x0的f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 函数 yf x 零点个数（或方程f x0 实数根的个数）确定方法 代数法：函数 yf x 的零点f x0 的根.（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yf x 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.（3） 零点个数确定0yf x有 2个零点f x0 有两个不等实根.0yf x有 1个零点f x0 有两个相等实根.0yf x 无零点f x0 无实根.对于二次函数在区间a,b上的零点个数,要结合图像进行确定.4、 二分法（ 1）二分法的定义:对于在区间 a, b 上连续不断且f a

22、 f b 0 的函数 yf x ,通过不断的把函数yf x的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步靠近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间 a, b ,验证 f af b0,给定精确度;求区间 a,b 的中点 c ;运算 f c ; 如 f c0 ,就 c 就是函数的零点 ; 如 f af c0 ,就令 bc 此时零点 x0a,c ; 如 f cf b0 ,就令 ac 此时零点 x0 c, b ;7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定是否达到精确度,即 ab,就得到零点近似值为a 或 b ;否就重复至步.【经典例题】

23、2 在区间0,1 内的零点个数是（）B 、1C、 2D 、 3【例 1】 函数 f x=2 x +x3A 、 0【答案】 B【解析】解法1：由于 f 0=1+0 2=1, f 1=2+232=8 ,即 f 0f 10 且函数 f x 在 0,1 内连续不断,故f x 在 0,1 内的零点个数是1.x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 2：设1, 2,在同一坐标系中作出两函数的图像如下列图：可知B 正确.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y =2y =2x425104【答案】 B 15【解析】 6f 12 3 10 , fx 2x 3x 的零点所在的一个区间为

24、1,0 【例 3】如函数f xaxxa a0 且 a1有两个零点,就实数a 的取值范畴是.（1, ）【答案】【解析】函数 f x = axxa a0 且 a1 有两个零点,方程 a xx a0 有两个不相等的实数3根,即两个函数ya x 与 yxa 的图像有两个不同的交点,当0a1 时,两个函数的图像有且仅有一个交点,不合题意.当a1 时,两个函数的图像有两个交点,满意题意.【例 4】设函数 fx xR 满意 fx =fx , fx=f2 x ,且当 x0,1 时, fx= x又函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就函数 hx=gx-fx 在 1 ,3 上的零点个数为（）.g

25、x= |xcos x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22A 、5B、 6C、 7D、 8【答案】 B【解析】由于当x 0,1 时, fx= x 3. 所以当 x1,2 时, 2x 0,1 , f xf 2x2 x 3 ,8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_113当 x0, 时, g xx cosx .当 x, 时, g xx cos x,留意到函数fx 、 gx 都是222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偶函数,且f0= g0 , f1=1g1 , g3g 0 ,作出函数 fx 、 gx 的大致图象,函数hx 除了 0、可编辑资料 - - -

26、欢迎下载精品_精品资料_1 这两个零点之外,分别在区间12,0、0,1 2 1、,1 、1,3 上各有一个零点,共有 6 个零点,应选 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222【例 5】函数 f xx cos x在区间 0,4 上的零点个数为（）A 、4B 、 5C、6D 、7【答案】 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】： fx=0 ,就 x=0 或 cosx 22=k +可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=0 ,x2,k Z ,又 x 0,4 , k=0,1,2,3,4,所以共有6 个解选 C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

27、品资料_【例 6】函数 f xx cos x 在 0, 内（）A 、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点【答案】 B,设函数yx 和 ycosx,f xxcosx在【解析】解法一：数形结合法,令f xxcos x0 ,就xcos x它们在 0, 的图像如下列图,明显两函数的图像的交点有且只有一个,所以函数0, 内有且仅有一个零点.解法二：在 x, 上,x1 , cosx 1,所以 f xxcos x0 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 x0, , fx1sin x0 ,所以函数f xxcos x 是增函数,又由于f 01 ,可编辑资料 - -

28、 - 欢迎下载精品_精品资料_22 xf 0 ,所以 f xxcos x 在 x0, 上有且只有一个零点222a, a b 1,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 7】对实数a 和 b,定义运算 “ .”： a.b 设函数b, a b1. fx c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,就实数c 的取值范畴是fx x 2. x x , x R ,如函数y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、 , 2 1,3B、, 2 1, 324可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

29、品_精品资料_1C、 1,13 , D、 1,1, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 B444423可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x x 2 2 , 1 x ,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2, x 2 1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 fx 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x就 fx的图象如图, x 2x x123,xxx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y fx c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, y fx 与 y c 的图象恰有两个公共点,3由

30、图象知c 2,或 1c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例8 】已知函数= logf（x）a x x0a1.b a ,且当 2 a 3 b 4 时,函数f （x）的零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 n, n 1, nN *就, n=.【答案】 5【解析】方程log axx ba 0,且 a1 =0 的根为x0,即函数ylog ax 2 a3的图象与函数yxb3b4 的 交 点 横 坐 标 为 x0, 且 x0n, n 1, nN*, 结 合 图 象 , 因 为 当 xa 2a3 1 的点的横坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时, y1

31、,此时对应直线上y标 x1 b4,5 ;当 y2 时 ,对数函数 ylog a x2a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的图象上点的横坐标x4,9 ,直线 yxb3b4 的图象上点的横坐标x5,6 ,故所求的 n5 .32【例 9】求以下函数的零点：（ 1 ） f xx2xx2 .4（ 2） f xx.x【答案】（ 1） 2,1 , -1. （ 2） 2, -2.【解析】（ 1）由 x32x 2x20,x2 x2 x 20, x2 x1x10,x2 或 x 1 或 x1.故函数的零点是2, 1 , -1.（ 2） 由 x40,得 x240,xx x2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0, xx2 或 x=-2.2 x 20,10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数的零点是2, -2.3【例 10 】判定函数y x x 1 在区间 1,1.5 内有无零点,假如有,求出一个近似零点精确度 0.1 【答案】 1.312 5【解析】由于 f1 1